Integrais: Substituição, Integração por Partes e Cálculo de Área
1. Método de Substituição
O método de substituição (ou u‑substitution) consiste em escolher uma parte da integral que,
ao ser derivada, aparece em outro fator da integral. Assim, substituímos essa parte por uma nova variável
u e transformamos a integral em uma forma mais simples.
Exemplo 1
Calcule \(\displaystyle\int (3x^{2}+2x)\,e^{x^{3}+x^{2}+1}\,dx\).
Observe que a derivada de \(x^{3}+x^{2}+1\) é exatamente \(3x^{2}+2x\). Definimos
\[ u = x^{3}+x^{2}+1 \qquad\Longrightarrow\qquad du = (3x^{2}+2x)\,dx . \]Substituindo:
\[ \int (3x^{2}+2x)\,e^{x^{3}+x^{2}+1}\,dx = \int e^{u}\,du = e^{u}+C = e^{x^{3}+x^{2}+1}+C . \]O resultado volta à variável original substituindo \(u\) por sua expressão em \(x\).
Exemplo 2 (necessidade de ajustar o diferencial)
Calcule \(\displaystyle\int \sqrt{3x+5}\,dx\).
Escolhemos \(u = 3x+5\). Então \(du = 3\,dx\) ou \(\displaystyle dx = \frac{1}{3}\,du\).
Substituindo:
\[ \int \sqrt{3x+5}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du . \]Integramos:
\[ \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C = \frac{2}{9}u^{3/2}+C = \frac{2}{9}(3x+5)^{3/2}+C . \]
2. Integração por Partes
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto:
\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du . \]Escolhemos u (a parte que será derivada) e dv (a parte que será integrada).
Exemplo 1
Calcule \(\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx\).
Escolhemos \(u = x \;\Rightarrow\; du = dx\) e \(dv = e^{2x}\,dx \;\Rightarrow\; v = \frac{1}{2}e^{2x}\).
\[ \int x e^{2x}dx = x\cdot\frac{e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac{x e^{2x}}{2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{e^{2x}}{2}+C = \frac{e^{2x}}{4}\,(2x-1)+C . \]Exemplo 2 (duas aplicações sucessivas)
Calcule \(\displaystyle\int x^{2}\sin(3x)\,dx\).
Primeira aplicação: \(u = x^{2}\;(du = 2x\,dx)\), \(dv = \sin(3x)\,dx\;(v = -\frac{1}{3}\cos 3x)\).
\[ \int x^{2}\sin(3x)dx = -\frac{x^{2}}{3}\cos 3x + \frac{2}{3}\int x\cos 3x\,dx . \]Segunda aplicação na integral restante: \(u = x\;(du = dx)\), \(dv = \cos 3x\,dx\;(v = \frac{1}{3}\sin 3x)\).
\[ \int x\cos 3xdx = \frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int \sin 3xdx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x . \]Substituindo de volta:
\[ \int x^{2}\sin(3x)dx = -\frac{x^{2}}{3}\cos 3x + \frac{2}{3}\Bigl(\frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x\Bigr)+C . \] Simplificando: \[ = -\frac{x^{2}}{3}\cos 3x + \frac{2x}{9}\sin 3x + \frac{2}{27}\cos 3x + C . \]
3. Cálculo de Área com Integrais Definidas
Para encontrar a área limitada por uma curva \(y = f(x)\) e o eixo \(x\) entre dois pontos \(a\) e \(b\), usamos a integral definida:
\[ A = \int_{a}^{b} |f(x)|\,dx . \]Se a função está acima do eixo \(x\) no intervalo, basta integrar \(f(x)\); se está abaixo, integra‑se \(-f(x)\).
Exemplo
Calcule a área limitada por \(y = -x^{2}+x\) e o eixo \(x\).
Primeiro, encontramos as raízes:
\[ -x^{2}+x = 0 \;\Longrightarrow\; x(1-x)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \;\text{ou}\; x=1 . \]Entre \(0\) e \(1\) a parábola está acima do eixo, logo:
\[ A = \int_{0}^{1} (-x^{2}+x)\,dx = \Bigl[-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)-0 = \frac{1}{6}\; \text{unidades de área}. \]
2. Resumo dos Tópicos
- 1. Método de Substituição
- Escolher \(u\) de modo que \(du\) apareça na integral.
- Substituir \(u\) e \(du\) transformando a integral em uma forma mais simples.
- Exemplo 1: \(\int (3x^{2}+2x)e^{x^{3}+x^{2}+1}dx = e^{x^{3}+x^{2}+1}+C\).
- Exemplo 2: \(\int \sqrt{3x+5}dx = \frac{2}{9}(3x+5)^{3/2}+C\).
- 2. Integração por Partes
- Fórmula: \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\).
- Escolher \(u\) (derivar) e \(dv\) (integrar).
- Exemplo 1: \(\int x e^{2x}dx = \frac{e^{2x}}{4}(2x-1)+C\).
- Exemplo 2 (duas iterações): \(\int x^{2}\sin(3x)dx = -\frac{x^{2}}{3}\cos 3x + \frac{2x}{9}\sin 3x + \frac{2}{27}\cos 3x + C\).
- 3. Cálculo de Área com Integrais Definidas
- Área entre a curva e o eixo \(x\): \(A=\int_{a}^{b}|f(x)|dx\).
- Determinar os pontos de interseção (raízes) para definir os limites.
- Exemplo: Área sob \(y=-x^{2}+x\) entre \(0\) e \(1\) é \(\frac{1}{6}\) unidades de área.
Questões sobre o assunto
Resposta correta: C) \(du = (3x^{2}+2x)dx\) e a integral torna‑se \(\int e^{u}du\) + C.
Ao substituir, a integral simplifica para \(\int e^{u}du = e^{u}+C\), que ao voltar a \(x\) dá \(e^{x^{3}+x^{2}+1}+C\).
Resposta correta: A) \(\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{2}dx\)
Depois de escolher \(u=x\) e \(dv=e^{2x}dx\), a fórmula dá \(\frac{x e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}dx\).
Resposta correta: C) \(\displaystyle \frac{1}{6}\)
Integrando \(\int_{0}^{1}(-x^{2}+x)dx\) obtém‑se \(\frac{1}{6}\) unidades de área.
Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{1}{3}\)
De \(du = 3dx\) segue‑se \(dx = \frac{1}{3}du\); portanto a integral fica \(\frac{1}{3}\int u^{1/2}du\).
Texto original
O texto original pode conter falhas de gramática ou de concordância, isso ocorre porque ele foi obtido por um processo de extração de texto automático.
Texto extraído do video Cálculo I - Resolução de Exercícios: Integral
Olá pessoal, na aula de hoje nós vamos resolver alguns exercícios envolvendo integrais de uma função.
Vamos lá? Então, os primeiros exercícios aqui nós vamos usar o método de substituição para resolver integral.
Como que funciona esse método? Nós temos aqui, por exemplo, nesse primeiro exemplo, vou calcular integral de 3x² mais 2x, exponencial de x³ mais x² mais 1.
Notem que, quando eu faço derivada de x³ mais x² mais 1, eu tenho exatamente 3x² mais 2x.
Então, eu vou usar esse fato para integrar a minha função utilizando o método de substituição.
Então, como que eu faço isso? Eu vou chamar u de x³ mais x² mais 1.
E daí, então, d u, que vai ser derivada, vai ser 3x² mais 2x dx.
Então, fazendo isso, eu transformo uma função de x em uma função de u.
Então, todo lugar que onde tem x, eu vou substituir por alguma coisa em função de u.
Então, a minha integral vai ser rescrita da seguinte maneira.
Exponencial de x³ mais x² mais 1 vai virar exponencial de u.
Certo? Porque x² mais 1 é u, então, exponencial de u.
3x² mais 2x dx é d u.
Então, eu transformei uma integral de uma função x em uma função em u.
E bem, mais simples, já que a integral da exponencial de u é exponencial de u, mais constante.
Daí, como a minha função original está em x, eu vou retornar ela em x.
Então, eu tenho que u é igual a x³ mais x² mais 1 mais uma constante.
Então, é assim que a gente faz o cálculo da integral utilizando a técnica de substituição.
Esse segundo exemplo aqui também, eu vou usar essa mesma técnica.
Então, para facilitar a minha integral, o que eu posso fazer? Vou chamar 3x mais 5 de u.
Daí, d u vai ser 3 dx, porque é derivada de 3x, porque é 3, porque é derivada de 5 é zero.
Mas daí, surgiu um 3 aqui, que não tenha aqui para substituir, porque aqui tinha exatamente o 3x² mais 2x e o dx.
Aqui tem o dx, mas não tem esse 3.
Então, o que eu vou fazer com ele? Eu vou passar dividindo aqui para esse lado.
Então, eu fico com 1 terço de d u igual a dx.
Aí, agora, sim, é o dx que eu preciso substituir, e eu vou substituir para alguma coisa em termos de u.
Então, a minha integral fica integral da raiz de u.
E o dx, ele é 1 terço de d u.
Esse é 1 terço, eu posso tirar da integral, porque é uma constante raiz de u, d u.
Então, lembrando, a raiz de u pode ser escrita como o elevado ameio.
E daí, para calcular a integral, eu uso aquela regrinha da integral de polinomial.
Então, eu fico com 1 terço.
É, então, a potência mais 1, então, u vai ser u elevado a meio mais 1, que vai ser 3,5, dividido por 3,5.
E aqui, estou multiplicando.
Mais a constante.
O 3,5, que está aqui, eu posso colocar ele aqui para cima, mas eu inverta a ordem.
Então, 3,5 vai ser igual aos 2 terços.
Eu tiro ele aqui, invertei-lo ao ordem do numerador e do denominador.
E a raiz, e u elevado a 3,5, eu posso reescrever na raiz.
Então, fico com raiz de u ao cubo.
Porque o que está em cima vai aqui para dentro, e o que está embaixo é o que vai indicar a minha raiz, a raiz quadrada.
Tenho 2 aqui, em plícito.
Aí, eu posso fazer esse produto.
Então, uma vez 2, 2, 3 vezes 3, 9.
Então, fico com 2, 9.
Da raiz de u ao cubo mais uma constante.
Mas quem é u é 3,5? Então, vou reescrever como 2,9, raiz de 3,5 ao cubo mais uma constante.
Então, método de substituição.
É quando você olhar, eu posso deixar mais fácil essa integral, chamando, talvez, isso está aqui de u.
Mas, quando eu derivar, vai dar para eu transformar no que está restando.
Então, aqui, hora que eu dv deu para transformar, deu para reescrever, o 3x² mais 2 dx.
Aqui, do para reescrever o dx como um terço de de u.
Que a gente vai ver agora é integração por partes.
Então, só relembrando na integração por partes, eu tenho um produto integral de um produto de funções de forma que, uma das funções, eu chamo de u, e a outra função, eu chamo de dv.
O que que isso significa? Que quem eu chamado de u, eu vou ter que derivar, porque eu vou ter que encontrar quem é dv.
Quem eu chamado de dv, eu vou ter que integrar, porque eu vou ter que encontrar quem é a v.
Então, a nossa escolha vai ser baseada nisso, uma função que eu vou ter que derivar a outra que eu vou ter que integrar.
E aí, a desculpa integral vai ser o v menos integral de v deu.
Então, eu tenho aqui essa integral x exponencial de 2x.
Eu vou chamar de u x e vou chamar de dv a exponencial de 2x dx.
Então, eu chamei a u de x, quem que vai ser dv? Vai ser próprio de x.
Derivada de u, vai ser próprio derivado de x.
Chamei de dv a exponencial de 2x, quem vai ser v.
Então, quem é a integral da exponencial de 2x? Então, exponencial de 2x sobre 2.
Então, eu já tenho tudo que eu preciso para aplicar aqui.
U v é integral de v deu.
Tenho todas as partes que eu preciso.
Então, vou substituir aqui.
Então, a minha integral de x exponencial de 2x dx vai ser u vezes v.
Então, u vezes v x exponencial de 2x sobre 2 menos a integral de v deu.
Então, eu vou ter exponencial de 2x sobre 2 dx.
Como eu tenho um meio, o meio a gente pode tirar aqui da integral e fica com exponencial de 2x dx.
Então, v vezes deu.
exponencial de 2x sobre 2 dx.
E vou calcular essa integral aqui, quem é integral da exponencial de 2x.
Então, x exponencial de 2x sobre 2 menos meio.
exponencial de 2x, a integral, é exponencial de 2x sobre 2.
Mais uma constante.
Posso fazer esse produto aqui, 2 vezes 2 e fico com exponencial de 2x sobre 4.
Mais uma constante.
Então, para lembrar bem da técnica de integração por partes, a gente tem que sempre lembrar que uma função nesse produto a gente vai derivar e outra função a gente vai integrar.
Lembrar sempre da regrinha, ou ver menos integral de v deu.
Vamos fazer aqui mais um exemplo usando a integração por partes.
O que eu vou fazer aqui? Vou chamar u dx quadrado.
E dv de cos 3x.
Então, chamando u dx quadrado, eu vou ter deu u igual a 2x dx.
Certo? Derivada do x quadrado.
E vou fazer, então, dv igual cos 3x.
Então, v vai ser sen 3x sobre 3, que é integral do cos 3x.
Tegrado cos sen é sen, sen 3x dividido por 3.
E aí, vou aplicar, então, na regrinha, o v menos integral de v deu.
Então, u vezes v, eu vou ter x quadrado, sen 3x sobre 3, menos integral de v vezes deu.
Notem que eu tenho um 2 aqui e um 3 aqui.
Eu posso tirar da integral, então, eu fico que fora com 2x, integral de x sen 3x.
Mas, espera aí.
Eu fico com outra integral de produto que eu não sei resolver de maneira direta.
O que eu faço? Vou aplicar mais uma vez a integral por partes para resolver essa integral.
Então, vou fazer aqui embaixo a integral de x sen 3x e depois eu volto e substituo aqui o resultado.
Então, eu vou chamar u dx e dv de sen 3x.
Se u é igual a x, então, dú dx.
Se dv é igual a sen 3x, então, v é igual a menos cos 3x sobre 3.
O que eu fiz aqui? Integrei o sen 3x, menos cos 3x sobre 3.
Substituindo aqui nessa integral.
Então, integral do x sen 3x, u vezes v, então, eu vou ficar com menos x cos 3x sobre 3, menos a integral de v deu.
Certo? Então, aqui fico com integral, o cos 3x sobre 3 tem um negativo, menos com menos a ficar com mais, e aqui eu tenho um terço que eu posso colocar para fora da integral.
Então, fico com um terço do cos 3x dx.
E aí, o cos 3x dx, eu sei, calcular, qual é a integral.
Então, aqui a gente fica menos cos 3x sobre 3.
A integral do cos 3x é sen 3x sobre 3, mas eu já tenho um 3 aqui, então, vou ficar com sen 3x sobre 9.
Esse valor aqui é o valor dessa integral aqui.
Então, o que eu vou fazer? Não acabou aqui.
Eu vou pegar esse valor e vou substituir aqui nessa integral.
Vou fazer de vermelho para ficar mais separadinho.
Então, aqui eu copio, e aqui eu vou fazer esse produto, do menos 2 terços com cada uma dessas partes.
Então, menos 2 terços, vezes menos cos 3x sobre 3, menos com menos fica mais, e o 3 vezes 3 aqui dá 9.
Então, vou ficar com 2x cos 3x, e 3 vezes 3x 9.
E, agora, o produto aqui.
Eu tenho 3, tenho 9, vai ficar 27, tenho menos com mais que vai ficar menos.
Então, menos 2 sen 3x, 3 vezes 9, 27.
E aqui, eu resultado dessa integral por partes.
Então, essa integral está aqui para a gente ver que a gente precisa, vezes a integral mais de uma vez.
Sem integral uma vez por parte, tem que integrar de novo.
Isso acontece muitas vezes.
Então, às vezes, para aqui, não está errado.
É errado, é sinal que você tem que fazer mais uma vez.
Para finalizar, a gente vai fazer, agora, um exercício de cálculo de área, usando integral.
Então, eu tenho aqui, a função menos x² mais x, e que era calcular a área que está limitada por essa função, e pelo eixo x.
Pela cara da função, ela é uma função quadrática, então, uma parábola, por conta do x², e como tenho o negativo aqui, eu sei que é uma parábola, com com a cavidade para baixo.
Primeiro, a coisa que eu vou fazer é encontrar as raízes aqui para eu poder fazer um esboço desse gráfico.
E, com essas raízes, eu posso já calcular, também, uma intervalo de integração.
Então, como que eu faço o cálculo das raízes aqui? Então, tenho menos x² mais x, igual a zero.
Eu posso colocar o menos x em evidência, e aqui eu fico com x menos 1, igual a zero.
O que isso quer dizer que ou x aqui é zero, ou x menos 1 é zero, ou seja, ou x é igual a 1? Então, para isso, você é zero, ou x é zero, ou x é menos 1.
Então, fazendo aqui, um esboço, o que que eu sei? Opa, sei que é minha função, que é uma parábola com com cavidade para baixo, ela tem essa cara.
Ela para passar aqui no zero zero, né, é bem subem.
E aí, essa é a região que eu quero calcular a área.
Certo? Como pode ver, eu sou muito boa em desenho, só que não.
E aí, então, eu tenho toda a minha região aqui, acima do eixo do x, e sei que uma intervala de integração vai dizer um.
Então, vou fazer uma integral de zero a um, de menos x² mais x dx.
Então, integral do menos x², menos x³ sobre 3, integral do x² sobre 2.
Calculei a integral e vou aplicar nos limites de integração, de zero a 1.
Então, vou aplicar no de cima menos aplicado no de baixo.
Então, vou aplicar no de cima, vou ter menos 1 terço mais meio, certo? Um ao cubum, um ao quadrado um.
Então, é isso daqui, menos aplicado no zero, mas aqui zero ocuba zero, zero de vídeo por 3, zero.
Zero ao quadrado zero, dividido por 2, zero.
Então, menos zero.
menos 1 terço mais 2, né, posso fazer aqui o emc, fica com menos 2, mais 3, que dá 1,6.
Então, 6, unidade diária, né? Não sabemos qual unidade, mas a unidade diária dessa região que está limitada pela função menos x² mais x e pelo eixo x.
E aí, a gente sabe que ele cruza o eixo x aqui nos pontos R1 calculando quais são as raízes dessa função.
Esses foram, então, os exercícios de integrais espero que tenham gostado e bons estudos.
