Para encontrar a área de uma região plana podemos dividir a região em pequenos retângulos, somar as áreas desses retângulos e, à medida que aumentamos o número de retângulos (ou diminuímos a largura de cada um), a soma se aproxima cada vez mais do valor exato da área. O limite dessa soma quando a largura tende a zero é a integral definida.
O processo acima pode ser escrito como \[ \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x = \int_{a}^{b} f(x)\,dx . \] Assim, calcular a área passa a ser “integrar” a função que delimita a região entre os limites \(a\) e \(b\).
\[ \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}= \frac13 . \] Portanto, a área da região limitada por \(y=x^{2}\), \(x=0\) e \(x=1\) é \(\displaystyle\frac13\).
Primeiro reescrevemos \(\dfrac{1}{x^{2}} = x^{-2}\). A antiderivada é \(-x^{-1}= -\dfrac{1}{x}\). \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}}dx = \Big[-\frac{1}{x}\Big]_{1}^{2} =\Big(-\frac12\Big)-\Big(-1\Big)=\frac12 . \] A área vale \(\displaystyle\frac12\) unidade quadrada.
\[ \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx = \big[\sin x\big]_{0}^{\pi/2} =\sin\frac{\pi}{2}-\sin0 = 1-0 = 1 . \] Logo, a área é \(1\) unidade quadrada.
Primeiro encontramos onde a curva corta o eixo \(x\): \[ 4-x^{2}=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}=4 \;\Longrightarrow\; x=\pm2 . \] Assim, os limites de integração são \(-2\) e \(2\): \[ \int_{-2}^{2}(4-x^{2})dx =\Big[4x-\frac{x^{3}}{3}\Big]_{-2}^{2} =\big(8-\frac{8}{3}\big)-\big(-8+\frac{8}{3}\big) =\frac{32}{3}. \] A área da região acima do eixo \(x\) é \(\displaystyle\frac{32}{3}\).
Para a curva \(y=-4+x^{2}\) (ou \(-4+x^{2}\) que fica abaixo do eixo entre \(-2\) e \(2\)), a integral direta dá um valor negativo: \[ \int_{-2}^{2}(-4+x^{2})dx = -\frac{32}{3}. \] Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto: \[ A = \Big|\int_{-2}^{2}(-4+x^{2})dx\Big| = \frac{32}{3}. \]
Considere \(f(x)=x^{3}-4x\) entre \(x=0\) e \(x=3\). O ponto onde a curva cruza o eixo é obtido por \(x^{3}-4x=0 \Rightarrow x(x^{2}-4)=0\Rightarrow x=0,\;x=2\). Assim, a região de \(0\) a \(2\) está abaixo do eixo (área negativa) e de \(2\) a \(3\) está acima. Calculamos separadamente: \[ A_{1}= \Big|\int_{0}^{2}(x^{3}-4x)dx\Big|,\qquad A_{2}= \int_{2}^{3}(x^{3}-4x)dx . \] \[ \int (x^{3}-4x)dx = \frac{x^{4}}{4}-2x^{2}. \] Avaliando: \[ A_{1}= \Big|\Big[\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\Big]_{0}^{2}\Big| =\Big|\Big(\frac{16}{4}-8\Big)-0\Big| = \Big|4-8\Big| =4 . \] \[ A_{2}= \Big[\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\Big]_{2}^{3} =\Big(\frac{81}{4}-18\Big)-\Big(\frac{16}{4}-8\Big) =\Big(\frac{81}{4}-18\Big)-\Big(4-8\Big) =\frac{81}{4}-18+4 = \frac{41}{4}=10.25 . \] Área total: \(A=A_{1}+A_{2}=4+10.25=14.25\) unidades quadradas.
A área de uma região pode ser aproximada por somas de áreas de retângulos. O limite quando o número de retângulos tende ao infinito (largura tende a zero) é a integral definida.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum f(x_i^*)\Delta x = \int_a^b f(x)\,dx\). A integral substitui o processo de soma infinita.
Resposta correta: B) \(\frac13\)
Calculando: \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}dx = \Big[\frac{x^{3}}{3}\Big]_{0}^{1}= \frac13\).
Resposta correta: B) \(\frac{32}{3}\)
Os zeros são \(x=\pm2\). Integral: \(\int_{-2}^{2}(4-x^{2})dx = \frac{32}{3}\).
Resposta correta: C) 10.25
Resposta correta: A) \(\frac{31}{4}\)
Integral: \(\int_{1}^{4} x^{-2}dx = \Big[-\frac{1}{x}\Big]_{1}^{4}= -\frac14 -(-1)=\frac34\).
Olá, pessoal, tudo bem? Nós vamos ver na aula de hoje a parte 1 do cálculo de áreas de regiões utilizando integral.
Vamos lá? Então na aula de hoje, nós vamos ver como a gente calcula a área utilizando integral.
Na nossa aula de integral de rima, nós vimos como calcular a área dessa região S através de um limite.
Lembre-a que nós dividimos essa região em vários retângulos, e quanto mais enxomentava o número de retângulos, fazer esse número de retângulos tendem infinito, mais próximo do valor exato da área, nós conseguimos chegar.
Então, para calcular o valor dessa área, limitada pela função x², e pelas retas, x igual a 0, x igual a 1, nós calculamos um limite.
Um limite com esse número de retângulos tendendo infinito, que era similar a fazer um limite quando a largura do retângulo tende a 0, e a gente fazia uma soma da área de cada retângulo, certo? E era foi dado dessa maneira.
Então, fazendo o número de retângulos tendem infinito, ou fazendo a largura de cada retângulo tende a 0.
Fazendo este calco, nós chegamos no valor de um terço.
E naquela aula, nós também falamos que fazer esse calcular esse limite era equivalente a falar uma integral de a b da função fdx.
Hoje, nós vamos ver como a gente usa a integral para calcular a área dessas regiões e não mais do limite.
Então, para calcular a área daquela região que é delimitada pela função x², e pelas retas, x igual a 1, nós fazemos essa integral de 0 a 1, da função x² dx, quando a gente integra da x³ sobre 3, de 0 a 1, aplica no 1, temos um terço sobre 3, menos aplicado no 0, 0, 3 sobre 3.
Então, um terço menos 0, igual a 1 terço.
Vamos ver mais alguns exemplos.
Primeiro exemplo, calcular a área da região limitada pelo gráfico de y igual a 1 sobre x² e pelas retas, y igual a 0, x igual a 1, x igual a 2.
Nos exemplos da aula de hoje, nós vamos sempre estar delimitando a nossa região por uma função e pelo eixo do x.
Então, sempre é uma função que vai estar delimitada por uma região, que vai estar delimitada por uma função e pelo eixo x.
Aqui, neste caso, o que queremos? Calcular a área que tem a função 1 sobre x², como limitante superior, e aqui as retas de 1 até 2.
Então, a nossa integral vai ser de 1 a 2, dessa função 1 sobre x².
Então, a área vai ser integral de 1 a 2 de 1 sobre x² dx.
1 sobre x² é equivalente a x a menos 2.
E a integral fica x a menos 2 mais 1 sobre menos 2 mais 1.
Aqui dá menos 1, então, x menos x a menos 1.
Então, integral menos 1x a menos 1, que é equivalente a menos 1 sobre x.
Lembra que tem uma potência negativa e aí vira positiva? É de 1 até 2.
Então, eu aplico no 2 da menos 1, menos aplicado no 1, que dá menos 1.
Então, menos 1, mais 1 é igual a 1.
Aqui, o que é este meio é meio unidade de engenharia, depende da unidade de medida que está sendo usada.
Nos nossos cálculos, nós vamos omitir esta informação, mas vai ser a unidade de área.
É alguma unidade de área.
Próximo exemplo, então, calcular a área da região que é limitada pelo gráfico do cos, então, x é igual a cos, de x.
E pelas retas, x é igual a zero, x é igual a p sobre 2.
Então, mais uma vez, aqui, a gente está sempre delimitando por esta função, e é x é igual a cos, de x, pelo eixo x.
E aqui, a informação que nós temos que é pelas retas também aqui.
E igual a zero, x é igual a p sobre 2.
Isso quer dizer o quê? Que é nosso integral, ela vai de zero a p sobre 2 com a sen x dx.
Bem, sim, aqui.
Então, a nossa área é integral de zero a p sobre 2 do cos, de x dx.
E ela vai ser igual a sen x.
Entegra o do cos, de zero a p sobre 2.
Eu tenho que o sen x sobre 2 menos o sen x de zero.
Sen x sobre 2 é 1.
Sen x é zero a zero.
Então, a minha região é igual a 1 área da minha região, igual a 1.
Certo? Próximo exemplo, calcular a área da região limitada pelo gráfico, de y é igual a 4 menos x², e pelo eixo de x.
Aqui, note, nós não temos as retas em x para indicar o nosso limite de integração.
O que a gente vai fazer? A gente sabe que a função 4 menos x² é alguma coisa parecida com isso.
E para a gente encontrar esses valores de integração, nós vamos encontrar em quase valores que a função intercepta, passa pelo eixo x.
Como a gente faz isso, igual a ambos, a função zero.
Então, 4 menos x² é igual a zero.
Eu vou ter x² igual a 4.
E aí, quais são os valores que, quando eu levo ao quadrado, eu obtém 4 menos 2 e 2.
Então, meus limites de integração aqui, eles vão estar entre menos 2 e 2.
Certo? Então, essa é a função 4 menos x², e os limites de integração, que são os valores aonde a função corto este do x, menos 2 e 2.
Então, a integral vai ser dado, para a integral de menos 2 a 2, de 4 menos x² dx.
A integral de 4, 4x, a integral de x², que é o cubo sobre 3.
Então, aplico no 2, menos aplicado no menos 2.
Aplico no 2, aqui, eu obtém 8 menos 8 terços.
Aplico no menos 2 tem o menos 8 e o menos 8 terços.
Fazendo essa soma, eu tenho aqui 8 mais 8, que dá 16, menos 8 terços, menos 8 terços, menos 16 terços.
Fazendo esse cálculo, eu chego em 32 terços.
O exemplo, 4 é bem similar ao 3.
Então, eu vou calcular a área da região limitada pelo gráfico de menos 4 mais x² e pelo eixo x.
Mais uma vez, como nós não temos os valores das retas em x, seria os nossos limites de integração, a gente vai igualar aqui a 0 e vai obter novamente x² igual a 4.
Então, os valores de menos 2 a 2.
De fato, essa é a área que a gente tem a encontrar à região.
E aqui, os valores de menos 2 a 2.
E essa é a função.
Acontece aqui que, nos outros casos, o que nós timos? A função estava aqui em cima.
E aí, a nossa região que a gente queria encontrar é, ela estava toda a cima do eixo x.
Essa região aqui está abaixo do eixo x.
Se isso muda com uma coisa, é um teste.
Vamos calcular da mesma maneira que a gente calculou nos imponterior.
Então, eu vou ter a área do menos 2 a 2, de menos 4 no x².
A integral vai ser menos 4x, e a integral do x², chozo ao cubo sobre 3.
Lembrando que a nossa integral é menos 2 a 2.
Sobre 2 no 2, tenho menos 8 mais 8 terços.
E, sob estu, no menos 2, tenho 8 menos 8 terços.
Fazendo essa conta, a gente chega no valor de menos 32 terços.
Mas, espera aí.
A gente está fazendo um cálculo de área.
E essa área deu negativa.
Então, tem uma diferença quando a gente calcula a área de uma região que está limitada inferiormente pelo x ou superiormente pelo x.
No caso dessa função, dessa área dessa região aqui, que ela está toda abaixo do x, ou seja, o x está limitando superiormente essa função.
Nós temos que acrescentar um sinal de innegativo na hora de calcular a integral.
Então, continuou com o mesmo cálculo, mas aí, por conta desse sinal, a área da área agora positiva 32 terços.
Então, a gente tem que estar mais cuidado em saber se a gente está limitando superiormente ou inferiormente pelo x.
Um próximo exemplo, calculário da região que é limitada pelo gráfico de x ao cubo menos 4x, pelo eixo x.
E aqui, pelas retas, x igual a 0, x igual a 3.
Eu tenho essas duas retas, certo? Mas, esse é o gráfico da minha região, esse é o gráfico da função, em azul um pouco mais escuro.
E em azul clarinho é a região que eu quero calcular a área.
Eu sei que eu quero daqui de 0 até 3, só que de 0 até 2, a minha região, ela está abaixo do x.
Então, o x está limitando superiormente.
E de 2 a 3 é o contrário do x está limitando inferiormente.
Então, aqui, nós vamos ter que tomar um certo cuidado na hora de calcular a área.
Eu chamar essa região de s1 e s2, a área que eu quero calcular é a soma das áreas dessas duas regiões.
Então, eu vou fazer a área dessa região, esse 2, menos essa região s1, porque ela está abaixo do eixo.
Aqui, mais uma vez, posso encontrar esse valor 2, que a gente já deu um gráfico, mas encontrando o valor que intercepta, onde a função intercepta, ali, o eixo do x.
Certo? A gente poderia reescrever essa função, como sendo x x²-4.
Certo? Isso daqui seria 0.
Se x fosse 0, ou se x²-4 fosse 0, que seriam os pontos 2 ou menos 2.
Como a gente está tratando do caso de 0 até 3, não nos importa o menos 2, e é, então, a gente sabe que está interceptando aqui, que está passando pelo eixo do x no ponto 2.
Então, nós vamos fazer a integral de 2 até 3 da função, menos integral de 0 até 2, da mesma função.
Então, integral de 2 até 3 de x ao cubo menos 4x, menos a integral de 0 a 2, da mesma função.
A integral do x ao cubo é x⁴, a integral do menos 4x, menos 2x².
A mesma coisa é nessa parte.
Então, eu tenho o primeiro aqui, indo de 2 até 3, e o segundo, de 0 até 2.
Vou aplicar, então, os limites de integração.
Então, na primeira parte, eu aplico no 3, menos aplicado no 2, e na segunda, no 2, menos aplicado no 0.
Então, eu aplico 3, fico com 81⁻ 18, menos, menos 4, aplicando no 2.
Menos, né? Eu menos aqui, e vai inverter o sinal da nossa área.
Então, então, eu tenho uma área negativa.
Então, eu aplico no 2, tenho menos 4, e no 0 é o próprio 0.
Somando todos esses valores, chegamos no valor de 41⁻ 18.
Então, nessa aula, o que nós vimos foi o calculo de áreas, quando a nossa região é limitada por uma função, e pelo eixo do x.
E é o que a gente tem que tomar cuidado, é saber se esse eixo, está limitando superiormente ou inferiormente.
Ou seja, se a nossa área está acima do eixo do x, ou abaixo do eixo do x.
Na próxima aula, nós vamos ver mais um pouquinho de teoria de calculo de áreas na próxima aula.
Espero vocês lá.
Bom os estudos.