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O texto original pode conter falhas de gramática ou de concordância, isso ocorre porque ele foi obtido por um processo de extração de texto automático.

Texto extraído do video Cálculo I - Revisão (LIBRAS)

Olá pessoal, tudo bem? A aula de hoje é uma aula de revisão.
Essa aula eu vou estar abordando alguns dos principais tópicos que foram enviados por vocês, quando a Universidade de Injão foi um molário de dúvidas.
Acabe a que se alimentar, que eu escolhi alguns dos principais dentro de enviados, porque tinham vários tópicos.
Então seria importante vocês darem uma revisada no conteúdo.
Na semana 7 tem algumas aulas de resolução de exercícios.
Isso ainda resta alguma dúvida, procurem os facilitadores.
Então sempre a disposição para ajudar vocês.
Então vamos lá para a nossa aula? Então vamos lá para a nossa aula de revisão.
As principais dúvidas que vocês encaminharam, que estavam dentro do conteúdo de cálculo, foram as regras de lopital, regras de derivação, estudo de comportamento de funções.
Aqui nós vamos falar um pouquinho de crescimento e decrescimento e máximos e mínimos.
E aplicações de derivada.
Então vamos falar de taxa de variação.
De velocidade, aceleração, estantânia e de locamento.
Primeiro então nós vamos falar da regras de lopital.
A primeira regras diz o seguinte, tem duas funções, Fg, tal que o limite da F, quando o x tem em algum P, vai para zero.
E o limite da G também vai para zero.
Então se a gente aplica o limite da F e a limite da G, a gente obtém a indeterminação zero sobre zero.
Isso acontece.
Então a gente pode aplicar o limite da seguinte maneira, limite quando o x tem a P de F por G, vai ser igual ao limite quando o x tem a P da derivada da F pela derivada da G, desde que Fg seja diferenciáveis, né? Eles que a gente possa derivar essas funções.
Como que isso funciona na prática? A gente tem aqui o limite quando o x tem de a zero, de 3x² mais 5x por sen de x.
Se a gente aplicar aqui o limite, vai para zero, vai para zero sen de zero a zero.
E aí a gente teria zero por zero.
Isso é uma indeterminação do tipo que a primeira regras de lopital está abordando, do tipo zero sobre zero.
Sendo assim a gente pode, então, aplicar a regras de lopital.
O que a gente faz? A gente deriva a função de cima e deriva a função de baixo.
Então, aí, nós vamos ter o limite quando o x tem de a zero, a derivada de 3x² é 6x.
Caio 2, fico com 6x, derivada de 5x5.
Então, derivei a função de cima.
Vou derivar de dá a de baixo.
Então, a derivada do sen de x é o cos sen de x.
Então, aqui é importante a gente lembrar que a gente aplica a derivada separada.
Não é para calcular a regras do cos.
A derivada da função de cima, separada da derivada da função de baixo.
Aqui, agora, a gente pode aplicar o limite.
Então, o limite quando o x tem de a zero, aqui vai 6x0 zero, mais 5x5 cos 0 é 1.
Então, esse limite é igual a 5.
Então, bem simples.
Deu a segunda eternação do tipo 0 sobre 0, aplico derivada de cima, pela derivada de baixo, e aí aplico o limite de novo, calcula novamente o limite.
Então, aqui só para deixar registrado igual a 5.
A segunda regra de lopital, ela diz o seguinte.
A gente tem essas mesmas funções, desse mesmo tipo, fg.
Só que, quando a gente aplica o limite, nós temos mais ou menos infinito, então, se a gente aplica o limite da f pela limite da g, e a gente obtém infinito sobre infinito, e se a gente tem que as os funções são diferenciáveis, são deriváveis, então, isso pode fazer a mesma coisa.
A gente pode calcular o limite e cima da derivada da função pela derivada, da função f pela derivada da função g.
Então, vamos ver como isso funciona.
Tem aqui o limite, quando o x tem de infinito, exponencial de x, 3x².
Quando o x tem de infinito, a mais infinita, a gente tem infinito sobre infinito.
As duas funções aqui vão para infinito.
Então, a gente tem esse tipo de interterminação da segunda regra.
Podemos aplicar a segunda regra de lopital.
Então, isso vai ficar limite, quando o x tem de infinito, que estou colocando infinito, como sendo o mais infinito, a derivada da exponencial é ela mesma.
Derivada de 3x², 6x.
Mas fiz isso e o que aconteceu? Eu caí em outra indeterminação.
Se eu aplicar esse limite, eu vou ter infinito sobre infinito de novo, porque exponencial a gente já viu para infinito, e se a x também vai.
Mas eu posso aplicar a regra de lopital mais uma vez.
Eu não fico restrita a aplicar apenas uma vez.
Então, eu vou aplicar mais uma vez.
A derivada da exponencial é ela mesma.
E a derivada do 6x é 6.
Daí eu fico com 1 sexto, vezes alguma coisa que vai para infinito.
Então, vai para infinito.
Então, tanto quando a gente tem uma determinação zero sobre zero quanto quando a gente tem infinito sobre infinito, é só a gente derivar as duas funções e aplicar o limite.
E mais uma vez, a gente não fica restrita a aplicar uma só vez.
Como foi esse exemplo? Então, que só para registrar? Então, vamos agora falar um pouquinho de regras de derivação.
A primeira regra é a regra do produto.
Então, quando a gente tem um produto de funções aqui e que é calcular a derivada, como a gente calcula essa derivada.
A gente deriva a primeira função, multiplica pela segunda, mais a primeira função produto quadervado da segunda.
Então, a gente vai ter que derivar as duas funções.
E a regra é derivada da primeira vezes a segunda, mais primeira vezes a derivada da segunda.
Então, vamos ver um exemplo.
A gente tem que duas funções, como se a gente tivesse aqui seguindo essa regrinha a f e essa daqui como sendo uma g.
Então, como a gente faz a gente derivar a primeira, derivar f, derivada do 2x, 2.
E multiplica pela segunda, que é a exponencial.
Mais, agora o que eu faço aqui? Eu copio a primeira e deriva segunda, 2x, e qual é a derivada da segunda? É a derivada da exponencial, que é ela mesmo.
Então, eu fico com 2 exponencial de x, mais 2x, exponencial de x.
É que se eu vizesse, poderia colocar a exponencial em evidência, que ficaria com 2 mais 2x.
É que eu simples, só lembrar da regrinha e com calma.
No calvo, fude calma.
Fazer com tranquilidade.
Mais um exemplo, em 3x quadrado mais 5 exponencial de x, vou aplicar a regrinha de novo, como se essa fosse uma f e essa fosse uma g.
Vou aplicar aqui na regrinha.
Então, vou aplicar a derivada da primeira vezes a segunda.
Então, derivada do 3x quadrado, é 6x, que cai aqui o 2, 2x, 3, 6.
E aqui fica 2 menos 1, que é 1.
Eu fico 6x.
E a derivada do 5 é 0.
Então, eu derivei a primeira, eu multipliquei pela segunda.
Mais, a primeira, então, eu copi o primeiro, derivada da segunda, né? De derivada do exponencial, é ela mesmo.
Então, mesmo esquema do exemplo anterior.
Perto.
E daí, quando eu tenho um consciente como que eu faço, a gente tem uma regrinha para o consciente também.
Então, essa parte aqui é muito similar a regra do produto, muda só o sinal, que é a derivada da primeira vezes a segunda, menos a primeira vezes a derivada da segunda.
Então, a mesma regrinha do produto, mais com o sinal negativo.
E aí, o que acrescenta? A segunda é o quadrado aqui.
Então, eu vou ter um consciente e a acrescenta agiu quadrado.
Então, que tem um exemplo, 2x, x mais 1.
Então, é como se 2x fosse f e x mais 1 fosse a g.
Vamos aplicar na regrinha.
Então, eu derivo a primeira, derivo 2, derivo 2x, que dá 2, né? E multiplique pela segunda.
E mais 1.
Menos a primeira, que é 2x, vezes a derivada da segunda, mais a derivada de x é 1, né? De x mais 1 é 1.
Então, 2 vezes x, vezes 1 é a própria 2 vezes x.
E aqui, a segunda, ao quadrado.
Então, aqui eu fico com 2 vezes x, 2x, e aqui eu tenho menos 2x.
2x menos 2x, e aqui eu fico com 2 vezes 1, 2.
Então, aqui, se não vai restar 2.
E x mais 1 ao quadrado, é a derivada da primeira, mais 2 vezes a primeira, vezes a segunda, mais a derivada da segunda.
Então, é, mais uma vez, a só aplicar na regra.
A diferença maior entre derivada integral, é que a derivada distenta as as regras que a gente tem que usar para calcular.
Na integral, a gente tem técnicas de integração, a gente tem que pensar através de exercícios que a gente já resolveu, que a gente já viu qual é a melhor técnica para resolver a determinada integral de uma função.
Então, a derivada se torna um pouco mais fácil de entender do que a integral, por conta disso.
Porque a derivada só aplica as regras.
Então, certo? Então, mais um exemplo.
3x² mais 5x, 4x mais 1.
Então, aqui, como se estivesse, f e aqui uma g.
Vamos fazer a derivada da primeira, são aqui, derivada de 3x², caiu 2, 2 vezes 3.
6, derivada de 5x, 5.
Então, a derivada da primeira vezes a segunda, menos a primeira, vezes a derivada da segunda, mais uma vez a gente tem a derivada de x mais 1, que é 1.
Então, fica só ela.
Isso, dividido pelo g ao quadrato, por x mais 1 ao quadrato.
Então, fazendo aqui a multiplicação, e aqui, ao lembra de usar a regrinha de sinal, então, menos com mais, menos, menos com mais, menos.
E aqui, depois, abrindo esse x² mais 1, a gente chega nessa expressão.
E é 3x², mais 6x, mais 5, por x², mais 2x, mais 1.
Então, essa foi a regrinha do cociente.
E a gente é a regrda cadeia.
A regrda cadeia, ela é feita para calcular integral de função derivada de função composta.
É que, então, a gente tem uma f, que é uma composta, f de g de x, fica a gente faz.
Deriva f aplicada na g, produto com a derivada da g.
Vamos ver como isso funciona na prática.
Teno de x² mais 5x.
Então, eu vou derivar f e aplicar na g.
Vou derivar o seno e aplicar no x² mais 5x.
Então, derivada do seno é cos.
E aplico no x² mais 5x.
Produto com a derivada da g.
Quem é a derivada da g? Derivada do x² que é 2x, mais a derivada do 5x que é 5.
Então, fica com cos x² mais 5x, 2x mais 5.
Próximo exemplo.
X² mais 5x elevado a 10.
Aqui, a gente tem mais uma composta.
Eu tenho aqui essa função elevada a 10, por nome, e a f dêntro eu tenho x² mais 5x.
Quando eu tenho uma função do tipo x elevada a 10, quando eu derivo ela, eu fico com 10x elevado a 9.
Então, fazer essa derivada aplicada na g, é fazer essa derivada, só que, no lugar do x, eu tenho x² mais 5x.
Então, eu fico com 10, x² mais 5x elevado a 9.
Produto com a derivada de dentro, com a derivada da g.
Então, derivada do x², do x², derivada do 5x, 5.
Então, eu fico com 10, x² mais 5x elevado a 9, do x mais 5.
Então, eu falo agora sobre crescimento e decrescimento de função.
Então, o que eu tenho de resultado para isso? Cerve uma função contínua no intervalo y.
Então, se a derivada de f for maior que zero no intervalo y, então f vai ser crescente nesse intervalo.
T for menor que zero, ela vai ser decrescente.
Então, é o seu primeiro resultado que a gente tem, envolvendo a primeira derivada.
Então, a primeira derivada a gente consegue obter esse intervalo de crescimento e decrescimento.
E, mais uma coisa que a gente tem com a primeira derivada, e é o que a gente chama de ponto crítico.
Então, qual o colando a primeira derivada da função, a gente consegue obter os pontos críticos dessa função.
Então, seja f derivável, uma condição para aquele cê de ponto de máximo mínimo, um ponto é que a derivada nesse ponto seja igual a zero.
Então, a gente vai lá calcula a derivada da função f enquanto os pontos vão de ela igual a zero.
Esses pontos são o que a gente chama de ponto crítico, que são candidatos a pontos de máximo e de mínimo.
E é como a gente sabe esses pontos críticos são pontos de máximo e de mínimo, através da segunda derivada.
Então, f derivável, né? E c, a primeira derivada no ponto for igual a zero.
E a segunda for maior que zero, então, é ponto de mínimo.
Se a primeira derivada for igual a zero e a segunda for menor que zero, então, é ponto de máximo.
Ok? Então, segunda derivada aplicada no ponto maior que zero é mínimo.
Segunda derivada menor que zero, então, é máximo.
Então, vamos ver isso na prática.
Então, tem a função 4x ao cubo mais 5x ao quadrado.
Então, o que a gente tem de resultado aplicando na primeira derivada? Intervalo de crescimento de crescimento e ponto crítico.
Como a gente faz para encontrar, é primeiro o intervalo de crescimento de crescimento através dessa primeira derivada.
Então, eu tenho a função aqui.
Qualquer primeira derivada ao 3k, fica com 12x ao quadrado, 3 menos 1, 2.
Aqui, o 2k, fico com 10x.
O que eu faço? Calcura primeira derivada igual a zero e encontro os valores a unida da função, né? Se a função derivada vale zero.
Aqui, eu posso colocar o 2x em evidência e fico, 2x vezes 6x com o 12x ao quadrado, vezes 5 dx.
Coloquei em evidência, porque? Aqui, fica mais fácil de eu enxergar para encontrar esses valores.
Mas, como é uma função quadrática, vocês podem estar usando o báscaro, também vai chegar nesses valores.
Como eu tenho um produto de coisas de duas coisas que esse produto é igual a zero, então, a primeira coisa é zero ou a segunda coisa é zero.
Então, se 2x for igual a zero, isso significa que x é igual a zero.
Tis 6x mais 5, for igual a zero, eu fico com 6x igual a menos 5, que é igual a menos 6, 1.
Então, esses são os dois pontos onde a minha primeira derivada é igual a zero.
A através desses pontos, eu vou encontrar os intervalos de crescimento de crescimento e os pontos críticos.
Então, vamos dizer como que a gente aplica aqueles pontos que a gente encontrou na primeira derivada que são os pontos críticos para isso não é o comportamento de funções no sentido de crescente ou decrescente.
Então, aqui nós temos o ponto menos 5x6 e o ponto zero.
A gente pode notar aqui, qualquer valor que eu pegar, de zero até infinito e de menos infinito, há menos 5x, e aplicar aqui na primeira derivada, eu vou obter valores positivos.
Então, f'x é maior que zero nesses dois intervalos, então, seu valor é positivo.
Já, se eu pegar um valor aqui dentro desse intervalo entre menos 5x6 e zero e aplicar aqui na primeira derivada, eu vou obter um valor negativo.
Isso quer dizer que a minha função vai ser crescente de menos infinito, há menos 5x6 e de zero é mais infinito e ela vai ser decrescente de menos 5x6 a zero.
Então, vocês podem pegar qualquer valor dentro de cada um desse intervalo, aplicar na primeira derivada e verificar se vocês têm como resposta um valor positivo ou negativo.
Então, crescente de menos infinito, também, no 5x6 e de zero infinito e decrescente de menos 5x6 a zero.
E aí, a gente lembrando, lá que a gente tem esses dois valores que são também pontos críticos, né, zero e o menos 5x.
E a gente quer saber se esses valores estão valores de máximo ou de mínima da função.
Então, como a gente faz? Calcula a segunda derivada, então, aqui eu fico com 24x mais 10, calculei a segunda derivada.
E aplico nesses dois pontos.
A minha resposta, se for positiva, vai indicar que é um ponto de mínimo, se for negativo, vai indicar que é um ponto de máximo.
Vamos lá.
A segunda derivada aplicada no ponto zero, eu aplico zero, zero mais 10, 10.
Da 10.
10 é maior que zero, então, x vai ser mínimo.
É um ponto de mínimo local.
Se eu aplicar no menos 5x, eu vou obter menos 10.
É um valor negativo, se é menor que zero, então, olhar um ponto de máximo.
Então, maior que zero, ponto de mínimo, menor que zero, ponto de máximo.
Por fim, vamos só aditar a gente de variação.
Então, vamos supor que a gente tem a posição de uma partícula xgt, a velocidade vdt, e a aceleração adt.
Velocidade estatana, então, ele é uma cistantânia, todos no instante t.
O que a gente tem? Quando a gente deriva o deslocamento, nós temos a velocidade.
Então, a derivada do deslocamento da função do blocamento, nos dá a função velocidade.
Isso é a mesma coisa que dizer que integrando a velocidade, a gente tem o deslocamento.
Lembra que a integral é uma antiverivada, então, elas são inversas, operações inversas.
E quando a gente deriva a velocidade, a gente tem a aceleração.
Então, aqui é a mesma coisa que a gente falar que a velocidade vai ser integral da aceleração.
Então, vamos ver como isso funciona na prática, né? Uma partícula se move com a velocidade instantânea, 3t ao quadrado menos 2t.
Desseja saber a aceleração e deslocamento dessa função, a função da aceleração e deslocamento dessa partícula, sabendo que x é zero e zero.
Que a posição da partícula no instante zero é zero.
Então, a gente sabe que a aceleração é a derivada da velocidade.
A velocidade, ó, 3t ao quadrado menos 2t.
Vou derivar 2 vezes 3c6t, menos 2.
Se eu derivei, 6t menos 2, encontrei a aceleração.
Como que eu faço para encontrar o deslocamento? Eu integro, é porque a integral da velocidade é o deslocamento.
Então, eu vou calcular a integral de vt.
Entegro, o 3t ao quadrado, fico com 3t ao cubo sobre 3, dá, ter o cubo, e 2t ao quadrado, sobre 2, que dá ter o quadrado.
Então, fico com o teu cubo, menos seu quadrado, mais uma constante.
E aí, saber que a posição da partícula no instante zero é zero, vai me ajudar a encontrar quem é essa constante.
Então, se x de zero é zero, quando eu aplicar o zero aqui, essa resposta tem que ser zero.
Então, eu chego que c é igual a zero.
C é igual a zero, o deslocamento é dado por ter o cubo, menos ter quadrado.
Então, essa foi a aula de revisão.
Espero que tenha sanado um pouco das dúvidas de vocês.
Eu sei que cálculo tem um conteúdo muito extenso, eu tenho tempo limitado, mas eu espero que vocês revejam as aulas, façam os exercícios, e tirem as dúvidas com os facilitadores.
Bom, estudos.

Revisão de Cálculo Diferencial e Aplicações

1. Regra de L'Hôpital

Exemplo 1 – Indeterminação \(\frac{0}{0}\)

Exemplo 2 – Indeterminação \(\frac{\infty}{\infty}\)

2. Regras de Derivação

2.1 Regra do Produto

2.2 Regra do Quociente

2.3 Regra da Cadeia

3. Crescimento, Decrescimento e Pontos Críticos

Exemplo

4. Aplicações da Derivada (Movimento Retilíneo)

Exemplo

2. Resumo dos Tópicos

3. Mapa Mental

Questões sobre o assunto

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