Integrais e Entropias

Texto original

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Texto extraído do video Cálculo I - Integrais Impróprias (LIBRAS)

Onde o nosso infelizador é? Onde o nosso infelizador é? Onde o nosso infelizador é? Onde o nosso infelizador é? Onde o nosso infelizador é? Olá pessoal, na aula de hoje, nós vamos entender o que são integrais e entropias, e como a gente pode calcular-las.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, nós vamos falar de integrais e entropias.
Até agora, o que a gente tem considerado são integrais definidas da forma, a até b, então, o integral de a b, f de x dx, aonde o intervalo a b é limitado e f é contínua em a b.
Porém, se nós tivéssemos a ou b infinitos? Quando a gente tem um intervalo de integração infinito, a gente tem, então, uma integral emprópica.
Então, a integral emprópia, pede na verdade, a definida, como as integrais, quando a gente tem um intervalo que é infinito e não limitado.
Então, vamos ver um exemplo.
Aqui, nós temos a função y igual a 1 sobre x quadrado.
Nós queremos calcular a área dessa região aqui, uma região s de 1 a b, onde b é qualquer valor à direita de 1.
Então, o que a gente vai fazer? Nós vamos calcular uma forma para essa área, para a área dessa região, para qualquer b, sendo um b genérico.
E o que a gente vai ver é que, quando esse b tender é infinito, essa área vai ser limitada.
Por mais que eu caminha, indo para infinito, invasomando pequenas áreas aqui, essa área vai ser limitada para um valor, então, não vai ser um valor infinito.
Então, como a gente vai mostrar isso? Então, primeiro, a gente vai calcular a área, limitada pela curva 1 sobre x quadrado, pelo xx, e pelas retas 1 e b, x igual a 1, x igual a b, onde b é um valor qualquer.
Então, o de calcular esta área é integral de 1 a b de 1 sobre x quadrado dx.
1 sobre x quadrado dx.
A x é menos 2, e a integral é menos x a menos 1, que é menos 1 sobre x.
Vou aplicar no b, eu tenho menos 1 sobre b, menos ele aplicado no 1.
Aplica no 1 tem menos 1.
Então, a área dessa região é 1 menos 1 sobre b, onde b é qualquer valor, ali à direita do valor 1.
Então, o que nós vamos fazer agora? Nós vamos aplicar o limite com o b tendendo infinito dessa área.
Então, limite quando b tende infinito da área de b, é o limite quando b tende infinito de 1 menos 1 sobre b, é a área que a gente acabou de encontrar, certo? Quando b tende infinito, 1 sobre b tende a 0, e daí eu fico com 1 menos 0, que é 1.
Então, a gente pode afirmar que a área dessa região procurada com b indo para infinito, então, a área de 1 até infinito dessa função 1 sobre x², limitado por essa função 1 sobre x², ela é dada pelo limite quando b tende infinito da integral de 1 até b, de 1 sobre x² de x, que é 1.
Então, por mais que b caminho para infinito, aquela área nunca vai ser maior que 1, que ela vai sempre andando por cima, se vejam um pouquinho muito pequenos, que não vou fazer com que ela oumente de forma drástica.
Neste caso, a gente diz que essa integral ela converge, porque ela vai para um valor, certo? Então, ela se integrar em proper chamado convergente, se esse limite existe, então, o que esse limite existe é igual a 1.
Então, esse é um exemplo de uma função de uma integrar de proper, que é convergente.
E caso o limite não existe, então, integral é chamada de divergente.
Então, nós temos aqui o primeiro resultado sobre integral em própria.
Então, ela diz que 100° em própria, de 1 infinito de fx dx, é convergente, então, o limite quando x tem que infinito dessa função, ele vai a 0.
Essa é uma condição necessária, mas não suficiente, que isso quer dizer, que vale ser convergente, o limite vai ser igual a 0, mas não vale a volta.
Se o limite for 0, não implica que ela é convergente.
Vamos ver alguns exemplos para ficar mais claro.
Por exemplo, a gente tem essa integral da função 1 sobre x dx.
Quando x tem que infinito, isso vai para 0.
A gente já viu que esse tipo de função, quando x tem que infinito, vai para 0.
Só que ela é divergente.
Vamos ver a partir da divergência.
Então, nós temos aqui integral em própria de 1 sobre x dx.
Então, de rescreve como um limite, então, o limite quando b tem de infinito de 1 até b de 1 sobre x dx, a integral de 1 sobre x é a ln do modo x.
Então, está aqui de 1 até b.
Então, eu vou aplicar no b menos ele aplicado no 1.
Como o nosso b está indo de 1 até infinito, ele está indo para direito, o nosso x é positivo.
Então, tirei do modo.
E aí vai ter lnb menos ln de 1.
A função ln, quando b tem de infinito, também vai para infinito.
Então, essa integral em própria é divergente, porque ela vai para infinito.
Uma coisa a notar a diferença na integral que a gente calculava anteriormente agora, é que a gente está trabalhando com infinitesimais.
Antes, se nós féssemos uma integral dessa forma aqui, a gente aplicava o torrema fundamental do cálculo e acabou.
Não, aqui a gente tem que calcular usando o limite justamente por esse conceito de infinito.
E aí nós temos um segundo resultado que diz que se é integral em própria de 1 sobre x dx, é convergente.
Então, ela é convergente, sei somente, c alpha for mar 1.
Neste caso, nós temos a ídia volta.
Então, se for convergente, alpha é mar 1.
Se alpha é mar 1, então é convergente.
Nós já vimos dois exemplos para ilustrar esse teorema.
O primeiro exemplo que a gente viu que convergente é um sobre x quadrado.
Aqui o nosso alpha é igual a 2, que é maior que 1.
Então, de fato, converge.
Aqui nós temos um outro exemplo.
Nosso alpha é 1, que não é maior que 1 é igual a 1 e desede.
Vamos ver mais um exemplo para ilustrar este teorema, que é integrado em própria de 1 sobre raiz de x dx.
Então, nós temos aqui integral 1 sobre raiz de x, aplicando o limite, e a integral de 1 sobre raiz de x é igual a 2 raiz de x.
De 1 até b.
Então, eu vou aplicar no b menos aplicado em 1.
Aplica no b, tem o 2 raiz de b, aplica no 1 tem o 2.
E aí, quando b vai preenfinito, a função raiz de b também vai preenfinito.
Então, nós temos aqui que essa função também diverge.
É o nosso alpha.
Aqui, como nós temos raiz de x dx elevado a meio, alpha igual a meio, e ele não é maior do que 1.
Se eu encontrar, ele é menor do que 1.
Então, pelo teorema, essa integral em própria já saberia que ela ia divergir.
Um próximo exemplo que foge agora um pouquinho dessas funções da forma 1 sobre x elevada a alpha.
Primeiro, é de 0, é infinito de exponencial de menos x dx.
Então, a gente aplica aqui o limite.
A integral de exponencial de menos x é menos exponencial de menos x.
E vou aplicar de 0 até b.
Então, vou aplicar no b menos aplicado em 0.
É menos exponencial de menos x, na mesma coisa que 1 sobre exponencial de x.
Então, quando eu aplico no b, eu fico com menos 1 exponencial de b, então, apliquei no b menos.
.
.
Ela aplicada no 0.
exponencial de 0 é igual a 1.
Então, menos menos 1.
Por isso, eu fico com o sobre exponencial de b mais 1.
Quando o b vai para infinito, essa parte da função vai para 0.
Vamos sobre exponencial de b vai para 0.
Mais 1 eu fico com o próprio 1.
Quando o b vai para infinito de uma constante, é a própria constante.
Vamos ver agora um exemplo em que a gente está calculando a integral em próprio ainda para menos infinito.
Porque os exemplos que a gente viu, a gente estava caminhando para mais infinito, de 0 mais infinito ou de 1 mais infinito.
Agora, nós vamos dizer o para menos infinito.
Da função exponencial de x com o sen x.
Então, quando ele vai para menos infinito, o meu limite também, o b tem que vender menos infinito, e aqui eu vou de b até 0, meus limites de integração.
A exponencial de x com o sen x.
A integral do exponencial é do produto da exponencial com a função consela.
É dada por exponencial de x sobre 2, sen x com sen x.
Com a técnica de integração que a gente já viu nos aulas anteriores, a gente consegue chegar nesse resultado.
Então, nós vamos pegar esse resultado e substituir lá na integral em próprio.
Então, aqui na integral do exponencial com sen x, eu sou substituir pela integral.
Então, exponencial de x sobre 2, sen x mais com sen x de b até 0.
Então, vou aplicar no 0 menos aplicado no b.
Ferto? Aplícono 0, aqui igual a 1, sen x 0, é 0, cos sen x 0 é 1.
Então, eu fico com 1,5 vezes 1, para o próprio meio.
Menos aplicado no b.
Quando eu aplico no b, eu tenho aqui um produto de duas funções que a gente pode usar aquela propriedade que era a consequência do teorema do confronto, e eu dizia que se eu tenho uma função que é limitada, produto com uma função que vai para 0, esse limite vai para 0.
Então, eu tenho sen, menos o cos, sen b menos cos, é uma diferença de funções limitadas que também vai ser limitada.
E tenho que exponencial de b sobre 2, quando b vai para menos infinito, vai para 0.
Então, eu tenho uma função que vai para 0, ou uma função que é limitada.
Isso daqui tudo então vai para 0.
Eu fico com 1,5, menos 0, que igual a 1,5.
Então, na aula de hoje a gente viu um pouquinho sobre a teoria de integrais improprias, que são integrais quando a gente tem limites que não são limitados, que vão para infinito.
Espero que vocês tenham gostado, bons estudos, e nos vemos na próxima aula.
Até lá! Até lá!