Limites e Continuidade de Funções
1. Explicação detalhada dos tópicos
1.1 Limite de função racional com indeterminação 0/0
Quando ao substituir o valor ao qual x tende em uma fração, obtém‑se a forma \(\frac{0}{0}\), a expressão está indeterminada. Uma forma clássica de resolver é fazer a divisão polinomial (ou fatorar) e cancelar o fator que gera o zero no denominador.
Exemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}\)
1️⃣ Fatoramos o numerador:
\[ x^{2}+x-6=(x+3)(x-2) \]2️⃣ Cancelamos \((x-2)\):
\[ \frac{(x+3)(x-2)}{x-2}=x+3\qquad (x\neq2) \]3️⃣ Agora substituímos \(x=2\):
\[ \lim_{x\to2}(x+3)=5 \]
1.2 Regra de L'Hôpital
Se o limite apresenta a forma indeterminada \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\), podemos derivar numerador e denominador separadamente:
\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]Aplicando ao mesmo exemplo:
\[ \frac{d}{dx}(x^{2}+x-6)=2x+1,\qquad \frac{d}{dx}(x-2)=1 \] \[ \lim_{x\to2}\frac{2x+1}{1}=2\cdot2+1=5 \]
1.3 Continuidade de uma função
Uma função \(f\) é contínua em \(x=a\) quando:
- O valor \(f(a)\) está definido;
- O limite \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\) existe;
- O limite coincide com o valor da função: \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Exemplo: \(f(x)=\begin{cases}x^{2}-9,&x\neq-3\\3,&x=-3\end{cases}\)
Limite quando \(x\to-3\):
\[ \lim_{x\to-3}(x^{2}-9)=(-3)^{2}-9=0 \]Como \(f(-3)=3\neq0\), a função não é contínua em \(-3\). Se definirmos \(f(-3)=0\), a continuidade seria garantida.
1.4 Limite ao infinito de uma fração
Para \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+1}\), o denominador cresce sem limite, logo a fração tende a zero:
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+1}=0 \]Dica: sempre que o numerador é constante e o denominador tende ao infinito, o limite é zero.
1.5 Limite ao infinito de quociente de polinômios de mesmo grau
Para \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+5x}{x^{3}+x^{2}+2}\), extraímos o termo de maior grau (\(x^{3}\)):
\[ \frac{x^{3}+5x}{x^{3}+x^{2}+2}= \frac{x^{3}\bigl(1+\frac{5}{x^{2}}\bigr)}{x^{3}\bigl(1+\frac{1}{x}+ \frac{2}{x^{3}}\bigr)} =\frac{1+\frac{5}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}+ \frac{2}{x^{3}}} \]Quando \(x\to\infty\), os termos \(\frac{5}{x^{2}},\frac{1}{x},\frac{2}{x^{3}}\) vão a zero, restando:
\[ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{1}=1 \]
1.6 Limite fundamental \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)
Este limite é a base para vários outros. Para \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(8x)}{x}\), multiplicamos e divide‑mos por 8:
\[ \frac{\sin(8x)}{x}=8\;\frac{\sin(8x)}{8x} \] Como \(\displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1\) (com \(u=8x\)), o limite vale \(8\).
1.7 Teorema do Confronto (Sandwich)
Se \(|g(x)|\le M\) (função limitada) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\), então \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=0\).
Exemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin x\).
Sabemos que \(|\sin x|\le1\) e \(\displaystyle\lim_{x\to0}x=0\); logo, \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin x=0\).
2. Resumo dos tópicos
- 1. Limite de função racional (0/0)
- Fatoração ou divisão polinomial elimina o fator que gera zero no denominador.
- Exemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{x^{2}+x-6}{x-2}=5\).
- 2. Regra de L'Hôpital
- Aplica‑se quando o limite está em \(\frac{0}{0}\) ou \(\frac{\infty}{\infty}\).
- Deriva‑se numerador e denominador e calcula‑se o novo limite.
- Mesmo exemplo acima dá \(\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x+1}{1}=5\).
- 3. Continuidade
- Requisitos: \(f(a)\) definido, limite existente e igual ao valor da função.
- Função \(f(x)=\begin{cases}x^{2}-9,&x\neq-3\\3,&x=-3\end{cases}\) não é contínua em \(-3\) porque \(\lim_{x\to-3}f(x)=0\neq f(-3)=3\).
- 4. Limite ao infinito de frações
- Se o numerador é constante e o denominador tende ao infinito, o limite é zero.
- Ex.: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{3x+1}=0\).
- 5. Limite ao infinito de quocientes de polinômios de mesmo grau
- Extrai‑se o maior grau e simplifica‑se.
- Ex.: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+5x}{x^{3}+x^{2}+2}=1\).
- 6. Limite fundamental \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)
- Usado para limites do tipo \(\frac{\sin(kx)}{x}\) multiplicando e dividindo por \(k\).
- Resultado: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(8x)}{x}=8\).
- 7. Teorema do Confronto (Sandwich)
- Se uma função limitada é multiplicada por outra que tende a zero, o produto tende a zero.
- Ex.: \(\displaystyle\lim_{x\to0}x\sin x=0\).
Questões sobre o assunto
Resposta correta: C) 5
Fatorando o numerador: \((x+3)(x-2)\). Cancelando \((x-2)\) resta \(x+3\). Substituindo \(x=2\) obtém‑se \(5\).
Resposta correta: B) 1
Dividindo numerador e denominador por \(x^{3}\) obtém‑se \(\frac{1+5/x^{2}}{1+1/x+2/x^{3}}\). Quando \(x\to\infty\) os termos com \(x\) no denominador vão a zero, restando 1.
Resposta correta: C) 8
Multiplicamos e dividimos por 8: \(\frac{\sin(8x)}{x}=8\frac{\sin(8x)}{8x}\). O limite de \(\frac{\sin u}{u}\) quando \(u\to0\) é 1, logo o resultado é 8.
Resposta correta: B) 0
Para continuidade, \(\displaystyle\lim_{x\to-3}(x^{2}-9)=(-3)^{2}-9=0\). Portanto, deve‑se definir \(c=0\).
Texto original
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Texto extraído do video Cálculo I - Resolução de Exercícios: Limite (LIBRAS)
Vamos lá, pessoal.
Na aula de hoje nós vamos resolver alguns exercícios envolvendo o limite de uma função.
Vamos lá? Vamos começar com o primeiro exercício, o exercício de limite, quando o x tem de a 2, desse consciente x² mais x menos 6 por x menos 2.
Esse limite a gente pode resolver de duas maneiras.
A primeira maneira é que é a opção 1, aqui é fazendo uma divisão polinomial.
Então, nós vamos fazer uma divisão polinomial, o que é isso que é dizer? Nós vamos dividir x² mais x menos 6 por x menos 2.
Fazendo essa divisão, a gente obtém que x² mais x menos 6, ele pode ser escrito como x mais 3 vezes x menos 2.
Quando eu faço essa divisão, uma resultado foi x mais 3.
Então, x mais 3 vezes x menos 2 dá exatamente esse polinomial.
Por que a gente já não tentou substituir por 2? Porque se a gente substituir direto por 2, nós vamos ter 2 mais 2, 4, 2 vezes 2, 4, mais 2, 6, menos 6, 0.
E 2 menos 2, aqui, vai dar 0.
Então, a gente tem uma determinação do tipo 0 sobre 0.
Então, a gente precisa arrumar uma forma de resolver esse limite.
Por isso, o que a gente optou primeiro por tentar a divisão polinomial.
Então, fazendo essa divisão, a gente pode reescrever esse limite, como sendo o limite quando x tem de a 2, no lugar dos x² mais x menos 6, eu vou substituir por x mais 3 vezes x menos 2, dividido por x menos 2.
Fazendo isso, eu tenho uma divisão de x menos 2 por x menos 2, que quando eu divido uma coisa por ela mesma da igual 1, e aí, então, eu vou resultar em limite quando x tem de a 2 de x mais 3.
E aí, eu posso, agora, fazer essa substituição.
Eu posso, aqui, no lugar dos x substituir por 2, e aí, 2 mais 3 é igual a 5.
Então, essa é uma das maneiras, quando a gente tem um consciente de polinomial, aonde não está definido 2, porque, ó, o 2, quando eu substituu aqui, eu tenho o 0, e eu não posso ter uma divisão por 0, começa por aí.
Mas a segunda coisa que a gente nota nesse limite, e aqui, quando eu faço essa substituição, eu tenho, na verdade, 0 sobre 0.
Então, substituindo aqui, eu também vou tesouro, então, é 0 sobre 0.
Se eu tenho o 0 sobre 0, eu posso usar a minha opção 2, que é lopital.
Então, eu tenho uma outra opção de estar resolvendo esse limite.
Como que funciona a regra de lopital? Aqui, a gente tem uma determinação do tipo 0 sobre 0, né, de uma função, então, aqui em cima, se a gente separar esse consciente em duas funções, eu vou ter a função f dando 0, é a função g dando 0.
Então, eu posso reescrever esse limite, como sendo o limite da derivada da f pela derivada da g.
Então, eu derivo x² x-6, nisso, eu vou ter 2x mais 1, certo? Pela derivada de x-2, a derivada do x é 1, né, a derivada do 2 é 0.
Então, esse limite é igual ao limite quando x tende a 2, de 2x mais 1.
E aí, mais uma vez, eu posso vim aqui e substituir, então, meu x por 2, 2 vezes 2, 4, mais 1, 5.
Certo, e aí, eu tenho duas opções, né, e as duas dando o mesmo valor, porque ambas são válidas tanto a divisão polinomial, né, de reescreve esse consciente, quanto utilizar a regra de lopital.
Vamos para o próximo exercício, então.
Esse exercício está uma função fx igual a x², menos 9, quando x é diferente de 3, e 3, quando x é igual a menos 3, desculpa.
Então, quando x é diferente de menos 3, ou igual a menos 3.
E pergunta, se ela é contínua, usando a teoria de limite e continuidade, como que a gente pode saber se essa função é contínua, né, no ponto x igual a menos 3.
Nós temos que ter que a f nesse ponto tem que ser igual ao limite quando x tende a esse ponto na função.
Então, o que nós vamos fazer? Vamos calcular o limite de x², menos 9, quando x tende a menos 3.
Se o resultado for igual a 3, então, ela é contínua.
Caso contrário, ela é descontínua.
Então, vamos lá, limite quando x tende a menos 3, de x², menos 9.
Substituindo o x por menos 3, e vou ter 9 menos 9, que é igual a 0.
Então, ela não é contínua, certo? E ela seria contínua, se ela fosse escrita, então, da forma x², menos 9, para x diferente de menos 3, e 0 para x igual a menos 3.
Aí sim, ela seria contínua.
Então, ao mesmo caso, quando a gente quer encontrar o valor, tal que a função seja contínua naquele ponto.
Então, a gente tem que usar o fato de que a f é aplicada naquele ponto, tem que ser igual ao limite quando x tende aquele ponto da f.
Então, ela não é contínua, e seria contínua, se valer esse 0 no ponto x igual a menos 3.
O limite quando x tende a infinito de 1 sobre 3x mais 1, esse limite é igual a 0.
Está bom, professora, mas porque esse limite é igual a 0? Vamos notar aqui que, quando x tende a infinito, x está tendendo a infinito, 3x mais 1, também está tendendo a infinito.
Ele está crescendo, porque quanto mais o aumento o valor de x, mais o aumento o valor de 3x mais 1, porque o x aumentando 3x é ficando maior, 3x mais 1, e 3x mais 1, porque o x aumentando 3x é ficando maior, 3x mais 1, também vai ficando maior.
Então, eu tenho uma divisão aqui de 1 por uma coisa que está ficando muito grande.
E é isso daqui, vai para 0.
Então, estou dividindo 1 por 10, por 1.
000, por 1.
000, cada vez mais próximo de 0.
Então, sempre que tem o limite, quando x tende a infinito de 1 sobre x elevado a alpha, isso aqui vai para 0.
A mesma coisa, se x elevado a alpha mais 1, 3x mais 1, que tem essa cara genérica, certo? E daí a gente tem aqui o limite, quando x tende a infinito de x³ mais 5x, por x³ mais x² mais 2.
O que a gente vai fazer para resolver esse limite? Nós vamos colocar o x³ em evidência e transformar isso numa soma que parece com esse limite aqui, que a gente consegue pegar pequenas partes desse consciente e já saber que vai para 0 quando x tende a infinito.
Então, vamos ver como que isso funciona na prática.
Então, eu tenho limite, quando x tende a infinito, vou colocar o x³ em evidência.
Aqui vai ficar igual 1, porque x³ vezes 1, x³.
E aqui eu vou ficar com 5 sobre x².
Porque, quando eu divido x³ por x², fica x³ menos 2, que é 1, que é o que eu preciso aqui.
E o 5, que está multiplicando x.
A mesma coisa aqui, e aqui eu vou ficar com 5, né? 5x³ mais 1 sobre x, porque 3 menos 1, 2, que é o que eu preciso, mais 2 sobre x³.
Quando eu divido x³ por x³, eu tenho 1, uma vezes 2, 2, que é o que eu preciso.
Fazendo isso, o que acontece? Nós temos várias parcelas aqui, que têm essa cara, que a gente tem um valor real, dividindo por uma coisa que está sempre aumentando, porque o x³ está indo para infinito, todos esses parcelas estão indo para infinito também.
Então, todos aqui vão para zero.
Então, esse vai para zero, vai para zero, vai para zero.
Uma outra coisa que eu tenho, eu tenho x³ dividido por x³, essa divisão vai ser igual a 1, e aí, me resta o limite, quando x tem de infinito de 1, 5, né? Porque aqui eu fiquei com 1, todo o restante foi para zero, que vai ser igual o próprio.
1, 5.
Certo? Então, uma outra forma de a gente analisar o limite quando a gente tem esses cocientes na forma de polinômio.
Agora, nós temos mais 2 exercícios aqui.
O primeiro exercício, ele vai levar, vai ser usado o limite fundamental para a gente fazer o cálculo desse limite.
O que nos diz, o limite fundamental? Que limite quando x tem de a zero de seno de x sobre x, isso daqui é igual a 1.
Certo? Daí, se estão me perguntando, mas está bom, o limite quando seno de x sobre x quando x tem de a zero, ele vai para 1.
Mas aqui, eu não tenho limite de seno de x sobre x, eu tenho limite de 8x sobre x.
Certo? O que a gente tem que fazer? Então, a gente tem que transformar esse seno de 8x sobre x em uma coisa da forma que o que está aqui, seja igual ao que está aqui.
É aqui a diferente, aqui eu tenho 8x e aqui eu tenho 8.
Posso tirar 8 para fora daqui? Não pode, porque o seno está sendo aplicado.
Então, seno de 8x, eu não estou multiplicando seno de nada por 8x.
Então, não.
Mas o que eu posso fazer? Posso tentar, chama a maneira de aqui embaixo, eu arrumar esse 8 que está faltando.
Por quê? Se eu fico com seno, por exemplo, de 8x sobre 8x, e se eu chamo 8x de u, por exemplo, eu vou ficar com seno de u sobre u.
Certo? E quando x tem de a zero, o 8x também vai para zero.
Então, u também vai para zero.
E aí, eu fico com esse limite com u tendendo a zero de seno de u sobre u.
E aí, isso aqui vai ser igual a 1.
Então, como que eu posso fazer para aparecer esse 8 aqui? Eu vou multiplicar seno de 8x sobre x por 1.
Por quê? Quando faço o produto de qualquer coisa com 1, eu continuo com essa qualquer coisa.
Então, eu não vou estar alterando a minha função.
E essa coisa, que vai ser 1, a gente vai escrever de uma outra maneira.
Em vez de eu multiplicar só por 1, eu vou multiplicar por 8 sobre 8.
Certo? Por que 8 dividido por 8 é 1? Então, eu estou multiplicando por 1.
Fazendo aqui o produto, eu posso reescrever da seguinte forma.
Então, fico com 8, seno de 8x sobre 8x.
E daí, como a gente viu aqui embaixo, e quando tenho, esse seno de 8x sobre 8x, eu posso aplicar aqui o limite fundamental.
E isso daqui, quando x tende a zero, vai para 1.
Aí, eu tenho 8 vezes 1, que é igual a 8.
Então, sempre que vocês tiverem um limite que envolve um consente parecido com esse, o que vocês têm que fazer, é tentar encontrar qual valor que eu tenho que multiplicar aqui embaixo.
Para que eles fiquem iguais? Se aqui é 8x, aqui fica 8x.
Se aqui é 12x, aqui fique 12x.
E sempre usar esse macete de multiplicar por 1.
Então, se pega uma fração com um numerador e denominador igual, ele multiplica pelo seno.
Certo? Vamos aqui para o nosso último exemplo de hoje.
Então, eu tenho o limite, quando x tende a zero, de x sendo de p sobre x.
Como que eu posso resolver esse limite? Aqui, o que a gente vai usar é a consequência do teorema, do confronto, ou do teorema do sandwich.
E o que é essa consequência desse teorema? Ela nos diz.
Se eu tenho o limite de um produto de funções, tal que uma dessas funções é limitada, e a outra vai para zero, quando aplicada no limite, então o limite também vai para zero.
Então, vou fazer o seguinte, eu vou chamar de f de x a x e de g o seno.
A gente já sabe que o seno é uma função limitada.
Tanto o seno quanto o seno são funções limitadas.
Então, a primeira parte que é ter uma função limitada, a gente já tem, certo? E aí eu preciso verificar se a outra função, quando aplico o limite, ela vai para zero.
Então, o limite, quando x tende a zero de x, é zero.
Então, eu tenho um produto aqui de uma função que vai para zero com uma função que é limitada.
Então, automaticamente, eu já sei que esse limite também é igual a zero.
Bom, essas foram os exercícios escolhidos, então, para a gente resolver sobre limite, espero que tenham gostado, bons estudos, e nos vemos na próxima aula.
