O vídeo apresenta uma aula de matemática focada na análise de funções a partir de seus gráficos. Ele aborda conceitos como sinal da função, intervalos de crescimento e decrescimento, domínio e imagem, funções pares e ímpares, além de exemplos práticos de leitura de valores no gráfico.
Entender como ler corretamente o gráfico para extrair todas as informações (sinal, crescimento, domínio, imagem, paridade) é crucial, pois esses dados são frequentemente solicitados em provas e vestibulares.
Ao dominar a leitura de gráficos de funções, o estudante ganha uma ferramenta poderosa para resolver problemas de análise funcional, identificar propriedades importantes e responder questões de forma rápida e precisa.
O vídeo ensina a analisar gráficos de funções, explicando como identificar onde a função é positiva ou negativa, onde ela cresce ou decresce, quais são os valores que a função pode assumir (domínio e imagem), e se a função é par ou ímpar. Também mostra um exemplo completo de leitura de um gráfico, destacando pontos de corte com os eixos, valores específicos e comparações entre diferentes pontos.
Funções de 1º e 2º grau são expressões algébricas que descrevem relações entre variáveis. A função de 1º grau, f(x)=mx+b, tem gráfico de reta; a de 2º grau, f(x)=ax²+bx+c, tem gráfico de parábola. O comportamento do gráfico depende dos coeficientes: o sinal de a determina a concavidade, o discriminante indica raízes, e o vértice localiza o ponto máximo ou mínimo.
No plano cartesiano, o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão está definida. A imagem (ou contradomínio) é o conjunto de valores de y que a função pode produzir. Para funções polinomiais, o domínio costuma ser todo ℝ, enquanto a imagem pode ser limitada por extremos.
Ao analisar o gráfico, observamos:
Essas informações são essenciais para resolver questões de análise funcional em provas e exames.
O lá pessoal tudo bem? Vamos continuar estudos das funções agora fazendo uma análise mais detalhada e aprofundada respeito nos gráficos.
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Beleza? Vem comigo aqui, olha só.
Analisando o gráfico de uma função e tem um aqui, o sinal da função.
Analisar o sinal da função é descobrir para quais valores de x a função é positiva, para quais valores de x a função é negativa e para quais valores de x a função é igual a zero.
Vamos imaginar um x aqui assim.
Vamos pegar um x aqui assim entre o seio d, eu vou chamar ele de x₁, beleza? Se nós aplicarmos a função nele, nós vamos encontrar um y, onde é que vai estar o y dele? Vamos traçar mais ou menos aqui assim e traçar mais ou menos aqui assim.
Ficou um pouco torto, não tem problema.
Aqui nós vamos encontrar o y referente a esse valor x.
Repare o seguinte, que quando nós aplicamos a função nesse valor, o seu valor de y correspondente ficou positivo.
Concorda comigo? Concorda também que para qualquer valor de x entre o seio d, nós teremos um y positivo, já que o gráfico está aqui em cima? Concorda comigo? Então nós já podemos concluir algumas coisas.
Os valores de x, onde o gráfico está localizado acima do x, esses valores de x fazem com que a função seja positiva ou seja maior que zero.
Olha para mim aqui também.
Imagina um x entre o y e o b nessa região aqui.
Vamos pensar um x mais ou menos aqui assim.
Vamos chamar então o y de x₂.
Se nós aplicarmos a função nele, nós vamos encontrar um y, olha só jogando aqui, jogando o gráfico ali, nós vamos ter um y mais ou menos aqui assim.
Deu coincidência e tocar bem aqui em cima.
O y₂ é a imagem do x igual a 2 da função aplicada no ponto x igual a 2.
Repare o seguinte, para qualquer valor de x que estiver entre a e b ou entre cd, concorda que comia que o gráfico está localizado acima do x, concorda? Nessa região entre a e b e entre cd, nós temos uma função, f de x maior do que zero.
Beleza? Bem nessa região aqui.
Você pode ver que a volta aqui está na parte positiva ou seja na parte de cima do x.
Então podemos escrever o seguinte, olha, a função f de x é maior do que zero, aonde? Vamos escrever aqui.
Quando o x for maior do que a e menor do que b, ok? Ou o x estiver entre o cd, ou seja, o x for maior do que o c e menor do que o d.
Então, é bem tranquilo.
O gráfico localizado acima do x, nessas regiões, nós temos o gráfico, então, a função sendo maior do que zero.
Agora, o sugrafico estiver localizado abaixo do x, nessas regiões de valor de x, nós temos a função menor do que zero.
Acompanhe comigo aqui.
Vamos imaginar um x aqui assim.
Entre o b e c, vamos dizer que esse aqui é o x₃.
Aplicando a função nele, nós vamos descobrir um y mais ou menos aqui assim.
Aqui nós temos, então, o y correspondente, ou seja, a imagem quando x é igual a 3.
Repare o seguinte, para os valores de x entre o b e o c, nós temos o gráfico abaixo.
Então, para esses valores de x aqui, a função é negativa.
Repare o seguinte, nós duas extremidades aqui.
O gráfico continua.
Então, dá para concluir que para a valor de x acima do d e abaixo do a, nós temos a função para baixo, que o gráfico está abaixo do x, ou seja, nessas regiões vermelhas, nós temos a função sendo negativa.
Então, escrevendo aqui, f de x acaba sendo menor do que zero, aonde? Para valores de x menor do que a, ou seja, x é menor do que a, ou o x está entre b e c, olha só, o x maior do que b, e menor do que c, ou para valores de x maior do que d.
Então, aqui, o x maior do que d.
Uma observação aqui, gente, a gente está utilizando o conectivo ou, olha só, não tem como ser, por exemplo, o x menor do que a e o x entre b c, sempre utilizando aqui o conectivo ou, ok? Pessoal, agora o seguinte, aonde nós temos a função exatamente igual a zero, quando o gráfico cruza ali o nosso eixo x.
Repare comigo aqui, exatamente, no x igual a, no x igual a b, no x igual a c e no x igual a d, nós temos aqui, então, a função a f de x sendo igual a zero.
Até a gente pode colocar aqui, não tinha colocado, nessa região aqui, nós temos a função f de x sendo menor do que zero, aqui também, menor do que zero e aqui também menor do que zero.
Agora, f de x, exatamente igual a zero, nós temos aonde? No x igual a a, ou b ou c ou d, então, a vírgula b vírgula c vírgula d, ok? Vamos descer um pouquinho aqui, vamos ver o seguinte, analisar agora quando é que a função ela é crescente e quando é que a função ela é decrescente.
Pessoal, analisar se a função é crescente ou decrescente através do gráfico é muito simples, olha só.
Se a medida que o x vai aumentando, vai caminhando no x ali, e o gráfico vai caindo, nós temos nessa região, então, do x sendo uma função decrescente.
Agora, do contrário, se a medida que o x vai aumentando, a função vai aumentando também, aí nós temos uma função crescente.
Agora, se acontecer o seguinte, da função do x no caso, irá aumentando, e a função continuar ali retinha, nós temos nessa região do x, então, uma função constante.
Acompém comigo aqui, pessoal, para valores de x entre ua e o zero, o que está acontecendo com o gráfico? O gráfico aqui, entre ua e o zero para os lores de x entre a zero, o gráfico aqui está fazendo esse movimento.
Concorda comigo? Então, nessa região aqui, nós temos uma função decrescente.
Acontece essa função decrescente, novamente para x entre c e d, para valores de x entre c e d, repare o seguinte, aqui, nós temos o gráfico sendo uma função decrescente.
Então, vamos escrever assim, f é decrescente, a nota lá, decre, sente, para que valores? Para x entre a e zero, ou seja, x maior do que a, e menor do que zero, ou, tá, o x está entre o c e d, então, o x é maior do que c e menor do que d.
Reparem que eu só estou analisando entre ua e o e, tá? Você poderia pensar a ferret, mas aqui nós temos o gráfico decrescente, só que para x adhante do e, a gente pode ter um movimento do gráfico aqui, sendo qualquer outro.
Então, além de antes, não pode dizer seguramente que para valores de x maior do que e, o gráfico será sempre decrescente.
Vamos analisar entre ua e o e, primeiramente.
Beleza? Compõe comigo aqui, ó.
Agora, entre a e, repare o seguinte, nessa região aqui, o gráfico é crescente, ou seja, para valores de x entre b e c, o gráfico é crescente da mesma forma que entre d e e, esses valores de x fazem com que o gráfico, ou seja, crescente também.
Então, f é crescente, crescente, aonde? Para valores de x entre b e c, ok? Então, x maior do que b, e menor do que c, ou para valores de x entre d e, então, o x maior do que d, e menor do que e, o gráfico também é crescente.
Agora, repare o x nessa região aqui.
Olha o gráfico aqui, gente.
O x está entre zero e esse valor b, o gráfico tem uma linha reta, que ou seja, o gráfico nessa região aqui é uma função constante.
Vamos escrever isso, f é constante, ou seja, não é nem crescente, nem decrescente, para valores de x entre zero e b, ou seja, quando x é maior do que zero e menor do que b, nós temos a função constante.
Pessoal nesse item 3, vamos fazer um exemplo bem completo em relação às informações que um gráfico pode disponibilizar.
Vem comigo aqui, olha só, informações sobre uma função a partir de seu gráfico.
Então, nós temos a primeira informação aqui dizendo que f é de r em r.
Lembre-me, esse r aqui representa o nosso domínio, enquanto esse outro conjunto aqui é o nosso contra domínio.
Então, a gente diz que a função é de r em r, ou seja, de reais em reais.
Aqui, não tem a, vamos descobrir o f de 5, ou seja, quando o x for igual a 5, quant é que vale a função? Bom, vamos lá.
No x igual a 5, olha que o x igual a 5, nós vamos ter a função valendo quantos, nós percorremos aqui, atingimos o gráfico, nós vamos encontrar um íbslum exatamente igual aqui, esse 2, ou seja, o f de 5 o resultado é exatamente igual a 2.
Então, vamos colocar aqui a f de 5 igual a 2.
Aquele 2 ali, pessoal, só para relembrar, é a imagem quando x vale 5.
Beleza, vem comigo aqui.
E agora para f de menos 2, vamos lá.
No x igual a menos 2, olha que o x igual a menos 2 está aqui, localizando então, o íbslum correspondente, vá até o gráfico, e nós vemos aqui assim, nós vamos ter então um íbslum exatamente igual a menos 1.
Então, f de menos 2, o resultado é menos 1.
No itenseio, olha só, cf de x é igual a 3.
Pessoal, olha só, o f de x lembra, isso aqui é mesma coisa que o íbslum, né? Então, quando o íbslum é igual a 3, vamos lá, o íbslum igual a 3 está aqui, ele.
Beleza? Quando o íbslum igual a 3, então o valor de x é igual a quanto? Olha aqui, a gente pode caminhar para o lado direito, encontramos o gráfico aqui assim, e o valor do x pode ser tanto esse 6 aqui opositivo como se a gente caminhar para o lado esquerdo também, né? O caminhando para o lado esquerdo, nós vamos encontrar um x valendo menos 6, ou seja, o x aqui pode ser menos 6, ou o x pode ser igual a 6.
Então, repare gente, ó, para dois valores diferentes do domínio, encontramos o que a mesma imagem, isso aí é perfeitamente possível em funções.
Vamos pro entender que assim, aqui nós vamos analisar a função no ponto menos 4 e no ponto igual a 2.
Vamos ver se a maior menor ou igual.
Olha aqui, quando o x é menos 4, quanta que vale a função no x igual a menos 4? Ó, o x menos 4, nós vamos terem então a função aqui, vale a lenda exatamente 1, concorre comigo.
Agora, para f de 2, ou seja, no x igual a 2, está aqui, o x igual a 2, nós vamos ter a função valeu do quanto? Vem aqui, f, então, de 2, o resultado é menos 1, então, f de menos 4, o resultado deu 1 positivo e f de 2, o resultado deu 1 negativo.
Então, consequentemente, nós podemos dizer que f de menos 4 é maior do que f de 2.
Olha, e tem, qual domínio dessa função? A gente pode tirar daqui assim, o domínio está sendo dito que é o conjunto dos reais.
Agora, nós podemos pensar o seguinte também, o domínio são todos os valores de x para o grafico, ou seja, a função esteja determinada.
Agora, a imagem, a imagem, pode ser encontrada facilmente projetando o gráfico no eixo y.
Então, se nós projetarmos esse gráfico no eixo y, nós teremos a imagem vindo aqui do menos 3 e indo até, vamos colocar aqui até o mais infinito.
Então, aqui, assim, nós vamos ter a imagem, aqui é a imagem dessa função.
Podemos escrever assim, uma imagem da função é dada por y.
Imagina, sempre é y, é y, pertença seus reais, tal que o y é maior ou igual a menos 3.
Então, y maior ou igual a menos 3.
E tem, g, onde é que o gráfico corta o eixo x? Está cortando o eixo x nesse ponto aqui, e nesse ponto aqui.
Quais são esses pontos mesmo? Esse ponto aqui, é o ponto x igual a 13, e y igual a zero.
Ou seja, é o ponto 3, zero, ou menos 3, zero.
É onde corto o eixo x? Agora, por sua vez, o itenh aqui, onde é que corto o eixo y? Olha só o gráfico, está cortando o eixo y, aqui assim, né, gente? Lá no y igual a menos 3.
Ou seja, esse ponto é zero para o x e menos 3 para o y.
Beleza? E tem, olha só, f é uma função, aquilo que é dizer o seguinte, essa função analisando gráfico, ela é uma função par, uma função ímpar, ou é uma função que não é nem par e nem ímpar.
Olha lá, repare o seguinte, que existe uma simetria em relação aqui ao eixo y.
Olha só, o eixo y é como se fosse um espelho desse gráfico.
Então, quando acontece isso, uma simetria em relação o eixo y, essa função aqui é uma função par.
Então, aqui é função par.
Ok? E tem j, olha só, quando é que f é positiva, pessoal, ela é positiva, ou seja, o gráfico está acima do eixo x, nessa região aqui, ó, acima do 3 e abaixo do menos 3.
Concorda comigo? Então, a gente pode escrever assim, ó, f de x é positiva em x menor que menos 3, ou x maior do que 3.
Agora, quando é que a f é função, ela é negativa.
Quando x estiver entre o menos 3 e o 3, reparem que o gráfico está abaixo do x.
Então, nessa região aqui, nós temos a função sendo uma função negativa.
Vamos escrever isso? Olha só, f é negativa, então para valores que estiverem entre o menos 3 e o 3, para a luz de x, tá? E f de x é igual a zero quando, ou seja, quando o gráfico cruzar o eixo x.
Nesses pontos, o gráfico não está nem acima nem abaixo.
Então, aqui nós temos a função sendo igual a zero, ou seja, f de x é igual a zero em x igual a menos 3, ou x igual a 3.
E agora, por último, crescimento e decrescimento.
Quando é que a função, ela é crescente, ó.
Reparem que o gráfico aqui, nessa região está crescendo, ou seja, para qualquer valor de x, que seja maior do que zero, o gráfico está sempre crescendo.
Então, nós podemos dizer o seguinte, que ela é crescente para x maior do que zero.
E do contrário, quando é que ela é decrescente, ó.
Ela é decrescente, aqui, ó.
Note que o gráfico aqui está sempre decrescendo.
Então, para esses valores de x aqui, ó, ou seja, x menor do que zero, o gráfico é decrescente.
Então, x menor do que zero.
Beleza, pessoal? Fizemos um exemplo completar, sinalizando o gráfico de uma função e estraindo todas as informações necessárias.
Muito, mas muito importante para provas do NM, vestibular e por aí vai.
Beleza? Pessoal, se você gostou da aula, clique a link gostei, a gente se vê na próxima, bons estudos e até mais.