A substituição (ou u‑substituição) é a técnica que nos permite transformar uma integral complicada em uma integral mais simples, reconhecendo‑a como a forma \(\displaystyle \int f(g(x))\,g'(x)\,dx\). Quando isso ocorre, fazemos:
Dica: sempre que houver um fator que seja a derivada de outra parte da integral, pense em usar a substituição.
Identificamos \(g(x)=x^{2}\) e \(g'(x)=2x\).
Definindo \(u = x^{2}\) ⇒ \(du = 2x\,dx\).
Então a integral torna‑se \(\displaystyle \int \cos(u)\,du = \sin(u)+C\).
Voltando a \(x\): \(\boxed{\sin(x^{2})+C}\).
Novamente \(u = x^{2}\) ⇒ \(du = 2x\,dx\) ⇒ \(x\,dx = \dfrac{1}{2}du\).
Integral: \(\displaystyle \int \sin(u)\,\frac{1}{2}du = -\frac{1}{2}\cos(u)+C\).
Resultado: \(\boxed{-\dfrac{1}{2}\cos(x^{2})+C}\).
Escolha \(u = 5x\) ⇒ \(du = 5\,dx\) ⇒ \(dx = \dfrac{1}{5}du\).
Integral: \(\displaystyle \int e^{u}\,\frac{1}{5}du = \frac{1}{5}e^{u}+C\).
Resultado: \(\boxed{\dfrac{1}{5}e^{5x}+C}\).
Defina \(u = 3x+5\) ⇒ \(du = 3\,dx\) ⇒ \(dx = \dfrac{1}{3}du\).
Integral: \(\displaystyle \int u^{4}\,\frac{1}{3}du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{5}}{5}+C = \frac{(3x+5)^{5}}{15}+C\).
Coloque \(u = 1+x^{3}\) ⇒ \(du = 3x^{2}dx\). Não temos \(x^{2}\) no numerador, mas podemos escrever \(x\,dx = \dfrac{1}{3}\,d\!\left(\frac{u-1}{x^{2}}\right)\) – método mais avançado. Uma forma mais simples: dividir e multiplicar por \(x^{2}\) para obter \(\displaystyle \int \frac{x^{2}}{x(1+x^{3})}\,dx\) e então usar \(u\). O resultado final é \(\displaystyle \frac{1}{3}\ln|1+x^{3}|+C\).
Escolha \(u = 2+x^{2}\) ⇒ \(du = 2x\,dx\) ⇒ \(x\,dx = \dfrac{1}{2}du\).
Integral: \(\displaystyle \int \sqrt{u}\,\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int u^{1/2}du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{1}{3}(2+x^{2})^{3/2}+C\).
1. Técnica da Substituição (U‑substituição)
Qual das alternativas abaixo representa corretamente a integral \(\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx\) após a substituição \(u=x^{2}\)?
Resposta correta: D) \(\displaystyle \int \cos(u)du = \sin(u)+C\)
Ao fazer \(u=x^{2}\) temos \(du=2x\,dx\). Substituindo, a integral torna‑se \(\int\cos(u)du\), cuja primitiva é \(\sin(u)+C\).
Calcule \(\displaystyle \int x\sqrt{2+x^{2}}dx\) usando a substituição adequada.
Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{1}{3}(2+x^{2})^{3/2}+C\)
Com \(u=2+x^{2}\) ⇒ \(du=2x\,dx\) ⇒ \(x\,dx=\frac12du\). A integral fica \(\frac12\int u^{1/2}du = \frac12\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac13(2+x^{2})^{3/2}+C\).
Qual é a primitiva correta de \(\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{3}}dx\) ?
Resposta correta: A) \(\displaystyle \frac{1}{3}\ln|1+x^{3}|+C\)
Tomando \(u=1+x^{3}\) ⇒ \(du=3x^{2}dx\). Reescrevendo \(x\,dx = \frac{1}{3}\frac{du}{x}\) e observando que \(\frac{x}{1+x^{3}}dx = \frac{1}{3}\frac{du}{u}\), obtém‑se \(\frac13\int\frac{du}{u}= \frac13\ln|u|+C\).
Considere a integral \(\displaystyle I=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}\,dx\). Qual das alternativas abaixo apresenta a primitiva correta?
Resposta correta: C) \(\displaystyle \frac{2}{3}(1+x^{3})^{3/2}+C\)
Defina \(u=1+x^{3}\) ⇒ \(du=3x^{2}dx\) ⇒ \(x^{2}dx=\frac{1}{3}du\). A integral torna‑se \(\displaystyle \int \frac{1}{3}\frac{du}{\sqrt{u}} = \frac13\int u^{-1/2}du = \frac13\cdot 2u^{1/2}+C = \frac{2}{3}\sqrt{u}+C\). Substituindo \(u\) volta‑se a \(\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{1+x^{3}}+C\).
Ainda é a última vez.
Olá, pessoal.
Tudo bem? Na aula de hoje nós vamos dar continuidade ao estudo de integrais.
E vamos ver a primeira parte de técnicas de integração.
Vamos lá? Então, na aula de hoje nós vamos ver a primeira parte de técnicas de integração.
Até então, as integrais que a gente tinha resolvido era só encontrar primitivas de funções elementares, que a gente já conhecia.
Na aula de hoje nós vamos ver algumas técnicas que vão resolver integrais de funções um pouquinho, mas bem elaborados.
Então vamos lá.
Nós vamos ver como estivamos resolver integrais da forma.
Integral de uma composta fgx produto com a derivada da gx dx.
Como que a gente resolve esse tipo de integral? A gente chama o, como sendo a nossa gx, e daí, dú, vai ser a gelinha de x dx, vai ser a derivada de g em relação a x.
E daí, quando a gente aplica aqui para transformar a nossa integral, então, f da gx vai se transformar na fdú, e o que era g linha de x dx vira nossa dú.
Então, a gente transforma uma integral dessa forma, de uma composta produto com uma função para uma integral dessa forma, integral de fdú.
Dessa maneira, a gente achando a primitiva da fdú.
Isso é uma duca constante, a gente tem a solução para esse tipo de integral.
E aí, depois, a gente retorna, já que a nossa gx tem a gente aplica a gx aqui na primitiva da função.
Vamos ver como que isso funciona na prática.
Então, aqui, o primeiro exemplo, integral de 2x cos x².
O que a gente tem aqui? Nós temos uma composta de forma que essa função que está fazendo produto com essa composta é exatamente a derivada do x².
Eu é a derivada da g.
Então, o que a gente vai fazer? Vamos chamar x² de u.
Daí, dú, vai ser 2x dx.
Então, nós vamos transformar aqui o x² em u e o dx com o 2x vai ser dú.
É importante que, quando a gente faça esse tipo de mudança de variável, desde essas mais simples até as mais elaboradas que a gente vai estar vendo, uma vez que a gente transforma a nossa integral em x para u, tudo que tem x, a gente tem que dar uma forma, e dar um jeito de reescrever em função de u.
Então, fazendo o igual a x², e dú igual a 2x dx, eu vou reescrever o cos x² como cos dú e o 2x dx como dú.
Daí, a gente transforma muito na integral do cos dú que a gente já conhece, que integral do cos.
Ela é seno, então seno de u, mais uma constante, e aí, como a gente vai retornar de novo a variável x, aonde tinha u, eu substituo por x², que foi a mudança que eu fiz aqui em cima.
Então, encontro a integral, como sendo seno x² mais constante.
Aqui, um exemplo 2, que é bem similar ao exemplo 1, só que tem uma diferença.
Note em que, quando a gente deriva essa função aqui, que está aplicada na composta, nós vamos ter de novo 2x.
E o que eu tenho aqui fora não é 1x, é só 1x.
Como que eu posso fazer nesse caso? Tem como aplicar, né? Essa mesma técnica tem, o que a gente faz? De novo, escrevemos o como sendo x², dú é igual a 2x dx, mas eu não estou interessado em encontrar quem é 2x dx.
Eu preciso só de alguém que rescreva o x dx.
Então, o que eu faço? Esse 2, que está aqui multiplicando, faço dividindo.
E aí, então, escrevo x dx, como sendo meio dú.
Não ve como que fica.
Então, fica.
O seno de x² fica sendo dú, e o x dx, meio dú.
O meio aqui é constante.
Eu posso colocar ele para fora da integral, meio dú.
Da integral do seno, a gente já conhece, que é menos cosseno.
E aí, eu carrego aqui esse meio que está multiplicando, então, é menos meio cosseno dú, mais uma constante.
E eu retorno de novo para variável x, faço substituindo u por x².
E aí, fica, então, com menos cosseno de x² sobre 2, mais c.
Exemplo 3.
Esse aqui, a gente já viu como que a gente calcula esse tipo de integral.
Mas eu vou mostrar para vocês por que aqueles resultados que a gente viu disponencial de nx, cosseno de nx, sendo de nx, são dados por aquele resultado, como que a gente pode chegar naquele resultado.
Então, se eu chamo aqui u dx 5x, dú é igual a 5 dx, certo? Mas se eu tenho aqui a substitu 5x por u, eu preciso só encontrar quem é dx, eu não preciso saber quem é 5 dx.
Então, faço 5 dividindo e acham aproximação para dx, como sendo 1,5 de dú.
Dá isso substituindo, então, nós ficamos com 1,5, exponencial de u.
A integral do exponencial é ela mesmo, então, exponencial de u sobre 5 mais uma constante.
E aí, aqui, eu só retorno, você substituiu u pelo 5x, que é a mudança que nós fizemos aqui, previamente, certo? Mais um exemplo.
Então, eu tenho 3x mais 5 ao cubo.
Fiquei o faço aqui.
A baterol a gente já pensava, tentar fazer a mudança aplicando no 3x mais 5.
Então, 3x mais 5, dú vai ser igual a 3 dx.
E daí, então, 1 terço de dú é igual a dx.
Então, eu tenho aqui como substituir esse x e esse x.
Lembrando, mudei uma vez para x, tem que mudar tudo que tem, que tem x para u, para variar o que eu estou mudando.
Então, como que a gente aplica? O 3x mais 5 vira u, então, eu vou dar um 1 terço de dú, 1 terço está aqui, o dú está aqui.
Daí, a integral de o alcubo, a gente sabe que é o a quarta sobre 4.
Multiplico aqui pelo 1 terço, que está para fora o dê integral, fica com 1 quarto sobre 12 mais uma constante.
Agora, só substituir u por 3x mais 5, só fazer o retorno voltar em x.
Então, eu fico com 3x mais 5, a quarta sobre 12 mais uma constante.
Próximo exemplo, x² 1 mais x ao cubo.
Não tem que se eu escrever essa parte aqui como u, quando eu derim o x ao cubo, eu vou ter alguma coisa ao quadrado que vai me ajudar a ilininar, a transformar esse x² também em função de u.
Então, vamos fazer desse jeito.
U é igual a 1 mais x ao cubo.
Quando eu derivo, então, dú, 3x² dx.
Aqui essa expressão, eu vou reescrever em função de u e preciso encontrar quem é x² dx.
Então, faço igual nos 200 anteriores, o 3 passa dividindo, então, fico com 1 terço de dú, vai ser igual a x² dx.
Então, vamos aplicar.
O x² dx, tá aqui é 1 terço de dú, então, 1 terço que tá aqui fora, porque é uma constante de dú.
E o 1 mais x ao cubo é o próprio u, então, fico com 1 sobre u, certo? Aqui, eu tenho 1 terço, então, do ln do módulo, de u, certo? Porque a integral, a gente também é integral de 1 sobre u, ln do módulo de u.
Então, só voltando subituindo agora, u, eu fico com ln do módulo de 1x ao cubo sobre 3 mais uma constante, tá? Um exemplo agora, envolvendo raízes, continua sendo potência.
Então, eu tenho a integral de x, raiz quadrada de 2 mais x² dx.
Vou escrever o 2 mais x² como sendo u.
Daí, dú, vai ser 2x dx.
Como eu tenho só o x aqui, x dx, eu posso passar o 2 dividindo e fico meio dú igual a x dx.
Então, vamos aplicar na nossa integral.
Então, o 2 mais x² aqui vira u, então, fico 1 raiz de u.
E o x dx igual a meio dú.
Então, meio está aqui, dú.
Raiz de u é u elevado a meio, certo? Quando eu faço a integral, é u elevado a meio mais 1 sobre meio mais 1.
Então, é u elevado a 3 meio sobre 3 meio.
Isso nos dá 2x3 de u elevado a 3 meio.
Multiplicando aqui pelo meio que já estava ali fora da integral.
E aí, então, a gente obtém u elevado a 3 meio, aqui, o 2 dividido por 2 é igual a 1, e isso dividido por 3.
Subestituindo de volta, então, vou transformar de novo o meu u em função de x, u vai ser 2x³, 2x²³ na raiz sobre 3 mais a constante.
Então, só lembrando, quando eu tenho u elevado a 3 meio, o 3 vai junto com u, então está aqui dentro, e o 2 aqui fora.
E como a raiz quadrada, não precisa esportar o 2 da raiz quadrado.
Aqui, um outro exemplo, é bem similar ao anterior, mas note em que, quando eu derivar 2x², isso vai dar 2x, que não chega nem perto do x³.
Mas, a professora, então, eu faço o seguinte, vamos colocar o x³, e aí fica 3x², mas aí não resolve o meu problema, porque está dentro de uma raiz aqui.
Eu tenho 2x².
Então, vamos ver como podemos fazer uma manipulação de poder reescrever essa integral, de uma maneira que ela continua a mesma uma discreta de outra maneira, que, de depreir, a gente usar a nossa técnica de integração.
Então, vou chamar o 2x², d₁, 2x dx, e daí eu tenho, então, x dx ½ d₁, e aqui, se u é igual a 2 mais x², x², eu posso escrever como u menos 2.
E que isso vai me ajudar? Vai ajudar que x³, eu posso escrever como x² vezes x.
E aí, só tenho x² vezes x dx.
O x dx está aqui.
O x² está aqui.
E a parte da raiz a gente já viu.
Então, só que eu estava separando, reescrevendo o x³, como x² vezes x, eu já consigo aplicar minha técnica.
Então, vamos lá.
Reescrevim, então, x², x dx, e a raiz.
Então, eu fico no x dx.
É ½ d₁, ½ está aqui, ½ d₁ está aqui.
x², a gente viu que ele pode ser escrito como u menos 2.
Então, o x² é o próprio, então, ½ d₁.
Como é que eu saio disso agora? Multiplicando a raiz aqui, distribuindo, porque ½ d₁, mais uma vez, ele vai dar ½.
Então, seu faço, ½ d₁, vezes u, é ½ vezes u, ½ mais 1, é ½ 3 menos.
E aqui eu multipliqui, então, ½ d₁, que é a própria raiz.
Aí, eu posso calcular e integrar o agora.
Então, aqui eu fico com ½ d₁, a 5 meios sobre 5 meios.
Então, fico com 2, 500 de ½ d₁, mas como eu tinha ½ d₁, multipliqui, fiquei com 10.
E aqui, eu ficaria com menos 2, o elevado a 3 meios sobre 3 meios.
Então, isso daria 2 terços de ½ d₁, 2 vezes 2, que está aqui, ficou 4, e 3 vezes 2, vocês.
É aqui, a gente pode dividir por 2, e dar um quinto, aqui, o divido por 2, e dar 2 terços.
E aí, só retornando de novo.
Então, o meu ½ é 2 mais x², então, 2 mais x², elevado a 5, 2 mais x², elevado a alcubo, mais a constante.
Então, a gente já viu uma classe relativamente grande, que dá para a gente resolver usando essa técnica de integração, só que ela não basta.
Então, nós vamos aprender algumas outras técnicas nas próximas aulas, e talvez esse seja o maior desafio da integral, porque na derivada, nós tínhamos as regrinhas prontas para cada casa.
Ela é composta, ela é produto, ela é um consciente, aqui na integral não.
Nós temos que perceber a função para depois decidir, então, qual técnica a gente vai usar para resolver.
Espero que vocês tenham gostado da aula, nos vemos na próxima, até lá, e bom准 estúbio.