A integração por partes é uma técnica que permite integrar produtos de duas funções, quando a integral direta é difícil ou impossível. Ela se baseia na regra de derivação do produto: \[ \frac{d}{dx}\bigl(u(x)\,v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \] Integrando ambos os lados, obtém‑se a fórmula clássica: \[ \int u\,dv = uv-\int v\,du . \] Em palavras: integrar o produto de \(u\) e \(dv\) equivale a multiplicar \(u\) por \(v\) e subtrair a integral de \(v\) vezes a derivada de \(u\).
Escolhas: \(u=x\) (logo, \(du=dx\)) e \(dv=\cos x\,dx\) (então \(v=\sin x\)).
Aplicando a fórmula:
\[ \int x\cos x\,dx = x\sin x-\int \sin x\,dx = x\sin x+\cos x +C . \]Novamente, \(u=x\) (\(du=dx\)) e \(dv=e^{x}dx\) (\(v=e^{x}\)).
\[ \int x e^{x}\,dx = x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}+C . \]Escrevemos \(\ln x = \ln x\cdot 1\). Escolhemos \(u=\ln x\) (\(du=\frac{1}{x}dx\)) e \(dv=1\,dx\) (\(v=x\)).
\[ \int \ln x\,dx = x\ln x-\int x\frac{1}{x}\,dx = x\ln x-\int 1\,dx = x\ln x - x +C . \]Primeiro calculamos \(\int \ln x\,dx\) (resultado acima). Agora, tomamos \(u=x\) (\(du=dx\)) e \(dv=\ln x\,dx\) (\(v=x\ln x-x\)).
\[ \int x\ln x\,dx = x\bigl(x\ln x-x\bigr)-\int\bigl(x\ln x-x\bigr)dx . \] Rearranjando e isolando a integral desejada obtém‑se \[ \int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C . \]Primeira escolha: \(u=e^{x}\) (\(du=e^{x}dx\)), \(dv=\cos x\,dx\) (\(v=\sin x\)).
\[ I=\int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin x\,dx . \] Aplicamos a fórmula novamente à integral restante, escolhendo \(u=e^{x}\), \(dv=\sin x\,dx\) (\(v=-\cos x\)): \[ \int e^{x}\sin x\,dx = -e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos x\,dx = -e^{x}\cos x+I . \] Substituindo: \[ I = e^{x}\sin x- \bigl(-e^{x}\cos x+I\bigr) \;\Longrightarrow\; 2I = e^{x}(\sin x+\cos x) . \] Portanto, \[ \boxed{\,\displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x+\cos x\bigr)+C\,}. \]Usando o resultado acima:
\[ \int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos x\,dx =\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x+\cos x\bigr)\Big|_{0}^{\pi/2} =\frac{e^{\pi/2}}{2}(1+0)-\frac{1}{2}(0+1) =\frac{e^{\pi/2}-1}{2}. \]1 Integração por Partes – Conceito
A técnica transforma a integral de um produto \(u\,dv\) em \(uv-\int v\,du\).
1.1 Escolha de \(u\) e \(dv\)
‑ \(u\): simplifica ao derivar.
‑ \(dv\): fácil de integrar.
Regra prática LIATE.
1.2 Exemplo: \(\int x\cos x\,dx\)
\(u=x,\;dv=\cos xdx\) → \(v=\sin x\).
Resultado: \(x\sin x+\cos x+C\).
1.3 Exemplo: \(\int x e^{x}\,dx\)
\(u=x,\;dv=e^{x}dx\) → \(v=e^{x}\).
Resultado: \(x e^{x}-e^{x}+C\).
1.4 Exemplo: \(\int \ln x\,dx\)
Escreve‑se \(\ln x\cdot1\).
\(u=\ln x,\;dv=dx\) → \(v=x\).
Resultado: \(x\ln x-x+C\).
1.5 Exemplo: \(\int x\ln x\,dx\)
Usa‑se o resultado anterior para \(v\).
Isola‑se a integral e obtém‑se \(\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C\).
1.6 Exemplo: \(\int e^{x}\cos x\,dx\)
Primeira aplicação gera outra integral semelhante.
Segunda aplicação permite isolar \(I\).
Resultado: \(\frac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)+C\).
1.7 Integral definida do exemplo acima
Aplicando limites \(0\) a \(\pi/2\): \(\displaystyle\frac{e^{\pi/2}-1}{2}\).
1.8 Dicas rápidas
‑ Repetir a técnica até eliminar o termo polinômico.
‑ Quando a integral resultante for a mesma que a original, isolá‑la.
‑ Sempre verificar se a escolha de \(u\) simplifica a derivada.
Resposta correta: B) \(u=x,\; dv=e^{x}\,dx\)
Derivando \(u\) obtem‑se \(du=dx\) e integrando \(dv\) resulta \(v=e^{x}\). Substituindo na fórmula obtém‑se \(\int x e^{x}dx = x e^{x}-\int e^{x}dx\).
Resposta correta: B) Substituir \(\int e^{x}\sin x\,dx\) por \(-e^{x}\cos x+I\) após a segunda aplicação.
Depois da segunda aplicação obtém‑se \(\int e^{x}\sin x\,dx = -e^{x}\cos x + I\). Substituindo na expressão original de \(I\) elimina‑se a integral desconhecida, resultando em \(2I = e^{x}(\sin x+\cos x)\).
Resposta correta: A) \(\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}+C\)
Usando \(\int \ln x\,dx = x\ln x - x\) como \(v\) e \(u=x\), obtém‑se \(\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{4}\ln x - \frac{x^{2}}{4}+C\).
Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{e^{\pi/2}-1}{2}\)
Usando a antiderivada \(\frac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)\) e avaliando nos limites 0 e \(\pi/2\) obtém‑se \(\frac{e^{\pi/2}-1}{2}\).
Ainda é a última vez.
Olá, pessoal, tudo bem? Na aula de hoje, nós vamos estar continuidade ao estudo de técnicas de integração.
Hoje nós vamos ver o que a gente chama de integração por partes.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, nós vamos continuar com as técnicas de integração.
A técnica que a gente vai ver na aula de hoje, chama de integração por partes.
Essa técnica de integração, ela é feita para resolver integrais dessa forma.
Então, a gente tem um produto de uma função pela derivada de outra função.
Por que a gente escreve dessa forma? Porque a gente tem um produto de uma função f.
Tal que, nós vamos ter que calcular a derivada dela para aplicar na técnica.
E tem a derivada de uma g que tal que a gente vai ter que integrar para encontrar quem é essa g.
Então, a gente vai ter que integrar para integrar.
Então, uma coisa que a gente sempre tem que ter em mente, quando a gente for usar a integração por partes, uma função a gente vai ter que derivar, e outra a gente vai ter que integrar.
Então, aqui a gente vai ter que derivar, nós vamos chamar de u.
E a gente deriva encontra de u que a derivada dessa é e dessa função.
Aqui a gente vai ter que integrar, nós vamos chamar de dv, que vai ser o derivado da g.
E aí nós vamos ter que encontrar quem é v, que é a integral da derivada da g, que vai ser a própria g.
E daí, essa regrinho, ela pode ser escrita da seguinte maneira, é integral de u dv, é igual, o dv é essa mesma integral aqui.
Ela é dada por uv menos a integral de vdu.
Então, a gente sempre lembra da regrinha, uv menos integral de vdu.
Vamos ver como a gente aplica na prática.
Então, eu esteia aqui, x cos ndx.
Eu vou escolher x, como sendo a minha u, e aí, quando eu calcular a du, eu vou ter a própria dx, porque a derivada da x é 1.
E vou escolher o cos ndx para ser a minha dv, que é uma função que eu consigo encontrar também em integral.
Já sei como é que eu calculo integral dela.
Então, se u é igual a x, du é igual a dx, é que é derivado de x, é o próprio 1.
E aí, dv, eu vou chamar de cos ndx, a v vai ser a integral do cos n, que é o sen.
E aí, vou aplicar aqui na regrinha, uv menos integral de vdu.
Então, u vezes v, x sen dx, menos integral de v, que é o sen vezes du, que é dx.
Então, eu transformei aqui uma integral de um produto, e eu coloco uma integral do sen.
A coisa que a gente já conhece.
Então, x sen dx, só copia aqui.
E aí, integral do sen, menos cos, com menos daqui, mais cos x mais a constante.
Então, vamos para o próximo exemplo.
x exponencial de x, mais uma vez, eu vou chamar o x aqui, de u, daí dou igual a dx.
E 99% dos casos, quando tiver um produto que tenha x vezes uma função, a gente escolhe x como sendo u, 99% não é 100.
E aí, a nossa dv vai ser a exponencial para ver a própria exponencial, integral do exponencial ela mesma.
Vou de novo aplicar aqui na fórmula da integração por parte.
Então, u vezes v, eu tenho u vezes v, menos a integral de v, ter u, ter a exponencial de x vezes dx.
Então, eu fico com x, exponencial de x, menos a integral do exponencial, que é ela mesma, mais uma constante.
Certo? Vamos ver um próximo exemplo, então.
A integral do ln de x, a gente já viu que não tem, a gente sabe, a integral do 1 sobre x, que vai ser o ln do modo x, né? Mas a integral do ln de x, como que a gente pode calcular? E daí vocês podem pensar, mas professora não tem, o ln de x não está multiplicando nenhuma outra função.
Como que eu vou escolher uma u e uma dv? Ela está multiplicando assim, ln de x vezes 1.
Então, vou fazer baseado nisso.
A gente está querendo calcular integral do ln de x.
Então, não posso chamar, por exemplo, a minha ln de x é de dv, porque eu teria que calcular integral dela, mas é o que eu estou querendo buscar.
Então, com o meu sei aderivado, do ln, eu vou chamar ela de u e o 1 que eu vou chamar de dv.
Então, eu fico com ln de x, e ainda o 1, então, deu um sobre x.
E chamo de dv o 1, e a iv, igual a x, que é integral do 1.
Vamos aplicá-la na regrinha.
Eu fico com u vezes z, então, x ln de x, menos a integral de vdu, mas aqui é 1 sobre x.
Vsx, x dividido por x₁, então, fico com integral de 1.
Então, x ln de x, menos x, mais uma constante.
Certo? E aí, a gente conseguiu, então, calcular a integral do ln.
E agora, a gente pode parte para um exemplo, x ln de x.
Neste caso, eu já sei quem é a integral do lnx.
Então, agora, eu vou chamar o lnx de dv, e aí, u, eu posso chamar de x.
Então, eu chamei u de x, até u igual de x.
dv ln de x, de x, então, v é x lnx, menos x, que é o que interview no exemplo anterior.
E aí, vamos mais uma vez aplicar na nossa regrinha.
Então, eu tenho u vezes v, peguei o x aqui, e multipliquei aqui, então, fiquei com x² ln, menos x², menos x ln de x, menos x, de x, que é a integral da v, que eu vdeu, certo? Que é o que a gente tinha calculado.
Então, escrevendo a gente fica com x² lnx, menos x², e eu só separei.
Em x ln, de x, menos x.
Certo? Daí, não tem duas coisas.
Aqui, tranquilo, consigo calcular a integral do x, mas a integral do x lnx, que é essa integral aqui, é exatamente a integral que eu quero saber.
Então, como eu vou calcular ela usando ela, uma dificilidade ali? Não tem que, se eu colocar aqui, pegar o e somar a integral x lnx em ambos lados, eu fico com 2x lnx, porque eu sou meio esta, estava negativo, do lado de cá, para o lado de lá, aqui, eu fiquei com o zero, no lugar dela, desse lado, e aqui é integral, eu posso calcular como x² sobre 2.
Então, eu fico com 2, duas vezes integral de x lnx, igual a x² ln, menos x², e aqui, a integral do x.
Mas eu não quero saber que é essa pequinha, duas vezes integral.
Quero saber que é isso, a integral.
Eu vou pegar esse 2, que está multiplicando, vou passar ele dividindo aqui, e aí eu tenho quem é integral do x lnx dx.
Então, eu peguei esse 2, que estava multiplicando, passei ele para cá dividindo, fiz essa soma aqui, de termos com x², e obtive então x², 2 lnx, menos 1, sobre 4, mais uma constante.
Então, essa é uma outra jogada, uma outra manipulação que a gente pode fazer, não está fazendo nada de errado, está somando termos em ambos os lados da igualdade, e a gente consegue encontrar algumas integrais, certo? Pois é, em plu 5, o inicial de x costena de x dx.
Vou fazer a minha u, como sendo exponencial, e a dú vai ser ela mesma, um próprio exponencial.
Dv, o cosn, v, é o seno, porque é integral do cosn.
Vou aplicar, então, aqui na fórmula, u vezes v, menos a integral de vdu.
E daí o que aconteceu? Eu encontrei uma aproximação, mas aqui é uma próxima-sana, uma expressão, mas aqui eu tenho, de novo, uma integral de um produto.
Então, o que eu posso fazer? Eu vou aplicar até que, em que a gente integração por partes, mais uma vez, mas agora em cima dos exponencials de x é no dx.
Então, vou fazer só essa integral aqui, usando a integração por partes, depois ao volta, substituo essa expressão.
Então, mais uma vez, o egó exponencial, deu também, porque a derivada da exponencial é a mesma.
Dv, igual a seno, então, v vai ser menos cosn.
Então, eu aplico aqui.
Então, u, que é exponencial, vezes v, que é menos cosn, menos a integral de vdu, como tenho menos aqui, também, com mais exponencial de x, cosn de x dx.
Vou pegar isso daqui, e vou substituir lá na integral que a gente estava calculando.
Então, essa era a primeira expressão que a gente chegou, peguei e substituí aqui, exponencial, dessa forma.
E aí, mais uma vez, a gente tem uma coisa parecida com que foi feito no exemplo anterior.
Eu tenho aqui exponencial do cosn, até aqui exponencial do cosn.
E aí, eu posso tomar aqui, a exponencial, fico com duas vezes exponencial do cosn, então, duas vezes exponencial, integral, né, exponencial.
E o resto da expressão do lado k.
Eu não quero saber conta duas vezes integral, porque o aspecto ponto é a integral.
Então, vou pegar esse 2, que está multiplicando, vou passar ele aqui dividindo.
E aí, eu obteno o exponencial de x, teno de x mais cosn de x sobre 2, mais uma constante.
E aí, uma coisa só para você saber, a gente pode calcular a integral definida, pode colocar limites de integração, intervalos de integração, para calcular a integral nesse caso também.
Então, se a gente tem aqui, essa expressão, que foi que a gente obteve, exponencial de x, cosn de x, né, de x, o modo que eu aplico, os limites são os mesmos, a gente já viu no terema fundamental do cálculo, né.
Então, está de zero a p sobre 2, aplico no p sobre 2, menos aplicado no zero.
O seno de p sobre 2 vai ser 1, o cosn de p sobre 2 vai ser 0, 1 e 0.
E aí, fico com exponencial de p sobre 2.
Então, exponencial de p sobre 2, sobre vezes 1, é ele mesmo, de vez de 2 por 2, e aí, o zero vai dar 0.
Menos, ele aplicado no zero.
Quando eu aplico no zero, aí já muda.
Então, eu tenho o seno de 0 igual 0 e o cosn de 0 igual 1.
E exponencial elevado a 0 é 1, então, eu fico com 1 sobre 2.
E aí, só, reescrevendo, exponencial de p sobre 2, menos 1 sobre 2.
Então, a gente pode calcular também essas integrais, que a gente tem o terema de integração, é só chegar na integral, final e aplicar, da mesma forma que a gente aprendeu usando o terema fundamental do cálculo, certo? Então, na aula de, eu mais uma técnica de integração, né? Dessa vez, a integral por partes, então, lembre sempre de o V menos integral de V.
D.
U, é, você é bem útil, a gente usa bastante essa regrinha, essa técnica.
E na próxima aula, nós vamos ver mais uma técnica de integração.
Espero que vocês tenham gostado da aula, bons estudos, e nos vemos na próxima.
Até lá! Até lá!