Derivadas: Regras, Exercícios e Aplicações
1. Regras de Derivação
1.1 Regra do Produto
Seja \(f(x)=u(x)\,v(x)\). A derivada de \(f\) é
\[ f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \]
Exemplo: \(g(x)=(x+4)\cos(3x)\).
Aplicando a regra:
- Derivada de \(u(x)=x+4\) → \(u'(x)=1\).
- Derivada de \(v(x)=\cos(3x)\) → \(v'(x)=-3\sin(3x)\).
Então, \[ g'(x)=1\cdot\cos(3x)+(x+4)(-3\sin(3x)) =\cos(3x)-3(x+4)\sin(3x) \]
1.2 Regra do Quociente
Para \(h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\) (com \(v\neq0\)):
\[ h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} \]
Exemplo: \(p(x)=\dfrac{3x^{2}+1}{x}\).
- \(u(x)=3x^{2}+1\) → \(u'(x)=6x\).
- \(v(x)=x\) → \(v'(x)=1\).
Então, \[ p'(x)=\frac{6x\cdot x-(3x^{2}+1)\cdot1}{x^{2}} =\frac{6x^{2}-3x^{2}-1}{x^{2}} =\frac{3x^{2}-1}{x^{2}} =3-\frac{1}{x^{2}} \]
1.3 Regra da Cadeia (Funções Compostas)
Se \(F(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{n}\) ou \(F(x)=f\bigl(g(x)\bigr)\), então
\[ F'(x)=n\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}\,g'(x) \]
Exemplo 1: \(y=(x^{2}+5)^{10}\).
- Função interna: \(u(x)=x^{2}+5\) → \(u'(x)=2x\).
- Função externa: \(u^{10}\) → derivada \(10u^{9}\).
Logo, \[ y'=10\,(x^{2}+5)^{9}\cdot 2x=20x\,(x^{2}+5)^{9} \]
Exemplo 2: \(y=x\,e^{x^{2}}\) (produto + cadeia).
- Derivada de \(x\) → 1.
- Derivada de \(e^{x^{2}}\) → \(e^{x^{2}}\cdot 2x\).
Aplicando a regra do produto: \[ y' = 1\cdot e^{x^{2}} + x\cdot (2x\,e^{x^{2}}) = e^{x^{2}} + 2x^{2}e^{x^{2}} = e^{x^{2}}\bigl(1+2x^{2}\bigr) \]
1.4 Derivada de Funções Trigonométricas
Derivadas básicas:
- \(\dfrac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)\,u'\).
- \(\dfrac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)\,u'\).
Exemplo: \(q(x)=3\sin(3x^{2}+1)\).
- Derivada externa: \(3\cos(3x^{2}+1)\).
- Derivada interna: \((3x^{2}+1)'=6x\).
Então, \[ q'(x)=3\cos(3x^{2}+1)\cdot 6x=18x\cos(3x^{2}+1) \]
1.5 Aplicação: Velocidade e Aceleração
Se o deslocamento é \(s(t)=t^{2}-t\):
- Velocidade: \(v(t)=s'(t)=2t-1\).
- Aceleração: \(a(t)=v'(t)=2\).
1.6 Estudo de Crescimento, Máximos e Mínimos
Função: \(f(x)=8x^{3}+12x^{2}-1\).
Primeira derivada: \[ f'(x)=24x^{2}+24x=24x(x+1) \]
Pontos críticos: \(x=0\) e \(x=-1\).
Teste de sinal (escolha de pontos):
- Para \(x<-1\) (ex.: \(-2\)): \(f'(-2)=48>0\) → crescente.
- Para \(-1
- Para \(x>0\) (ex.: \(1\)): \(f'(1)=48>0\) → crescente.
Segunda derivada: \[ f''(x)=48x+24 \]
- Em \(x=0\): \(f''(0)=24>0\) → mínimo local.
- Em \(x=-1\): \(f''(-1)=-24<0\) → máximo local.
2. Resumo dos Tópicos
- 1. Regra do Produto
- Deriva o produto de duas funções: \( (uv)' = u'v + uv'\).
- Exemplo: \((x+4)\cos(3x)\) → \(\cos(3x)-3(x+4)\sin(3x)\).
- 2. Regra do Quociente
- Deriva o quociente: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}\).
- Exemplo: \(\frac{3x^{2}+1}{x}\) → \(3-\frac{1}{x^{2}}\).
- 3. Regra da Cadeia
- Para funções compostas: \((g\circ u)' = g'(u)\,u'\).
- Exemplo: \((x^{2}+5)^{10}\) → \(20x(x^{2}+5)^{9}\).
- 4. Derivadas de Funções Trigonométricas
- \(\frac{d}{dx}\sin(u)=\cos(u)u'\), \(\frac{d}{dx}\cos(u)=-\sin(u)u'\).
- Exemplo: \(3\sin(3x^{2}+1)\) → \(18x\cos(3x^{2}+1)\).
- 5. Aplicação Física (Velocidade & Aceleração)
- Velocidade = derivada do deslocamento.
- Aceleração = derivada da velocidade.
- Para \(s(t)=t^{2}-t\): \(v(t)=2t-1\), \(a(t)=2\).
- 6. Estudo de Crescimento, Máximos e Mínimos
- Encontra‑se \(f'(x)=0\) → pontos críticos.
- Teste de sinal da primeira derivada determina intervalos de crescimento/decrescimento.
- Segunda derivada indica concavidade: \(f''>0\) → mínimo, \(f''<0\) → máximo.
- Exemplo: \(f(x)=8x^{3}+12x^{2}-1\) → máximo em \(-1\), mínimo em \(0\).
Questões sobre o assunto
Resposta correta: B) \(\cos(3x)-3(x+4)\sin(3x)\)
Aplicando a regra do produto: \((x+4)'\cos(3x)+(x+4)(\cos(3x))' = 1\cdot\cos(3x)+(x+4)(-3\sin(3x))\).
Resposta correta: A) \(3-\dfrac{1}{x^{2}}\)
Usando a regra do quociente obtém‑se \(\frac{6x^{2}-3x^{2}-1}{x^{2}} = \frac{3x^{2}-1}{x^{2}} = 3-\frac{1}{x^{2}}\).
Resposta correta: C) \(e^{x^{2}}(1+2x^{2})\)
Aplicando a regra do produto: \(1\cdot e^{x^{2}} + x\cdot (2x e^{x^{2}})=e^{x^{2}}+2x^{2}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}(1+2x^{2})\).
Resposta correta: B) Existe um mínimo local em \(x=0\) e um máximo local em \(x=-1\).
Primeira derivada \(f'(x)=24x(x+1)\) → zeros em \(-1\) e \(0\). Segunda derivada \(f''(x)=48x+24\): \(f''(0)=24>0\) (mínimo), \(f''(-1)=-24<0\) (máximo).
Texto original
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Texto extraído do video Cálculo I - Resolução de Exercícios: Derivada
Onde está a coletão? Onde está a coletão? Onde está a coletão? Onde está a coletão? Onde está a coletão? Onde está a coletão? Olá pessoal, na aula de hoje nós vamos resolver alguns exercícios envolvendo derivadas de uma função.
Vamos lá? Então vamos lá para os nossos exercícios envolvendo cálculo de derivadas.
Eu tenho aqui a primeira função que é x mais 4 vezes cos 3x.
Então aqui a gente tem um produto de duas funções, o x mais 4 e o cos 3x.
O que a gente vai fazer aqui é aplicar a regra do produto.
Qual é a regra do produto que ela nos diz? Ela nos diz que a derivada dessa função é igual a derivada da primeira vezes a segunda.
Então qual é a derivada do x mais 4? É 1 vezes a segunda, a segunda é só copio.
Então, deriva a primeira, copio a segunda.
Mas a primeira, vezes a derivada da segunda.
Qual é a derivada do cos 3x? Minus sen 3 sen 3x.
Certo? Como que eu posso reescrever essa derivada dessa função, desse produto? Então, cos 3x menos 3 sen 3x vezes x mais 4.
Então, nesse primeiro exemplo, a gente só aplicou a regra do produto.
Então, deriva a primeira, multiplica pela segunda, mas a primeira, pela derivada da segunda.
Segunda exemplo.
Neste segundo exemplo, a gente tem um consciente.
Então, o que nós vamos fazer é aplicar a regra do consciente.
Ela é um pouquinho parecida com a regra do produto.
Deva derivar a primeira, vezes a segunda, menos a primeira, vezes a derivada da segunda.
Então, essa primeira parte é bem parecida com o regro do produto, só muda o sinal, que é aqui mais, aqui é menos.
Só que aqui a gente vai fazer um consciente.
Então, o resultado a gente vai dividir pela segunda ao quadrado.
Então, vamos lá.
Vou derivar 3x² mais 1.
Derivada de 3x², caiu 2, eu fico com 6x.
Porque 2 menos 1, fico com x sozinho.
Derivada de 1 é 0.
Então, 6x vezes a segunda.
Derive a primeira e multipliquei ela pela segunda.
Menos.
Vou agora copiar a primeira e vou multiplicá-la pela derivada da segunda.
Aderivada do x é 1.
Então, vou multiplicar por 1, que vai dar ela mesmo.
E aqui eu divido pela segunda ao quadrado.
Então, eu pego x e eu levo ao quadrado.
Então, aqui eu tenho 6x vezes x.
X vezes x, x ao quadrado.
E aqui, eu vou fazer a regrinha de sinal.
Então, menos com mais menos, menos com mais, menos, dividido por x².
Aqui eu tenho 6x², menos 3x², 3x², menos 1 sobre x².
Dá para reescrever essa função de uma outra maneira.
Como? 3x² sobre x², menos 1 sobre x².
Por que fazer isso? Só porque eu posso dividir x² por x², que dá 1.
E eu fico com 3, menos 1 sobre x².
Qualquer uma dessas duas expostas, são consideradas das duas expostas, são consideradas como corretas.
Agora, a gente vai para um conjunto de funções, que a gente quer calcular derivada, que são funções compostas.
Então, eu vou usar aqui a regra da cadeia.
Então, aqui eu tenho, x² mais 5 elevado a 10.
Então, tenho uma função aqui aplicada em outra.
Como que o calculo, então, a regra da cadeia, para esse tipo de função composta, é a derivada da de dentro, produto com a derivada de fora aplicada com a de dentro.
Vamos fazer isso com mais tranquilidade.
Como que eu faço a derivada da de fora? Eu tenho aqui uma potência elevada 10.
Quando eu tenho essa potência, como que eu concluo derivada o 10k, certo? E o que estava elevado a 10 fica elevada 9, porque fica 10, menos 1, 9.
Então, essa coisa que estava elevada a 10, ela vai continuar aqui, mas agora, ele vai dar 9.
Então, eu fiz a derivada da de fora aplicada na de dentro.
A derivada de u, levada a 10, é 10, u, levada a 9.
Então, 10, u, levada a 9.
Onde u aqui é o x⁴ mais 5? Produto com a derivada da de dentro.
Então, derivada do x⁴, 4x³, derivada do 5, é o próprio zero.
Então, podemos fazer esse produto aqui, 10 com 4, então, ficamos com 40x³, x⁴ mais 5, elevada a 9.
Continuando com essa proposta, só que agora o que a gente tem, é um produto de forma que uma dessas funções é composta.
Então, eu vou aplicar a regra do produto.
Quando for para calcular a derivada dessa função, aí a gente aplica a composta.
Essa daqui, então, só para lembrar, é a derivada.
Então, vamos calcular a derivada aqui dessa função.
Então, vamos lá.
A derivada da primeira vezes a segunda.
Então, a derivada do x é 1.
Então, 1 vezes exponencial de x², é o próprio exponencial de x².
Então, e elevado a x².
Mas, porque a gente está aqui em um produto, a primeira vezes a derivada da segunda.
Aí, agora, que a gente vai calcular a derivada aqui do exponencial de x².
Então, se a gente chamar essa exponencial de f, qual vai ser a derivada dela? Qual a derivada da exponencial é ela mesma? Então, a função exponencial aplicada no x², vai ser ela mesma aplicada no x².
Só que eu faço o produto com a função de dentro, que é a derivada do x².
Então, a derivada de x² é 2x.
Então, essa derivada da exponencial de x² é 2x, exponencial de x².
Então, eu fico com x vezes 2x exponencial de x².
Certo? Posso reescrever, só fazendo esse produto.
Eu tenho x vezes x, x², exponencial de x².
Dá para colocar o exponencial de x², que é um bem em evidência.
E aí, a gente vai ter exponencial de x², 1 mais 2x².
E aqui é o resultado da nossa derivada da função.
Certo? E aqui, a gente tem mais um exemplo, que é um produto, e uma das funções é uma função composto.
Então, a gente vai fazer a mesma maneira que esse exemplo aqui.
A gente vai aplicar a regra do produto.
Quando for para calcular a derivada da segunda função, que é o seno de x² mais 1, a gente vai aplicar a regra da cadeia.
Então, a gente aplica tanto produto quanto a regra da cadeia.
Então, vamos lá.
A derivada vai ficar.
A derivada da primeira, que é 3 vezes a segunda.
Então, 3 seno de 3x² mais 1.
Mais a primeira, vezes a derivada da segunda.
Então, a gente vai fazer a derivada da de fora aplicada na de dentro.
Então, qual é a derivada do seno? Cosseno.
Então, cosseno aplicada no 3x² mais 1.
Isso aqui é produto quando a derivada do que está aqui dentro.
A derivada do 3x² mais 1, aqui, o caio, o 2 vezes 3, eu fico com 6x.
A derivada do 1 é o próprio zero.
Então, a gente pode aqui reescrever então 3 seno de 3x² mais 1.
E aqui, eu posso fazer esse produto, 3x vezes 6x, 3 vezes 6x, 8.
X vezes x, x².
Então, 18x², de cosseno de 3x² mais 1.
Então, é só de relembrar das regrinhas e aplicar as regrinhas de derivação.
Aqui, a gente vai ver rapidamente um exemplo de taxa de variação.
Então, a gente tem aqui uma função de deslocamento x de t.
A primeira partícula está se deslocando ao longo do x com essa equação.
Então, o deslocamento em função do tempo é dado por t² menos t.
Como que eu posso aqui encontrar a velocidade dessa partícula e a aceleração dessa partícula? Sempre a velocidade instantânea e aceleração instantânea.
Só calculando a derivada.
Porque a velocidade nada mais é do que a derivada é do deslocamento.
E a aceleração nada mais é do que a derivada da velocidade, que pode ser a segunda derivada do deslocamento.
Então, eu vou calcular aqui, ver de t.
Minha velocidade vai derivada aqui do deslocamento derivada de t².
2t derivada do t igual a 1.
Então, a velocidade instantânea é dado por 2t menos 1.
E a aceleração instantânea eu vou vir e derivar a velocidade.
Então, a derivada de 2t² derivado de 1 é 0.
Então, lembrando, derivou o deslocamento e obteve a velocidade.
Derivou a velocidade e obteve a aceleração.
E aqui, o nosso último exemplo, vai ser do estudo de comportamento de funções.
Então, eu quero encontrar intervalos de crescimento e de crescimento e pontos de máximo mínimo dessa função.
Então, a primeira coisa que a gente tem que fazer tem a nossa função aqui, 8x³ mais 12x² menos 1.
E eu vou calcular aqui a primeira coisa que vou fazer na calcula a primeira derivada dessa função.
Então, calculando a primeira derivada da função, eu voltei.
O 3 vai cair e vou ficar com 24x².
O 2 vai cair mais 24x e a derivada do 1 é o próprio zero.
Eu calculo a primeira derivada e vou encontrar as raízes de 24x² mais 24x.
Por que, fazendo isso, eu vou tanto encontrar os pontos críticos da minha função como encontrar os valores que vão me ajudar a fazer o estudo de crescimento e de crescimento.
Então, vou igualar isso daqui a zero.
Eu posso colocar o 24x em evidência.
E aí, eu tenho x mais 1.
24x por x 24x².
24x por 1.
24x.
Vou igualar isso a zero.
Quando eu tenho esse produto igual a zero, eu tenho duas opções.
Ou isso é zero ou isso é zero.
Então, se 24x é zero, o meu x vai ser zero.
Se x mais 1 é igual a zero, então x igual a menos 1.
Então, encontrei os valores de x igual a zero e x igual a menos 1, que vão me ajudar a primeiro a fazer o estudo de crescimento e de crescimento da função.
E também são os pontos críticos da minha função.
Então, fazendo a primeira derivada encontrando as raízes, eu já obtém os pontos críticos.
E também vou poder calcular intervalo de crescimento e de crescimento da função.
Então, como que eu posso fazer isso? Eu tenho esses dois pontos, o menos 1 e zero.
E aí, nesses intervalos, eu tenho a mudança da função crescente para a decrescente e vice-versa.
O que eu posso fazer? Eu preciso encontrar, se a minha função está crescendo, aqui também, ou decrescendo.
Eu vou pegar três valores.
Vou pegar um valor que está nesse intervalo de menos infinito, menos 1.
Essa é uma maneira de encontrar, se está crescendo ou decrescendo.
Então, eu vou pegar o menos 2, vou pegar um valor entre menos 1 e zero.
Então, vou pegar, por exemplo, menos meio e vou pegar um valor maior que zero, que vai ser 1.
Esses três valores aqui, eu vou aplicar na derivada e vou ver que esses valores são positivos ou negativos.
Então, aplicando a primeira derivada no ponto menos 2, eu vou obter 48, que é maior que zero.
Se é maior que zero, então, aqui está crescendo.
Nesse intervalo, a minha função está crescendo.
Porque eu peguei qualquer valor aqui, nesse intervalo, ele deu positivo, então, nesse intervalo está crescendo.
A mesma coisa acontece quando eu aplico num 1.
F de 1 também dá 48, que também é positivo.
Então, aqui também, minha função também está crescendo, nesse intervalo de zero até infinito.
E por fim, quando eu aplico no ponto menos meio, eu tenho menos 6, que é negativo.
Então, o que está aqui no meio está decrescendo.
Então, no meu intervalo de menos infinito, a menos 1 crescente, de menos 1 a zero decrescente, de zero a mais infinito crescente.
E agora, a gente vai usar a segunda derivada para verificar esses pontos críticos aqui.
São pontos de máximo, são pontos de mínimo, a gente vai verificar.
Então, eu tenho a primeira derivada, vou copie-la aqui de novo, que é 24x² mais 24x.
Então, a gente encontrou a primeira derivada.
Para eu verificar os pontos críticos que eu tenho, que são os pontos menos 1 e 0, eu vou calcular a segunda derivada.
24x², a derivada vai dar 48x e 24x24.
Então, a segunda derivada é 48x mais 24.
Vou aplicar a segunda derivada nos estes dois pontos.
Então, vou calcular a segunda derivada de zero e a segunda derivada no ponto 1.
No ponto 0, aqui eu tenho 0, vai sobrar 24.
24 é maior que zero, então, x igual a zero é mínimo.
Então, quando o resultado aplicado na segunda derivada é maior que zero, o ponto vai ser ponto de mínimo.
Vou fazer a mesma coisa, vou aplicar o ponto menos 1 na segunda derivada.
Então, aplicando menos 1, eu tenho menos 48 mais 24.
Então, isso vai dar menos 24, que é menor que zero.
Quando a segunda derivada aplicada no ponto é menor que zero, o ponto é um ponto de máximo.
Minimum local e máximo local.
Então, calculamos a primeira derivada, certo? Encontramos as raízes, essa primeira derivada, que é o que a gente fez aqui.
Contramos as raízes, estes raízes são pontos críticos.
E são os pontos onde a minha função vai mudar de crescente para decrescente.
Pega qualquer ponto em cada um desses intervalos e verifica se a função derivada aplicada neste ponto é positiva ou negativa.
Se for positiva, está crescendo, negativa, decrescendo.
Depois, eu pego esses pontos, que são os pontos críticos e aplico eles na segunda derivada.
Deu maior que zero, ponto de mínimo, deu menor que zero, é ponto de máximo.
Então, estes foram exercícios de derivadas.
Espero que tenham gostado, bons estudos e nos vemos na próxima aula.
Até lá!
