Revisão de Cálculo I

Texto original

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Texto extraído do video Videoaula de Revisão Cálculo I

Prezados alunos, meu nome é Douglas, sou professor pesquisador, e não me campem.
E nesse semestre eu fui professor responsável da disciplina de Calculum da Universidade.
Primeiramente, eu gostaria de agradecer a vocês pela lista de dúvidas que foi em Guiana da Universidade.
E tendo como base a essa lista e esses tópicos, eu podia desenvolver esse material de revisão aqui, que certamente será de grande ajuda para vocês com a proximidade da avaliação final.
Primeiro conceito que a gente estuda na disciplina de Calculum é o conceito de limite, que é o primeiro conceito novo que aparece a sentido a não o conceito de função, coisas que a gente já estudou em outros ciplios.
Então, o conceito de limite, ele tem como base estudar e entender o comportamento dos valores da minha função para quando x se aproxima de determinado ponto, aqui a gente está chamando de ae, esse ponto não precisa ser um ponto no qual onde a função ela está bem definida.
Eu eventualmente pode acontecer, eu não consegui calcular a imagem da minha função f, no ponto a, ou seja, fdl, não preciso ter bem definido esse valor.
Mas o conceito de limite, ele estabelece qual que é o comportamento, qual que é a tendência da minha função das imagens aqui da minha função para quando x se aproxima desse ponto a.
Então, a gente diz que o limite da minha função fx para quando x tenda é igual a l, quando os valores de fx se aproximarem de l, sempre que x se aproxima de l.
Então, esse daqui é o conceito de limite, é estudar o que está acontecendo com os valores de uma função para quando o argumento da minha função caminha e se aproxima de determinado ponto a.
Então, uma pergunta recorrente é como o calculo esse limite.
Então, uma primeira propriedade boa para a gente poder calcular a limite é justamente a propriedade de continuidade.
Então, a gente tem que f, ela é continuo em ponto a, se e somente c o limite da minha função fx para x tendendo a, é igual a fdl.
Então, se a gente tem aqui dentro do limite uma função que ela está definindo em a, e ela é bem definindo em a, por exemplo, um polinômio, uma função trigonomética, serem coce, uma função exponencial, um lugar ítimo, desce que o ponto a esteja no domínio dessas funções, se são essas funções que aparece aqui, então, calcular esse limite corresponde a calcular essa função no ponto.
Então, se a gente verifica que a função está dentro do limite, não tem nenhum problema.
No ponto onde eu quero calcular o limite, por exemplo, não é uma função definida por partes, não é uma função cociente, cujo denominador se alula nesse ponto a, então, se não tem nenhum problema com essa função no ponto a, então, calcular esse limite corresponde a calcular a imagem, o valor da minha função nesse ponto a.
Então, a gente já tem uma propriedade que permite que eu calcule limites de diversas funções aí.
Bom, algumas propriedades gerais que nos ajudam a calcular limites são essas daqui.
Então, por exemplo, se eu sei que o limite da minha de uma função fx igual a 1, e o limite de uma função f, desculpa aqui, é uma função gx, uma perial que eu ainda ia para você, já está correndo.
Se o limite de uma função gx é igual a b para x tendendo a, então, o limite da soma dessas funções vai ser igual a soma dos limites.
O limite de uma constante vezes a minha função fx vai ser igual a constante vezes o limite dessa função fx.
Então, essas duas primeiras propriedades fornecem aí uma propriedade linearidade do limite.
Então, consigo passar o limite na soma, na o limite da soma dos limites, o limite de uma constante vezes a minha função é essa constate vezes o limite.
Essa propriedade funciona bem também no produto.
Então, o limite de fx vezes gx é igual ao produto dos limites.
E no consciente, na divisão, a gente também tem que o limite funciona bem desde que o b, ou seja, o limite da função que está aqui no denominador não se agulha.
Então, o limite de fx dividir por gx é igual ao limite de fx dividir por o limite de gx desde que o limite de gx, que estou dando a tena para b, seja diferente de zero.
Então, essa propriedade de continuidade, mas essas propriedades gerais do limite, que a gente começa a fazer diversas contas e determinar para perder o limite de diversas funções.
Então, aqui eu comentei que se eu não tenho nenhum problema com a minha função f no ponto a, não tenho nenhum, por exemplo, não aparece zero no denominador.
Então, eu consigo calcular o limite simplesmente calcular o valor de minha função f no conto a.
Mas o que acontece com calcular o limite quando eu não tenho essa boa propriedade, quando eu não consigo, de fato, avaliar minha função f no meu ponto a.
Então, quando esse tipo de coisa acontece, a gente precisa começar a utilizar alguns teoremos, alguns resultados, que fornece para a gente o valor desse limite.
Pode acontecer de a gente não ser ocupado, eu tenho uma função gx, eu gostaria de calcular o limite dessa função gx para quando x tende a, mas eu não sei calcular gdA.
Eu não consigo calcular gdA, ou porque eu não está no domínio da minha função gx, ou porque ao subgitual gx eu tenho uma divisão por zero, que me gera uma indeterminação.
Então, pode acontecer diversos problemas, mas suponha que eu conheça um limitante inferior e um limitante superior para minha função gx para todo x diferente de a.
Eu não sei calcular gdA, mas eu sei para a x diferente de a, que essa propriedade é verificada.
Fdx é menor igual que gx que é menor igual que a gx para todo x de 3dA.
Se por ventura a gente tem essa propriedade, ou seja, seu secamplau limite dessa função lateral e dessa outra função lateral, e esses limites conhecidem.
Então, o teu limitante confronta diz para mim que o limite da função do meio para proteger x tende a, também conhecido com ele.
Então, esse autorionante confronta ou seu limitante do seu list.
Se eu consigo uma desigualdade desse tipo, e eu conheço o limite da função gx tende a, e esses limites conhecidas, então, o limite da função do meio que também vai coincidir com os limites laterais, que das funções laterais aqui.
Esse é o teu limitante confronta, porque eu estou falando que o comportamento da minha função à esquerda e de determinado ponto, o comportamento da minha função à direita tende a esse mesmo valor.
Então, o comportamento da minha função do meio tem que ser espemido entre esses dois valores e vai tende para o mesmo valor.
Uma aplicação deste programa confronta hoje, eu vou mostrar uma figura para vocês.
É o limite trigonométrico fundamental.
Então, aqui aparece com uma função desse tipo que eu comentei para vocês, no qual eu tenho sen x dividido por x, e eu quero qual o limite para quando x vai para zero.
Então, claramente, eu não posso simplesmente substituir x igual a zero aqui, porque eu teria uma divisão por zero.
Então, quando eu substituo, por exemplo, sen zero de zero é zero, x é variado em zero, é zero também, zero de divided, por zero não é um.
Eu não posso afirmar que zero de divided por zero é um.
Então, aqui é um caso, o qual não consigo simplesmente substituir o valor do limite aqui do ponto que eu quero que eu clone o limite com o argumento da minha função.
No entanto, a gente tem essa propriedade, que apesar de não estar bem definida essa função para x igual a zero, eu sei que o limite desse consciente para quando x tem zero é igual a um.
Então, uma maneira de ver que esse limite trigonométrico é verdade é utilizar o teurinho do confronto.
Então, por exemplo, nessa figura aqui, a gente tem essa função em f de x, que é o zero de x, essa função g de x, que é a zero de x sobre x, e essa função aqui em cima é a g de x constante igual a 1.
Então, a gente consegue verificar que f de x, o caquin é, o couto sen x é menor igual que sen x sobre x, que é menor igual que 1, para todo x, por exemplo, pertencente a menos 1 e 1 menos o zero.
Estou tirando zero, porque eu não sei calcular essa função aqui no zero.
No entanto, essa função é uma função contínua, essa função aqui é uma função contínua, então, eu sei calcular os limites dessas funções do função a esquerda e da função a direita.
Coceno de zero é 1 e a função constante aplicada no zero é 1, ou seja, então, o limite da função do teclo-mele existe e conhecido com o limite dessas funções laterais aqui, que é por isso que a gente consegue demonstrar que o limite de sen x dividir o cuchista x tendendo a zero é igual.
Nossa, aqui é uma primeira técnica que permite a gente calcular limites de funções não alimentar, vamos dizer, a sen x sobre x é uma função não alimentar, a gente tem um problema em fina denominador, utilizando limites de funções elementais, por exemplo, a função possendo e a função constante, mas uma um teorema do cálculo, no caso, o teorema do confronto.
O cálculo de limites vem como cálculo de derivadas de integrais sempre utiliza essa técnica, esse tipo de técnica.
Eu tenho uma lista de limites que eu sei calcular, tem uma lista de integrais que eu sei calcular, de derivadas que eu sei calcular, que são as elementares e propriedades das derivadas dos limites das integrais.
Então, eu tenho que misturar esses conceitos para calcular limites derivadas de integrais de outras funções novas.
Uma outra propriedade, um outro resultado muito importante para a gente também, é a regra de looktale.
A regra de looktale fala justamente sobre limites desse tipo, que também não podemos ter uma determinação.
Sempre de x dividido com x para o produtismo da prazer, se a gente olha o limite do numerador, esse cara que dá zero, o limite do denominador também dá zero.
Então, a gente chega, quando a gente tenta aplicar diretamente essa propriedade aqui, de só olhar o limite do numerador dividido para o denominador, que é a verdade, sempre que b é de 0.
Se a gente tenta aplicar isto aqui, a gente chega numa interminação, então 0 sobre 0.
Então, sempre que a gente tem esta determinação, a gente pode olhar pro limite das derivadas.
Então, a gente já estudou com os conceitos derivadas, por isso que eu estou falando dela aqui.
Então, tenho um limite no tipo 0 sobre 0.
Então, eu vou olhar para as derivadas, derivo numerador, derivo denominador, divido por o outro.
Veja bem, aqui eu não estou derivando o consciente, estou fazendo o consciente das derivadas.
Faço o consciente e calculo o limite.
Então, se esse limite existe, a reira de local diz para a gente que o limite do consciente, que é o que eu estava procurado, coincide com o limite do consciente nas derivadas.
Então, a gente pode aplicar também esse resultado para calcular esse limite do que eu estava procurando com esse limite.
A gente pode aplicar também esse resultado para calcular esse limite do semelhix, porque para x, semelhix dividido com x, para x e voa 0, a gente tem 0 sobre 0, que é uma determinação desse tipo aqui.
O limite do numerador, exer, o limite do denominador, exer, também.
Então, eu vou tentar verificar o que acontece com o limite das derivadas.
O limite, a desculpa, ou a derivada do sen x, qualquer derivado do sen x, derivado do sen x, é cos x.
E a derivada da função x é um.
Então, olha só o que está acontecendo.
Eu tenho cos x, de b, por 1 é cos x.
Cos x é uma função continua em x, voa 0 e vale 1.
Então, esse limite para tocar em um calcular é um.
Ora, o limite do consciente das derivadas existe como eu estou na cena de determinação.
Então, eu tenho que esse, que o limite do consciente corresponde com o limite do consciente das derivadas, que é um.
Então, isso vai dar uma outra forma de verificar esse limite trigonovétrico fundamental.
Agora, vamos passar, por segundo, conceito novo na desculpiente calcule, que é o conceito de derivado.
Então, o conceito de derivada é basicamente um limite especial.
Então, a derivada de uma função ponto a é igual ao limite da f de x desculpente aqui.
f de x menos f de ar dividido por x menos ar.
Então, uma interpretação geométrica é muito importante da derivada.
A reta tangente, que foi uma das luvas que também surgiu.
Por exemplo, se a gente tem uma função, a gente tem uma função, quando o calculo aderivada dessa função, vai então, o que a gente tem? x.
Se o calculo aderivada dessa função no ponto a, o que ela fornece para mim é a tangente desse ângulo aqui.
Vou colocar uma reta aqui.
Essa reta é a reta tangente a esse gráfico nesse ponto.
Aqui, a gente tem um ângulo a ofa, e o que a gente tem na verdade é que a tangente desse ângulo a ofa é igual a f de ar.
Então, tendo essa informação, a gente consegue construir o que seria a equação dessa reta aqui.
Essa reta é uma reta que tem como coisinte angular, que é justamente tangente da inclinação dela, é f de ar.
A gente conhece um ponto, ou essa reta tango passando, justamente a f de ar.
Então, a equação geral da reta, ela é algo do tipo y, igual a f de ar vezes x, mais b, esse b aqui, eu vou determinar ele ainda, mas o que é que a gente precisa fazer? Tem que satisfazer quando eu calcular, eu substituir x igual a a, então, tipsu tem que fornecer justamente o ponto f de ar.
Então, a gente verifica que b, na verdade, tem que ser f de ar menos a f de ar.
O que me dá essa equação da reta aqui? Então, verifica que se eu substituir x igual a aqui, eu tenho f de ar vezes a, que corta com esse menos a f de ar.
E o que sobra é justamente o f de ar.
Então, essa equação de reta aqui, em relação de uma reta que tem coisinte angular, f de ar, ou seja, eu tenho essa inclinação aqui, e passa pelo ponto a f de ar, ou seja, justamente a equação da reta tangente aqui, ao gráfico da f de x, no ponto a f.
Então, aqui seria basicamente uma interpretação geométrica da derivada de uma função.
Então, aqui, instamei em algumas propriedades gerais aqui das derivadas, então, por exemplo, a derivada da soma é a soma das derivadas, a derivada de uma função vezes uma constante é essa constante, vezes a derivada do função.
Agora, essas duas últimas propriedades já mudam um pouquinho o respeito para o pedaço que instinha do limite.
Então, a derivada do produto de funções não é mais o produto das derivadas.
Então, a derivada do produto de funções é a gente tem a regrada do produto.
Então, a derivada de f vezes g é a derivada da f vezes g mais f vezes a derivada da g.
E, por consciente, a mesma coisa, a derivada de f dividido por g é a derivada da f vezes g menos f vezes a derivada da g dividido por g ao quadrado.
Isso, claro, sempre que g diá for diferente de zero.
Então, como eu tinha comentado, a gente tem algumas derivadas alimentares.
Essas derivadas alimentares podem ser obtidas diretamente da definição de derivada, mas a gente não espera que a gente tinha que aplicar sempre a definição da derivada.
Então, conhecendo essas derivadas e utilizando essas propriedades, a gente consegue obter derivadas de funções mais complicadas.
Por exemplo, a derivada da função de uma função entre aspas por ilumião, mas x elevado a alguma potência.
Então, a gente faz esse chama de regrada do tombo.
Então, a derivada de x elevado a n, a gente pega essa potência, derruba ela aqui e subtrai a monidade da potência que restou.
Então, n x elevado a n menos 1.
A derivada da função exponencial e elevado a x é ela mesma, e elevado a x.
A derivada da função logaritmo é menos o que x.
A derivada da função sen é cos, e a derivada da função cos é menos.
Então, conhecendo essas 5 derivadas e utilizando essas propriedades de derivação, a gente consegue obter diversas outras derivadas.
Por exemplo, a derivada da utangente, a gente consegue utilizar essas duas derivadas elementares e a regra do cos.
Para a derivação, a gente tem uma outra regra muito importante aqui, que é a regra da cadeia, que é como o derivo funções compostas.
A derivada de f, com o posto com g, é a derivada da f, avaliada, calculada em g de a, vezes a derivada da g.
Então, não sei se todo mundo está acostumado com essa notação, f bola g, a gente também pode se escrever dessa forma.
Então, se eu tenho f z, a f da g x, para a calculada derivada da f z, aqui, num ponto a, eu sei que o gente calcula a derivada da fz, avaliu em g de a, e multiplico por g de a.
Uma outra dúvida que suja também é com respeito a derivada em plícita, como eu calculo, que faço o cálculo de derivadas implícitas.
Então, a ideia é muito simples.
Em geral, a gente tem alguma expressão desse tipo, a g de x e y, e a pergunta é com o cálculo da y, da x ou com o cálculo da x de y, tanto faz a técnica é a mesma.
Então, por exemplo, nesse caso, eu quero calcular da y, da x, o que eu tenho que fazer é assumir que y é uma função de x.
Substitua um y de x, aqui, nessa expressão, eu vou ter h de x e y de x, seja, y de x, eu não tenho uma expressão dela, quero calcular y de x.
Então, eu vou substituir h de x e y de x, e vou calcular a derivada e resolver essa equação em y de x, o que o b de p é vai ser o d y de x.
Então, por exemplo, se a gente quer calcular a derivada, por exemplo, eu tenho x², mais y², igual a 4, e eu quero obter d y de x.
Então, nesse caso, que eu estou falando, é que a minha função h de x e y, ela é igual a x², mais y², menos 4.
Eu estou simplesmente passando esse 4 para o outro lado.
Então, eu vou assumir que y é uma função de x, y é uma função de x, vou substituir a minha expressão, então, tenho x², mais y, que é um de x², menos 4, igual a 0.
E vou derivar, vou derivar este cara aqui, igual a 0, tentar encontrar quem quer, para o y de x.
Então, vou calcular aqui, uma 0, igual a d dx, de x², mais y de x².
Então, aqui eu vou aplicar as propriedades de derivada que eu tenho.
De derivada de uma soma é igual a soma das derivadas, então, aqui vai ficar d dx, dx², mais d dx, d x².
Então, aqui eu consigo calcular a primeira derivada, a primeira derivada vai dar 2x, a segunda derivada tem que usar a regra da cadeia, porque y de x é uma função e y de x² é uma composta, na verdade, eu tenho a minha função potência de 2, composta com a y de x.
Então, eu tenho duas vezes y de x, 2 menos 1, ou seja, vai dar 1 vezes a y de x.
Essa é a derivada, e eu quero resolver isso igual a 0.
Então, vou resolver essa equação em y de x, que é a implica que y de x é igual a menos x sobre y de x.
Se eu quero voltar nessa notação aqui, é só tirar os argumentos, na isso eu aplica que d y de x é igual a menos x sobre y.
Então, você deve que a derivada fique em função ainda de y.
Uma outra dúvida que surgiu com respeito às derivadas superiores, que seria as derivadas superiores.
Então, onde eu calculo a derivada de uma função, essa derivada é ainda uma função.
Eu posso calcular f'x.
Então, a segunda derivada significa calcular a derivada da f'.
Então, não tem nenhum problema.
Se a gente entende com o calcular derivado, a gente entende o conceito de derivadas, o conceito de derivado de x superior é simplesmente fazer uma derivada mais.
Então, eu tenho uma função f'x.
Posso calcular a derivada da yx f'x.
Para calcular a f'x, ou seja, derivada de y2, a minha função f, é só calcular a derivada da f'.
Então, aqui, por exemplo, f'x'x' de a, da verdade, é a derivada da função f'.
E, de maneira náloga, a gente ineraliza aqui, a derivada.
Então, a gente usa a linha até mais ou menos o orn 3.
A gente consegue contar só olhando para a função.
Quanto as derivadas a gente está fazendo? A partir de 4, quando a coisa começa a crescer muito à ordem, a gente usa essa notação que a gente coloca entre parênteses e a ordem da derivada que a gente está fazendo.
Então, aqui seria a derivada de ordem n.
A derivada de ordem n é simplesmente a derivada da derivada de ordem n.
Ou seja, estou fazendo várias derivadas aqui.
Pegue a minha função inerível, ela, n vezes, eu encontrar a derivada de ordem n.
Uma das aplicações do conceito de derivada é o estudo portamento das minhas funções.
Então, se f' é uma função real e um intervalo no domínio de definição da f', eu consigo estabelecer quando a minha função é crescente e o decreente olhando para as derivadas.
Então, se f' é positivo no intervalo e, então, minha f' vai ser crescente em i.
Ou seja, eu tenho um comportamento de função desta forma que eu cresce.
Se a f' de x é negativa no intervalo, então, minha f' vai ser crescente nesse intervalo.
Então, eu tenho algo assim.
A gente também consegue estudar com cavidade da minha função f' para, agora, para a segunda derivada.
Então, já está importante entender o conceito de derivada de ordem superior.
Então, se f' duas linhas de x é positivo em i, isso implica que com a cavidade da minha função é para cima.
Ou seja, a gente tem uma situação desse tipo aqui.
E se f, o que faltou uma linha, f' duas linhas de x é negativa em i, então, a gente tem que a com cavidade da minha função é para baixo.
Acho que tem alguma coisa desse tipo aqui.
Ok? Muito bem.
Então, com respeito a com cavidade da minha função, quando a minha função ela muda de com cavidade, passa de com cavidade para cima, para com cavidade para baixo, no ponto onde ela sofre essa mudança, a gente chama esse ponto de inflexão.
Então, inflexão é o ponto pelo qual função muda com cavidade.
Ou seja, nesse ponto específico, a gente não tem com cavidade bem estabelecido, mas para valores à direita desse ponto, eu tenho uma com cavidade, é a valor para a esquerda desse ponto, tenho outra com cavidade.
Então, uma maneira de se identificar pontos, inflexões, ou seja, mudanças com cavidade, é olhar para os zeros da segunda derivada.
Então, se p é um ponto no qual f' duas linhas de p é igual a zero, e f'3 linhas, ou seja, a terceira derivada da minha função f para a limpia diferente, de zero, então, a gente diz que esse ponto p é um ponto de inflexão.
Então, a gente tem uma mudança na com cavidade da minha função nesse ponto.
De maneira ná, a gente pode estudar também pontos de máximo e mínimo de funções.
Então, só para recordar que, um ponto p, leadito máximo global da minha função f, se esse valor aqui fdp é o maior valor que a minha função f pode atingir.
Ou seja, fdx é menor igual que fdp para todo x no domínio da minha função f.
E p é um mínimo global, se fdp é o menor valor que a minha função f pode atingir.
Ou seja, fdx é maior igual a fdp para todo x no domínio da minha função f.
Esses pontos aqui para a gente estudar, eles a gente tem que utilizar um pouco mais o que é derivada.
Mas a derivada é boa para identificar o que chama de máximo e mínimo local.
Então, um ponto p, ele é dito máximo local, se fdx é menor igual que fdp para todo x, e um intervalo contendo p.
Então, não precisa ser mais essa desigualdade, que é a mesma aqui, não precisa mais ser satisfeita para todo x no domínio.
Mas, basta que seja satisfeita para todo x no intervalo contem p.
Ok, então a gente diz que p é um máximo local.
E o mínimo local é a mesma coisa, fdx é maior igual que fdp para todo x, é intervalo contendo p, só não dific aqui a desigualdade.
Então, aqui, por exemplo, a gente pode ter situações desse tipo, tem um mínimo local, mas ele não precisa ser o mínimo local, eu tenho outro ponto que é menor, mas a indução mínimos locais.
E o mesmo vale pros máximos.
Então, posso ter máximo local aqui, e a minha função pode crescer mais.
Mas, no intervalo, esse ponto aqui, esse intervalo aqui é o máximo que é a minha função atinge.
Ok? Então, utilizando a devaga, a gente tem uma condição necessária para aqui, no ponto do meu domínio seja máximo ou mínimo global.
Desculpa, máximo mínimo local.
Então, cp é um ponto de máximo ou mínimo local.
Então, necessariamente, a derivada da minha função tem que celular nesse ponto p.
Então, para descartar, se algum ponto do meu domínio é máximo, o mínimo local basta calcular a derivada.
Se a derivada for diferente de zero, então, eu já sei que ele não pode ser máximo nem mínimo local.
Então, os pontos nos quais a derivada é essa mula, são chamados de pontos críticos da minha função f.
Ok? Então, máximo mínimo local, f sempre um ponto crítico da minha função f.
Agora, a gente tem uma condição suficiente para identificar o máximo mínimo local utilizando a segunda derivada.
Então, se f é linha de p, zero, e f duas linhas de p é menor que zero, a gente tem que p é um máximo local da minha função.
Então, basicamente, o que está acontecendo é que eu tenho algo desse tipo aqui.
É um máximo local da minha função.
Não tem que ir.
Não sei o que está acontecendo para pontos longe de p.
Mas, para pontos próximos de p, eu tenho que ir ao mal de uma avalva que pode ser atingida.
E, se f é linha de p é igual a f duas linhas de p é positivo, eu tenho que ter um mínimo local da minha função.
Então, a gente tem algo desse tipo aqui.
Então, esse cara aqui é chamado de teste da segunda derivada.
Utilizando ainda o conceito de derivadas, a gente tem o teorema de Taylor, a fórmula de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções com a travesse de polinômenos.
Então, dá uma função, e a gente consegue construir o polinômeno de Taylor, de determinada ordem, que é um polinômeno que aproxima os valores da minha função.
Com maior a ordem desse polinômeno que eu considera, melhor é essa aproximação.
Então, o polinômeno de Taylor de ordem um, que é nada, ele é escrito dessa forma aqui.
Então, p x vai ser igual a f calculada, em determinado xₙ, mas a derivada da f xₙ vezes x menos xₙ.
Então, a minha função f, para valores de x próximos de xₙ, a imagem da minha função vai estar próxima desse valor aqui.
Então, se x está próximo de xₙ, então f de x está próxima de px.
A gente consegue estudar, por exemplo, por exemplo, isso daqui, da maneira médica, se calcular valores de funções.
Funções, por exemplo, não lineares, utilizando uma função linear aqui, que xₙ para um hidrofixo e a função na verdade é uma função xₙ, uma função linear, por nome de grau.
A gente pode aumentar a ordem desse polinômeno, por exemplo, ordem n.
Então, para o polinômeno de tê-lo de ordem, ele é construído dessa forma.
Então, ele é o polinômeno de tê-lo, veja que a gente tem o polinômeno de tê-lo de ordem n1, só que eu tenho que utilizar agora as outras derivadas.
Então, o que a gente faz é sumar a derivada que a gente começa, com a segunda derivada da f calculada de xₙ, e divida a segunda derivada por 2 fatorial.
Aqui, por exemplo, eu tenho um fatorial, e que eu tenho o zero fatorial, que é um também.
Então, eu tenho a xₙ aqui, vezes xₙ², e eu comece a incluir os outros coecientes.
Então, os outros termos, aqui, eu tenho a terceira derivada da minha função fₙₙ, divido por 3 fatorial, vezes xₙₙ.
E assim, com o diante até a inésima derivada, a inésima derivada de xₙ² fatorial vezes xₙ⁵, elevado a n.
Então, aqui, novamente, a gente tem que se xₙₙₙ.
Então, fₙₙₙₙ, está próximo de pₙ, que, como a maior fₙₙ, melhor vai ser essa aproximação.
Muito bem.
Então, o último conceito, em da disciplina de cálculo, que a gente estuda, é o conceito de integração.
Então, as integrais, elas funcionam como uma operação diversa derivação, que eu penso em uma deprimitiva, e a definição da integraula, na verdade, é feito via cálculo diárias abaixo de funções positivas.
Então, a definição vem do cálculo diárias e, mais o cálculo em si das derivadas são feitas, em termos de primitiva.
Então, vamos começar falando um pouquinho sobre primitiva e integral definida.
Então, uma primitiva de uma função f, f, mas é uma função fz, tal que a derivada dessa função fz, é igual com esse de com a fz.
Então, a forma de se definir uma primitiva, é basicamente pensando como a inversa derivada.
Então, quando eu falo, qual é a primitiva de uma função fz? Ora, eu tenho que buscar uma função fz, que é hora que eu derivo essa função derivada é o que a gente já sabe fazer.
Então, hora que eu derivo essa função fz, eu obtém a minha função fz.
Calcular integrais, calcular primitivas, é um processo inverso do cálculo de derivação.
Então, a princípio não saiu integrando de fato.
Não, não saiu buscando funções cuja derivada conhecida com a função fotocelera integral.
Então, introduzido o conselho de primitiva, a gente consegue introduzir o conceito de integral indefinida de uma função f.
Então, integrais indefinidas que ser pensadas como classes de funções.
Na verdade, conhecamos o anticom a classe de todas as primitivas de determinada função.
Então, a integral de uma função fz, a gente já nota dessa forma integral de f dx, vai ser igual a fz na dx, mas uma constante c, essa constante c, ela pode ser qualquer constante real, na verdade.
Em que f é uma primitiva da minha função fz.
Então, esse daqui é o conceito de integral indefinida.
Como essa c é o conceito arbitrário, então a gente diz que essa integral aqui na verdade é uma classe de funções.
Bom, então, pensando no conceito de primitiva de uma função, a gente consegue utilizando, por exemplo, a lista de derivadas que a gente tinha fornecido.
A quem ensina, a gente consegue, dessa lista criar uma lista de integrais indefinidos.
Basicamente, olhando agora desse lado aqui, então, a integral dessa função, por exemplo, é uma integral indefinida de f dx, vai ser menos o percento de x.
A integral indefinida de percento de x vai ser sen x.
A integral indefinida de 1 sobre x vai ser o log, o ln de x.
A integral indefinida de exponencial de x, vai ser exponencial de x, a integral indefinida de n x, levado em menos 1, vai ser x, elevado em.
Então, reescrevendo essas.
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Isso, com a cabeça, com menta com vocês e conceitando os parâmetros, crievetei essa lista de integrais indefinidas alimentares.
Então, a integral de x elevado a n vai ser x elevado a n, mais 1 dividido por ele, mais 1, mais c, porque a derivada dessa função aqui corresponde a x elevado a n.
Então, essa pergunta que a gente faz.
Então, a integral de x elevado a n menos 1 vai ser o ln do módulo de x mais c.
Essas aqui, o coloquei x elevado a n menos 1, essa verdade, a gente também tem 1 sobre x.
Só uma outra notação.
Ok? A integral da exponencial de x, é exponencial de x mais c, a integral de sen x é menos por cento de x mais c, e integral de por cento de x é sen x mais c.
Ok? Novamente, a gente tem algumas propriedades gerais e conforme a gente vai complicando o conceito, limite derivado a integral, a gente vai perdendo as propriedades.
Então, no limite, a gente tinha boas propriedades com soma, produto constante, produto e defunções de visual e defunções.
Nas derivados, a gente já perdeu a derivada de produtos e defunções e consciente, e aqui, mais tínhamos outras propriedades, e aqui acontece a mesma coisa.
Então, a gente tem que a integral da sonda de funções e a sonda das integrais, a integral de uma função, vezes uma constante.
Essa constante, vezes a integral, só que já não tem mais propriedade para produto e consciente de funções, integral de produto e consciente de funções.
O que a gente tem são algumas técnicas de integração.
Então, por exemplo, se a gente tem a integral indefinida de um produto dessa forma, ou seja, eu tenho uma f de x deste lado e uma gelinha deste lado aqui, então a gente consegue aplicar essa propriedade de integração por pássito.
Então, a integral de f de x, vezes a gelinha de x, f de x, vezes a x menos a integral de f linha, vezes a x.
Observe o que a gente está fazendo aqui, pegando essa derivada para este lado e jogando para esta função.
Então, isso é a questão de integração por pássito.
A gente tem uma propriedade também que a integração por substituição, só que seria basicamente o analo ou a regra da cadeia, que a gente tem a regra do produto, que seria o analo ou a regra da cadeia da derivada.
Então, a integral de f composta com g, então, f de g de x, vezes a gelinha de x, acho que vai ser igual a f zona de g de x, mais c em que f zona é uma primitiva da minha função fc.
E uma última propriedade, uma última técnica de integração aqui, que é basicamente o neural dessa integração por substituição, que é a mudativa de águias, diz o seguinte, que é integral da f de x dx, conheci com a integral da f de f, de f, vezes filinha de u.
Então, muitas vezes a gente consegue escolher boas f's aqui para simplificar este integrando aqui dentro.
Então, às vezes eu tenho que alplasse a integração aqui, não sei qual class integral, mas fazendo alguma espécie de mudança de variáveis, o que fica aqui no integrando, é mais simples do que a gente tinha originalmente.
Eu consigo integrar esse lado direito aqui, e obter a expressão na integral que eu estava procurando.
Muito bem, então, isso daqui é o conceito de integral indefinido.
A gente também tem o conceito de integral definida que está associado ao conceito de áreas de regiões abaixo de gráficos.
Então, se f é uma primitiva da minha fz, ou uma primitiva da minha função fz, a integral definida de f entre a ib é dado dessa forma.
Aqui, basicamente, eu coloco como uma definição, mas a definição mesmo é um limite, que é chamado o limite de rima, que é definido via áreas de fato de de quadadinhos abaixo de determinada curva.
Aqui, eu estou usando, eu estou enunciando essa definindo, essa integral utilizando já o teoreo amofundamental, dado que eu tenho estabelecido a definição de primitivos.
Então, a integral da f de x trax ao a de a a b é igual a f de b menos f de a, na qual f zona é uma primitiva na minha função fz.
E se f de x é maior ou igual que zero para x nesse intervalo a b, então, essa integral definida corresponde de fato com o gráfico, com a área abaixo do gráfico da f de x para x entre a ib.
Então, a gente tem aqui o desenho clássico, se eu tenho a minha função f de x, aqui eu tenho a, minha que eu tenho b, então, essa integral que eu acabei de definir em cima corresponde a área dessa região em amarelo aqui.
Então, esse cara aqui é de falta integral de a b f de x dx, onde essa curva é a f de x.
Então, para calcular a área abaixo de curvas ou entre gráficos, a gente usa esse conduceiro.
Então, por exemplo, se a gente tem um gráfico no qual fica negativo em algum momento, e eu quero calcular essa área aqui.
Então, o que a gente observa é que, bom, nesse ponto aqui, se lá de a b c, essa integral aqui ela vai ser positiva, só que ela que eu calculo a integral da f de x entre b e c, ela fica negativa.
Então, o que a gente tem que fazer é alterar o sinal da integral de f de x entre b e c.
É uma regra geral aí no cálculo de diáreas.
A gente define a área para funções positivas, para função negativa, tem que ser menos a integral de f de x de b a c.
E para calcular as áreas entre dois gráficos, a gente usa o mesmo conceito.
Então, se eu tenho uma função aqui e uma outra função aqui, se eu quero calcular essa área aqui, o que eu tenho que fazer é calcular primeiro essa área maior, e subtrair dessa que está aqui abaixo.
Então, a gente consegue utilizar a mesma ideia para obter o valor dessa área, que simplesmente fazendo a diferença entre duas integrares.
E o último conceito que aparece aqui, para a gente, é um conceito de integração em propria, que volta para o conceito de limite.
Então, se eu quero calcular a integral de uma função integrada definida, no caso, só que um dos extremos de integração é infinito ou menos infinito.
Então, a integral, por exemplo, de f de x para x entre a até infinito, é basicamente o limite dessa integral definida aqui, ou seja, o limite para a b ter deno mais infinito da integral de a b de f de x de x.
E, de forma analgada, a gente define também essa integral em propria, agora, quando o limite inferior de integração é menos infinito.
Então, a integral de f de x para x vale a de menos infinito a b vai ser igual ao limite para a indo, tendendo a menos infinito da integral definida de a b de f de x de x.
A gente retoma o finalzinho do estudo de integrais, o conceito de.
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se esses limites aqui existem, então, essas integrais em proprias, elas são ditas convergentes.
Bom, pessoal, então, aqui acaba o conteúdo da revisão.
Eu recomendo que vocês refaçam os exercícios que foram abordados aí durante o Biméter, principalmente as listas, as atividades avaliativas que vocês fizeram semanalmente.
Então, refaçam aqueles exercícios com as continhas que aparecem aí nessas listas, que nas atividades avaliativas semanais, que com essa revisão, e fazendo essas atividades e estudando esses exercícios para vocês conseguirem tirar uma boa nota e na atividade avaliativa final.
Ok, pessoal, então, muito obrigado pela atenção, espero que vocês tenham uma excelente, uma excelente nodio de curso, bons estudos e boa prova para vocês.