Cálculo de Áreas entre Curvas – Parte 2
1. Explicação detalhada do conteúdo
1.1. Área entre duas funções
Quando a região que desejamos medir está limitada superiormente por uma função f(x) e inferiormente por outra função g(x), a área A é dada por:
\[ A = \int_{a}^{b}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]\;dx \]
O intervalo \([a,b]\) corresponde aos pontos de interseção das duas curvas, ou seja, onde f(x)=g(x). É fundamental identificar qual curva está acima (f) e qual está abaixo (g) em todo o intervalo considerado.
1.2. Passos para resolver o problema
- Identificar as funções: determinar qual delas está acima.
- Encontrar os pontos de interseção: resolver f(x)=g(x) para obter os limites de integração a e b.
- Montar a integral: usar \(\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\).
- Calcular a antiderivada e avaliar nos limites.
- Interpretar o resultado: o valor obtido é a área da região limitada.
1.3. Exemplo 1 – \(y = x+2\) e \(y = x^{2}\)
Funções: f(x)=x+2 (superior) e g(x)=x^{2} (inferior).
Interseção: \(x+2 = x^{2}\;\Rightarrow\;x^{2}-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\)
Limites: \(a=-1,\;b=2\).
Integral:
\[ A = \int_{-1}^{2}\bigl[(x+2)-x^{2}\bigr]dx \]
Antiderivada: \(\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\).
Avaliação:
\[ A =\Bigl[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2} =\frac{9}{2}=4{,}5 \]
1.4. Exemplo 2 – \(y = 2x-x^{2}\) e \(y = x^{2}\)
Funções: f(x)=2x-x^{2}\ (superior) e g(x)=x^{2}\ (inferior).
Interseção: \(2x-x^{2}=x^{2}\;\Rightarrow\;2x-2x^{2}=0\Rightarrow 2x(1-x)=0\)
Limites: \(a=0,\;b=1\).
Integral:
\[ A = \int_{0}^{1}\bigl[(2x-x^{2})-x^{2}\bigr]dx =\int_{0}^{1}\bigl[2x-2x^{2}\bigr]dx \]
Resultado: \(A = \dfrac{1}{3}\).
1.5. Exemplo 3 – \(y = x\) e \(y = x^{3}\) (região simétrica)
Para \(-1\le x\le 0\) a curva \(x^{3}\) está acima; para \(0\le x\le 1\) a curva \(x\) está acima.
Devido à simetria, basta calcular em \([0,1]\) e multiplicar por 2:
\[ A = 2\int_{0}^{1}\bigl[x-x^{3}\bigr]dx =2\Bigl[\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2} \]
1.6. Dicas importantes
- Sempre desenhe rapidamente o gráfico; isso evita trocar as funções superior/inferior.
- Se as curvas se cruzam mais de uma vez, divida o intervalo em sub‑intervalos onde a ordem das funções não muda.
- Quando a região for simétrica, aproveite a simetria para reduzir o trabalho.
2. Resumo dos tópicos
1. Área entre duas funções
- Definição: \(A=\displaystyle\int_{a}^{b}[f(x)-g(x)]dx\) onde \(f\) está acima de \(g\).
- Passos: identificar funções, achar interseções, montar integral, calcular.
1.1. Passo a passo
- Identificar a curva superior.
- Resolver \(f(x)=g(x)\) → limites \(a,b\).
- Escrever \(\int_{a}^{b}[f-g]dx\).
- Encontrar antiderivada e avaliar.
1.2. Exemplo 1 – \(y=x+2\) e \(y=x^{2}\)
- Interseções: \(-1\) e \(2\).
- Integral: \(\int_{-1}^{2}(x+2-x^{2})dx\).
- Resultado: \(A=\dfrac{9}{2}\).
1.3. Exemplo 2 – \(y=2x-x^{2}\) e \(y=x^{2}\)
- Interseções: \(0\) e \(1\).
- Integral: \(\int_{0}^{1}(2x-2x^{2})dx\).
- Resultado: \(A=\dfrac{1}{3}\).
1.4. Exemplo 3 – \(y=x\) e \(y=x^{3}\)
- Região simétrica em \([-1,1]\).
- Área total: \(2\int_{0}^{1}(x-x^{3})dx = \dfrac{1}{2}\).
1.5. Dicas
- Desenhar antes de integrar.
- Dividir intervalos quando as curvas se cruzam várias vezes.
- Usar simetria sempre que possível.
Questões sobre o assunto
Resposta correta: A) \(\dfrac{9}{2}\)
Ao integrar \(\int_{-1}^{2}\bigl[(x+2)-x^{2}\bigr]dx\) obtém‑se \(\dfrac{9}{2}\).
Resposta correta: A) \(\dfrac{1}{3}\)
Integral \(\int_{0}^{1}(2x-2x^{2})dx = \dfrac{1}{3}\).
Resposta correta: C) \(\dfrac{1}{2}\)
Devido à simetria, \(A = 2\int_{0}^{1}(x-x^{3})dx = \dfrac{1}{2}\).
Resposta correta: B) \(\dfrac{1}{3}\)
Interseções em \(x=0\) e \(x=1\); integral \(\int_{0}^{1}(\sqrt{x}-x^{2})dx = \dfrac{1}{3}\).
Texto original
O texto original pode conter falhas de gramática ou de concordância, isso ocorre porque ele foi obtido por um processo de extração de texto automático.
Texto extraído do video Cálculo I - Cálculo de Áreas – Parte II
Olá, pessoal, tudo bem? Hoje nós vamos dar continuidade ao sudo de cálculo de áreas utilizando o integral.
Vamos lá? Então, aula de hoje é a parte 2 de cálculo de áreas.
Ná aula passada, nós vimos como que nós poderíamos calcular áreas de regiões que eram limitadas por uma função fx e
pelo eixo do x, ou superiormente ou inferiormente, ou seja, ou nossa região acima ou abaixo do eixo do x.
Ná aula de hoje nós estamos interessados em calcular áreas de regiões que são delimitadas por duas funções, tanto
superiormente quanto inferiormente.
Então, por exemplo, eu quero calcular a regiões s, tal que ela é limitada superiormente pela função fx e
inferiormente pela função de fx.
E aqui eu tenho os meus limites de integração a id, que são os pontos onde essas funções se encontram e que elas
interceptam.
Então, nós vamos ver como que a gente faz o cálculo de área para esse tipo de região limitada por duas funções.
Se nós temos essa região s de forma que superiormente ela está limitada pela função fxxxxg, então, o cálculo da área
dessa região é dada pela integral de aab da função f menos integral de aab da função g, porque eu calculo só a
função f, eu tenho toda essa região aqui.
Essa rozinha é mais essa parte aqui embaixo, certo? Se eu fizesse como a gente viu na aula passada, limitando
inferiormente pelo eixo do x.
E se eu calculo a área da região g, é exatamente esse pedaço que eu preciso retirar da função da área da função f
para encontrar exatamente a minha região s.
Então, é sempre a função que está limitada superiormente, menos a função que está limitando inferiormente.
Então, aab é f menos g de x dx.
Vamos ver alguns desenhos para ficar um pouquinho mais claro.
Então, nós temos aqui primeiro a área da região limitada pelo gráfico de itno-engóx² e itno-engóx mais 2.
Nós temos que seguir alguns passos que vão ajudar a fazer esse cálculo.
A primeira coisa que a gente tem que definir é qual função que está limitando inferiormente e qual que está
limitando superiormente essa região para a gente calcular essa área, certo? Porque, porque a gente precisa saber o
sinal, a função vcima menos a função de baixo.
Então, eu tenho aqui o gráfico da função x² em azul e da função x mais 2 em laranja, certo? E aí, o que eu tenho? Eu
tenho essa região em azul claro e em lítido e o gráfico da função x mais 2 está limitando superiormente e da função
x² está limitando inferiormente, x mais 2 superior e x² inferior.
Então, a minha integral, ela teria uma cara parecida com isso, x mais 2 menos o x², certo? Porque a função está
limitando superior menos a que está limitando inferior.
A outra coisa que a gente precisa é encontrar os nossos intervalos de integração, quem que são os valores de ID.
Aqui no caso, são os valores que onde essas duas coisas, essas duas funções se interceptam, de que são valores onde
elas se encontram.
Como a gente encontra esses valores? A gente iguala as duas funções.
Então, eu tenho x² igual a x mais 2, as duas funções.
A partir disso, eu tenho x² menos x menos 2 igual a 0.
Eu utilizar a bássica aqui, eu encontro os valores de x igual a menos 1, e x igual a 2.
Então, aqui eu tenho menos 1, aqui eu tenho o 2.
Então, isso quer dizer que esse será, na nossa intervalo de integração, de menos 1 até 2.
Esse será os valores.
Então, a nossa área vai ser dada pela integral de menos 1 a 2, de x mais 2 menos x² é a função que está superior,
limitando superiormente, menos a função que está limitando inferiormente.
Então, o integral dos x² sobre 2, integral do 2, 2x, e integral do x², x ao cubo sobre 3.
Isso de menos 1 a 2.
Então, eu vou aplicar no 2 menos aplicada no menos 1.
Eu aplico no 2, eu tenho 2 mais 4 menos 8 terços, e aplico no menos 1, fico com 1,5 menos 2 mais 1 terço.
Fazendo toda essa soma, eu fico com 5 menos 1,5, igual a 9,5, 4 e 9,5.
Então, não muda muito em relação ao que nós vimos na aula passada.
Da mesma forma, nós temos que ter nossos minites em integração.
Aqui, a gente só precisa definir qual função que está limitando superior ou inferiormente para a gente arrumar a
nossa integral e calcular a área de maneira correta.
Então, exemplo 2, calcular a área da região que é limitada pela função x² e 2x menos x².
Mais uma vez, a gente tem que definir qual função que limita inferiormente e qual que limita superiormente a
área.
A nossa região.
Fazendo aqui os bolsos dos gráficos, nós temos em azul a função x² e, em laranja, a 2x menos x².
Então, dá para a gente ver que a função 2x menos x² limita superiormente e x² inferiormente.
Então, nós teremos uma integral que vai ser parecida com 2x menos x² menos x².
Dese dessa função que está limitando inferiormente.
Então, nós vamos ficar aqui com 2x menos 2x² dx.
Então, aqui a gente já definiu qual função que está limitando inferior ou superiormente.
E aí, que a gente precisa.
Agora, encontrar mais uma vez os pontos de intersecção.
Vou igualar as duas funções.
Então, igual o x² com 2x menos x².
Então, x² igual a 2x menos x².
Fico com 2x² menos 2x.
Coloco 2x em evidência.
Então, multiplico aqui, fico com 2x².
O 2x menos 1x.
E aí, preço daqui, cê zero.
Ou isso tem que cê zero.
Ou isso tem que cê zero.
Tem um produto.
Preço produtos cê zero.
Alguma das partes do produto tem que cê zero.
Então, daqui, de 2x², entende x² zero.
E x menos o igual a zero, que é igual a 1.
Então, nós temos x² zero.
Ou x² 1.
Então, a nossa integral vai de zero até 1.
Então, a área que a gente quer encontrar é integral de zero a 1.
De 2x menos 2x².
Quero é 2x menos x² menos x².
A integral, então, de 2x², a integral de menos 2x² menos 2x ao cubo sobre 3.
E aí, nossa intervalo de integração de zero a 1.
Então, aplica no 1 menos aplicado no zero.
Então, aplica no 1.
Eu tenho 1 menos 2x.
Cê não aplicar no zero, eu vou ter zero e zero.
Então, tipo com 1 menos 2x mesmo.
Fazendo essa soma, eu chego um valor de 1.
Próximo exemplo, então, a área da região que é limitada pelos gráficos de x ao cubo e x.
Então, a primeira coisa que a gente faz, definir qual função que limita inferiormente, qual limita superiormente a
área.
Aqui, nós temos o gráfico da função x ao cubo em azul e da função x, aí, tu não é igual a x em laranja.
Não tem que.
Na parte onde x é positivo, o que eu tenho? Eu tenho a função x limitando superiormente e tenho a função x ao cubo
limitando inferiormente.
Então, nós teremos aqui uma integral de x menos x ao cubo.
Nessa parte onde x é negativo, nós temos o oposto.
Nós temos a função x ao cubo limitando superiormente e x limitando inferiormente.
Uma coisa que a gente tem que notar também é que essa parte aqui da função está abaixo do x.
Então, tudo isso vai influenciar na hora de montar a nossa integral.
Porém, uma coisa que pode facilitar muito é o fato de que essa função as duas funções e a região de interesse, a
qual a gente quer calcular a área, chamando que essa parte de x.
y.
y.
x.
x.
2, elas são simétricas, as funções são simétricas, então, essas duas regiões são simétricas.
O que isso quer dizer? Nesse caso, eu não preciso me preocupar com tudo isso.
Essa região, esse 2, vai ser igual a região, esse 1.
Então, para eu encontrar a área total, que a soma dessas duas, basta que eu encontre a área dessa região, esse 1 e
multiplique ela por 2.
Eu tenho a área total, porque as funções são simétricas, então, as regiões vão ser igual a área dessas regiões vão
ser iguais.
Então, é o que a gente vai fazer.
Nós vamos focar nessa área aqui, dessa região, o resultado a gente multiplica por 2, já que a área é igual de essa
duas regiões, que encontra para toda a área de interesse.
Então, o que nós precisamos agora, que a gente já sabe que para essa região, o x delimita superiormente, e o x ao
cubo inferiormente, nós precisamos encontrar o ponto onde tem intersecção.
Então, x ao cubo igual a x, x ao cubo menos x é igual a zero, passando o x para o lado-al.
Colocando o x em evidência, ficamos com x x² menos 1, ou x é zero, e a gente já tem um ponto que é o próprio zero,
ou x² menos 1 é zero, então x² igual 1.
Do x² igual 1, nós temos, então, os pontos 1 e menos 1.
Como nós estamos interessados nessa região, nós estamos interessados aqui no ponto 1.
Então, a nossa integral vai de zero a 1, de x menos x ao cubo, e a gente multiplica por 2.
Então, esses são os três valores, zero e menos 1.
E aí, a nossa área vai ser igual a 2, porque duas vezes a área encontrada de zero a 1, x menos x ao cubo.
Então, integrado o x x² sobre 2, do x ao cubo, x à 4 sobre 4, de zero a 1.
Então, eu tenho 2, meio menos 1.
4, e os valores aplicados no ponto 1, então, tenho meio menos 1.
4, menos o valor aplicado no ponto zero, da zero, isso aqui, zero e zero.
Então, meio menos 1.
4, 1.
4, 1.
4 vezes 2 é igual a meio.
Então, a área de cada uma dessas regiões é igual a 1.
4.
Já que são simétricas e a área a mesma.
E aí, eu sou a 1.
4 com 1.
4, e a área total que eu estou procurando, então, é igual a meio.
Então, nessa aula, nós vamos uma continuidade no calculo de áreas para outras particularidades, que é o caso em que
existem duas funções, que limitam superior e inferiormente a região de interesse, que a gente quer calcular, é a
nossa área.
Espero que vocês tenham gostado, bons estudos, e nos vemos na próxima aula.
Até lá!
