A técnica de mudança de variável (também chamada de substituição) é usada para simplificar integrais complicadas, substituindo uma parte da função por uma nova variável. Essa técnica é especialmente útil quando a integral envolve uma composição de funções.
Ideia principal: Transformar a integral original em uma forma mais fácil de resolver, geralmente aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Vamos resolver a seguinte integral:
\[ \int (x^2 + 2x + 1)(x + 1)^{10} dx \]
Passo 1: Identificamos uma substituição conveniente. Vamos fazer:
\[ u = x + 1 \Rightarrow x = u - 1 \Rightarrow dx = du \]
Passo 2: Substituímos na integral:
\[ \int ((u - 1)^2 + 2(u - 1) + 1)u^{10} du \]
Simplificando:
\[ (u - 1)^2 + 2(u - 1) + 1 = u^2 - 2u + 1 + 2u - 2 + 1 = u^2 \]
Então a integral se torna:
\[ \int u^2 \cdot u^{10} du = \int u^{12} du = \frac{u^{13}}{13} + C \]
Passo 3: Voltando para a variável original:
\[ \frac{(x + 1)^{13}}{13} + C \]
Quando temos uma integral definida, podemos mudar os limites de integração juntamente com a variável, evitando a necessidade de retornar à variável original.
Exemplo: Calcular \( \int_1^2 (x - 1)^{10} dx \)
Fazendo \( u = x - 1 \), temos:
A integral se torna:
\[ \int_0^1 u^{10} du = \left[\frac{u^{11}}{11}\right]_0^1 = \frac{1}{11} \]
A mudança de variável também é útil para integrais envolvendo raízes quadradas e funções trigonométricas.
Exemplo: Resolver \( \int \sqrt{1 - x^2} dx \)
Fazemos a substituição trigonométrica:
\[ x = \sin u \Rightarrow dx = \cos u \, du \]
Então:
\[ \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 u} = \sqrt{\cos^2 u} = \cos u \]
A integral se torna:
\[ \int \cos u \cdot \cos u \, du = \int \cos^2 u \, du \]
Usando a identidade \( \cos^2 u = \frac{1 + \cos(2u)}{2} \):
\[ \int \frac{1 + \cos(2u)}{2} du = \frac{u}{2} + \frac{\sin(2u)}{4} + C \]
Retornando para \( x \), lembrando que \( u = \arcsin(x) \) e \( \sin(2u) = 2\sin u \cos u = 2x\sqrt{1-x^2} \):
\[ \frac{\arcsin(x)}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \]
Método para simplificar integrais através da substituição de variáveis. Útil para integrais complexas envolvendo composição de funções.
Identificação de substituição adequada, derivação da substituição, reescrita da integral, resolução e retorno à variável original.
Resolução de integrais polinomiais, racionais e com radicais através de substituições convenientes.
Transformação dos limites de integração quando trabalhando com integrais definidas, evitando conversão final.
Uso de identidades trigonométricas para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas.
Resposta correta: B) \( \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C \)
Solução:
Fazendo a substituição \( u = x^2 + 1 \), temos:
\( du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du \)
Substituindo na integral:
\( \int x(x^2 + 1)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^5 du \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12} + C \)
Retornando para a variável original:
\( = \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C \)
Resposta correta: A) \( \frac{1}{4} \)
Solução:
Fazendo a substituição \( u = \sin x \), temos:
\( du = \cos x dx \)
Quando \( x = 0 \), \( u = \sin(0) = 0 \)
Quando \( x = \frac{\pi}{2} \), \( u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)
A integral se transforma em:
\( \int_0^1 u^3 du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \)
Resposta correta: C) \( x = 3\sin\theta \)
Explicação:
Para integrais da forma \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \), a substituição apropriada é:
\( x = a\sin\theta \) onde \( a = 3 \) neste caso.
Com \( x = 3\sin\theta \), temos:
\( dx = 3\cos\theta d\theta \)
\( \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3|\cos\theta| = 3\cos\theta \)
(assumindo \( \cos\theta > 0 \) no intervalo apropriado)
Portanto, a integral se torna:
\( \int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C \)
Retornando para \( x \): \( \theta = \arcsin(\frac{x}{3}) \)
Resposta correta: A) \( \frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)
Solução Completa:
Fazendo a substituição \( x = \sin\theta \), temos:
\( dx = \cos\theta d\theta \)
\( \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta \)
A integral se torna:
\( \int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cdot \cos\theta d\theta = \int \sin^2\theta d\theta \)
Usando a identidade \( \sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2} \):
\( \int \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2}\int d\theta - \frac{1}{2}\int \cos(2\theta) d\theta \)
\( = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} + C \)
Como \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2x\sqrt{1-x^2} \):
\( = \frac{\theta}{2} - \frac{2x\sqrt{1-x^2}}{4} + C = \frac{\theta}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)
Retornando \( \theta = \arcsin(x) \):
\( = \frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)
Ainda é a gente.
Olá, pessoal.
Tudo bem? Estamos para mais uma aula para falar sobre técnicas de integração.
A gente vai falar sobre a técnica de mudança de variável.
Vamos lá? Então vamos para a mais uma aula de técnicas de integração.
Como eu já disse, nos alunos anteriores, são várias técnicas que a gente tem para integrar diversos tipos de funções.
Então, o mais importante é no calco de integral exercitar bastante, fazer bastante exercício.
Para a gente começar a entender, conhecer as funções, ver similaridades entre elas, e falar, eu acho que eu posso usar tal técnica, parece muito com aquela outra que eu resolvi.
Então é importante que a gente faça bastante exercício, porque precisamos conhecer bem a cara da função para saber qual técnica de integração está utilizando.
Essa técnica que a gente vai ver nessa aula, ela se chama mudança de variável.
Em alguns aspectos, ela é bem similar àquela primeira técnica, que a gente viu, mas a gente pode aplicar ela além daquelas síntulos mudanças que nós aviamos.
Então, se a gente tem uma função fdx, a gente quer calcular integral dessa função fdx, o que a gente vai fazer? Nós vamos reescrever x em função e outra função.
Então, x vai ser uma fide-u aqui no caso.
Daí, x vai ser aderivada dessa função.
E quando a gente for calcular integral, a gente reescreve ela dessa forma, que é a forma daquela função, que a gente viu aquela primeira técnica, lembrando uma composta, é produto com aderivada da função que está aplicada aqui na composta.
Vamos ver como isso funciona na prática.
Então, esse primeiro exemplo, ele é bem similar ao exemplo que nós já vimos lá naquela primeira técnica de integração.
O que nós vamos fazer aqui é chamar u de x-1, e isso, na verdade, é fazer x igual a u mais 1.
Então, está reescrevendo x em função de uma função de u.
E aí, dx vai ser igual a d₁.
Como que a gente vai reescrever aqui a nossa função? Nós podemos substituir tanto o x-1 que está aqui, quanto o x² pelo valor que está aqui.
Então, a gente reescreve o x² como sendo 1 mais 1 ao quadrado.
E o x-1, como sendo u, então, fica com 1 mais 1 ao quadrado, desesu a décima.
E daí, 1 mais 1 ao quadrado, é o ao quadrado mais 2, 1, mais 1, produto aqui com o elevado a 10.
Ferto? Fazendo aqui, antibutivo, nós temos o elevado a 12, mais 2 vezes u elevado a 11, mais u elevado a 10.
Então, esteja aqui uma soma de funções que a gente conhece a integral.
Então, a gente vai reescrever a integral do elevado a 12.
O elevado a 13 sobre 13, aqui seria u elevado a 12 sobre 12, mas a vezes 2.
Então, este tem esse 2 aqui, por isso que fica sobre 6.
E o elevado a 11 sobre 11 mais a constante.
E daí, a gente retorna, assim, como na primeira técnica que a gente viu, o e igual a x-1, então, x-1 elevado a 13 sobre 13, x-1 elevado a 12 sobre 6, mais x-1 elevado a 11 sobre 11, mais a constante.
A gente pode fazer a mesma coisa agora aplicando na raiz.
Então, vou chamar x-1 de u, e isso é a mesma coisa que fazer x igual a 1 mais 1.
Dex igual a 1.
Então, o x é 1 mais 1, e o x menos 1 é igual a 1.
Aqui, de novo, a gente vai fazer a distributiva.
A diferença em relação ao exemplo anterior é que era uma potência elevada a 10, que é uma potência elevada a 1, mas aí, a gente abre aqui o 1², e distribui o produto de 1⁰, então, 1⁰ mais 2³ mais 2³ mais 1⁰, que são funções as quais a gente sabe como calcular a integral.
Então, calculando a integral de cada 1 dos termos, a que seria 2,500, 1⁰ mais 1⁰, mas aí, tinha 1² multiplicado, então, por isso, ficou 4².
Então, integrar isso que a gente já sabe calcular, e aí, só se substituindo novamente, lugar do u, a gente volta para o x menos 1.
E aí, reescreve essa técnica.
E é uma coisa interessante para a gente fazer uma relação aqui, é como a gente calcula a integral quando este tem esse limite de integração.
O é-provesor é só pegar esse resultado aqui.
Veja, aqui está de 1⁰, e usar o que eu reema fundamental do calculo.
Exatamente, isso está super correto, mas a gente pode, durante a nossa mudança de variável, mudar também os limite de integração, outra intervalo de integração, e aí, a gente não precisa voltar para x, quando a gente tem uma integral desse tipo.
Então, tx menos 1 é igual a u.
Quando o meu x é 1, o meu 1 vai ser 0, que é que fica 1⁰.
Então, o meu limite aqui de integração vai ser 0.
Quando o meu x é 2, aqui, 2⁰, o u vai ser 1, então, de 0⁰.
Então, quando eu escrevo essa integral em x de 1⁰, é a mesma coisa que essa integral de 0⁰.
Vamos só tirar a prova.
Peguei aquele resultado em x e apliquei aqui de 1 a 2.
Então, apliquei no x², menos ele aplicado no 1 e obtive, como resultado, aqui, o 149 sobre 105.
Aí, fiz a mesma coisa com o resultado que a gente obtive antes de voltar para o x, mas agora, com os limites de 0⁰.
É bem.
Obitive 149 sobre 105.
Então, às vezes, para o palpa o trabalho, a gente voltar para x, para depois aplicar os limites de integração, a gente pode já fazer essa mudança em um mesmo.
E aí, tem um tipo, algumas mudanças de variável que a gente pode fazer, específicas para usar essa técnica de integração, que foge um pouquinho daquilo que a gente viu na primeira aula, que até agora estava bem parecido.
E aí, eu tenho aqui um exemplo, que é a raiz de 1⁰.
E olhar para ela, o que eu posso fazer? Ela não é um produto.
O que mudança de variável eu posso fazer nessa função de forma que eu consiga usar a técnica e resolver.
E aí, que entra algumas identidades trigonométricas.
Então, tem alguma identidade trigonométrica.
E eu estou aqui envolvendo ceno, ceno, secante, secante, tangente, tangente, tangente.
Existem outras, eu só estrei com essas três.
E aí, a gente tem aqui, note que temos 1⁰².
Vocês concordam comigo que se, aqui dentro, eu colocar uma função que seja um quadrado, resolve bastante a minha vida, porque eu posso eliminar o quadrado com a raiz, eu tiro da raiz, e aí fica bem mais cláutica o cláneo integral.
E aí, note que essa primeira expressão, ceno ao quadrado de x mais ceno ao quadrado de x igual 1, que pode ser reescritida dessa maneira, isolando o coceno.
Eu tenho alguma coisa bem parecida com aquilo, porque eu tenho 1 menos alguma coisa ao quadrado.
E esse 1 menos alguma coisa ao quadrado é exatamente uma função ao quadrado que talvez possa eliminar aqui da minha raiz, que eu estava buscando.
Então, a minha mudança de variável agora vai ser em relação ao ceno e coceno.
Então, eu vou chamar o meu x de seno de u e daí, deixe, vai ser coceno de u, deu? E a derivada é do ceno.
Aqui, o intervalo é de menos p sobre 2, a mais p sobre 2, porque? Para eu eliminar aqui a minha raiz com o quadrado, se eu garantir os lugares onde o coceno é positivo, eu não preciso tirar e colocar ele no modo.
Eu já consegui eliminar direto a função.
Não preciso reescrever como modo do coceno de u.
Eu posso eliminar aqui que você é direto o coceno de u.
Então, vamos garantir que ele vai estar positivo.
Então, intervalo aonde eu sei que o coceno é positivo.
Então, 1 menos x ao quadrado vai virar 1 menos seno ao quadrado de x, que é igual a coceno ao quadrado de x.
Então, aqui, eu reescrevi o coceno ao quadrado de x, na verdade, de u, muda de variável, vezes o coceno de u, deu, que é o meu dx.
Então, fazendo isso, já que estou garantindo um intervalo de o coceno é positivo, posso tirar da raiz.
E aí, eu fico com coceno de u, vezes coceno de u, que dá a coceno ao quadrado de u.
Isso a gente já viu que pode ser reescrito como meio, mais meio coceno de 2 u, deu, e aí, eu já consigo escrever a integral como sendo meio u, mais um quarto do ceno de 2 u, mais uma constante.
Mas aí, tem um detalhe, eu tenho que voltar para x agora.
E aí, como que eu faço, eu para reescrever toda essa função x? Primeira coisa que vou fazer, eu vou abrir esse ceno de 2 u, usando essa expressão que é seno de a mais b, seno de a, coceno de b, mais seno de b, coceno de a.
Então, eu tenho seno de u, mais u, aqui, que é 2 u.
Então, é 2 seno de u, coceno de u, seno de u, coceno de u, mais seno de u, coceno de u.
Então, eu posso reescrever.
Então, como é 2 vezes isso, eu posso dividir aqui por 2, e eu vou reescrever o ceno de 2 u, e eu vou reescrever o ceno de 2 u.
E daí, nós tem que, primeiro, x é igual a seno de u, então, eu já sei como reescrever o ceno de u como x.
Se x é igual a seno de u, então, u é o ar coceno de x, que é inversa do ceno, certo? Então, só estou aplicando aqui.
Então, x, eu já sei que é seno de u, e hoje eu sei que é ar coceno de x.
E coceno de u é 1 menos x quadrado, certo? Porque se o coceno ao quadrado era 1 menos x quadrado, coceno vai ser raiz de 1 menos x quadrado.
E aí, tudo que tem u, eu posso reescrever em função de x.
Então, eu fico com 1 meio ar coceno do x, mais 1 meio x raiz de 1 menos x quadrado, mais uma constante, certo? Esse foi um pouco mais trabalhosinho, né? Mas, nada do que a gente já não saiba, né? Matematicamente.
Nós não aplicamos nada além daqui o que a gente já conhece, na técnica que a gente acabou de conhecer.
Então, essa técnica de mudança de variável.
Então, só um detalhe que aqui como o meu u, ele estava no intervalo menos p sobre 2 p sobre 2, o meu x também vai estar limitado ao intervalo menos 1.
Então, a gente fez todo o esquema limitado ao intervalo.
Então, na aula de hoje, nós vimos mais uma técnica de integração que foi a mudança de variável.
Espero que tenha ajudado a entender um pouquinho mais sobre como a gente calcula a integral de diversas funções.
Bom, os estudos para vocês e nós vemos na próxima aula.
Até lá!