Estabelece a conexão entre a operação de derivar e a de integrar. Se \(F\) é uma primitiva de \(f\) em \([a,b]\), então \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).
Para \(f\) contínua em \([a,b]\) e \(F\) tal que \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\in[a,b]\), tem‑se \(\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)\).
Permite calcular áreas, volumes e outras grandezas físicas sem recorrer a limites de somas de Riemann; basta encontrar uma antiderivada.
Regras básicas: potência, exponencial, logarítmica, trigonométrica e combinações lineares.
\(\displaystyle\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\) (para \(n\neq -1\)). Ex.: \(\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}+C\).
\(\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C\); \(\displaystyle\int x^{-n}\,dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C\) (para \(n\neq 1\)).
\(\displaystyle\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C\); \(\displaystyle\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C\).
\(\displaystyle\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax)+C\); \(\displaystyle\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax)+C\).
Passos: (1) encontrar \(F\) tal que \(F'=f\); (2) avaliar \(F(b)\) e \(F(a)\); (3) subtrair.
\(\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\,dx = 2x\big|_{-1}^{2}=2(2)-2(-1)=6.\)
\(\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\big|_{0}^{2}= \frac{8}{3}.\)
\(\displaystyle\int_{1}^{2} (x^{3}+2x+1)\,dx = \Big(\frac{x^{4}}{4}+x^{2}+x\Big)_{1}^{2}= \frac{31}{4}.\)
\(\displaystyle\int_{1}^{2}\Big(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}\Big)dx = \big[\ln x -\frac{1}{x}\big]_{1}^{2}= \ln 2 +1.\)
\(\displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x)\big|_{0}^{\pi/4}= \frac{1}{2}.\)
Estudo de técnicas de integração (substituição, partes, frações parciais) para funções que não possuem antiderivada elementar.
Resposta correta: C) 6
Usando o TFC: \(\int_{-1}^{2}2dx = 2x\big|_{-1}^{2}=2(2)-2(-1)=6\).
Resposta correta: B) \(\dfrac{1}{2}\)
Antiderivada: \(\displaystyle\int\cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x)\). Avaliando: \(\frac{1}{2}\sin(\pi/2)-\frac{1}{2}\sin(0)=\frac{1}{2}\).
Resposta correta: D) \(\dfrac{31}{4}\)
Antiderivada: \(\displaystyle F(x)=\frac{x^{4}}{4}+x^{2}+x\). Avaliando: \(F(2)-F(1)=\big(\frac{16}{4}+4+2\big)-\big(\frac{1}{4}+1+1\big)=10-\frac{9}{4}= \frac{31}{4}\).
Resposta correta: A) \(\displaystyle\frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}\)
O somatório é a soma de Riemann de \(\sqrt{1+x^{2}}\) em \([0,1]\). \(\displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1+x^{2}}dx = \frac{1}{2}\Big[x\sqrt{1+x^{2}}+\sinh^{-1}x\Big]_{0}^{1}= \frac{\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})}{2}\).
Ainda é a última vez.
Ainda é a última vez.
Ainda é a última vez.
Ainda é a última vez.
Ainda é a última vez.
Ainda é a última vez.
Olá pessoal, tudo bem? Nós vamos dar continuidade a nossa estúdula de integrais.
Hoje nós vamos ver sobre o torema fundamental do cálculo.
Vamos lá? Então hoje nós vamos falar do torema fundamental do cálculo.
Então, o que será que ele tem de tão especial? Porque isso é chamado de torema fundamental.
Então, o que diz o torema fundamental do cálculo? Ele vai nos ajudar a calcular as integrais para cálculo diária de uma região.
Lembra que na nossa primeira aula de integral? O que nós fizemos? Nós calculamos lá a integral de x².
Me estava definida no intervalo AB, que era de 0.
1.
Há uma passada a gente já viu como calcular integrais de algumas funções.
Mas a gente não sabe como a gente calcula essa integral não intervalo definida no intervalo AB.
E aí a gente vai ver como que faz isso com o torema fundamental do cálculo.
Então, o CF foi integrável em AB.
E a nossa é a fona que for uma primitiva da F, nesse mesmo intervalo.
Então, a integral da F de A até B é a primitiva aplicada no ponto B.
Menos a primitiva aplicada no ponto A.
Tá, mas o que isso tem tão especial? Vamos supor que a gente queira calcular a dessa região.
E aí é uma integral, exatamente a integral da F de x, de x, de AB.
E aí, note-me que a gente calcular essa expressão, essa integral, que vai ser a nossa área.
A gente só precisa saber da primitiva aplicada no ponto A e no ponto B.
A gente tem uma função continua, integralvel aqui nesse intervalo AB.
Foco importa para a gente saber a cara do que está acontecendo aqui.
Basta que a gente aplique a primitiva nas extremidades do intervalo AB.
E a gente parece que carrega o comportamento dessa função.
E a gente já tem a solução, já tem o valor da área nesse intervalo todo.
Então, ele é fundamental por isso.
Basta que a gente aplique nesse intervalo AB e a gente consegue saber sobre tudo que está acontecendo aqui no meio.
Vamos ver como isso funciona na prática, como a gente faz esse cálculo na prática.
Então, por exemplo, eu vou calcular aqui a integral de menos 1 a 2 da função 2 dx.
Então lembra que a integral da função 2 é 2x.
E aí nós vamos aplicar nos pontos 2 e menos 1.
Então, eu teremos também que ela do cálculo fala que a função é a primitiva aplicada no 2 menos a primitiva aplicada no menos 1.
Mas a pessoa vai querer aquela constante que a gente tinha aqui.
Quando a gente faz esse cálculo de integral definida, a constante ela vai sumir.
Quando a gente faz o cálculo, automaticamente a gente elimina esse constante.
Então, quando a gente tem o intervalo aqui de integração, a gente não carrega mais a constante.
E aí, o que nós temos? Então, a primitiva de 2, que é 2x, aplicada no 2.
Então, 2 vezes 2 menos ela aplicada no 1, no menos 1, desculpa.
E dá menos 2.
Aí eu fico com 4 menos menos 2.
Vai dar 4 mais 2, que é 6.
Então, essa é integral do menos 1 até 2 dx.
Ah, um exemplo agora integral de 0 a 2 na função x quadrado.
A gente já viu também que a primitiva da x quadrada é x³ sobre 3.
E aí, eu vou aplicar no 2 menos aplicado no 0.
Então, eu fico com 2³ sobre 3 menos 0³ sobre 3.
E aí, me dá 8 terços menos 0, que é o próprio 8 terços.
Mais um exemplo.
Então, tem a integral de 1 a 2 de x³ mais 2x mais 1.
Então, a gente sabe, a integral do x³, a x³ sobre 4.
Tudo x é x² e do 1 é o próprio x.
Porque o 2x seria 2x² sobre 2.
E aí dá o próprio x².
E do 1 é 1x².
Então, eu aplico no 0.
2, então fico com 2³ sobre 4 mais 2² mais 2.
Menos aplicado no 0.
1.
Então, eu fico 1³ sobre 4 mais 1² mais 1.
Então, daqui eu tenho essa expressão, me dá 10, né? 2³ sobre 4 mais 4 mais 2.
E aqui, eu fico com 1³ mais 2.
E dá 9³.
Então, 10 menos 9³.
Se eu fizer aqui o MMC, eu fico com 40 menos 9³ sobre 4.
Então, o principal é encontrarmos a primitiva.
Porque depois que a gente encontra a primitiva, só aplicar nos pontos.
Sempre no de cima menos ou de baixo, no maior, nossa intervalo sempre B menos aplicado no A.
Então, o outro exemplo, a gente já viu na aula passada como a gente calcula a integral de 1 sobre x³.
E a x³ é a x³, né? Que a gente soma mais 1 e dá menos 2 sobre menos 2.
Então, é integral do x³ a menos 3, né? Que fica x³ a menos 3 mais 1 dividido por menos 3 mais 1.
E é a mesma coisa que menos 1 sobre 2x².
Eu aplico no 3.
Então, 3 vezes 3 aqui 9 vezes 2x² 8 menos 1 sobre 18.
Menos aplicado no 1, que dá menos meio.
Fazendo aqui o MMC, eu tenho menos 1.
Aqui eu tenho 18 dividido por 2.
E dá 9.
Então, menos 1 mais 9.
E aí eu vou ter 8 sobre 18.
Teu simplificar por 2.
Eu fico com 4 nonos.
Mais 1, expressão, agora, é uma integral de 1 a 2, de 1 sobre x mais 1 sobre x².
Então, 1 sobre x, a gente já sabe que é ln de x.
Por que eu não coloquei o módulo aqui? Porque a gente já está integrando de 1 a 2.
Então, vai ser aplicado em valores positivos.
Menos x² a menos 1, né? Porque a integral do x² a menos 2 vai ser x² a menos 2 mais 1 sobre menos 2 mais 1.
Então, vai dar x a menos 1 dividido por menos 1.
Então, menos x a menos 1.
Que é a mesma coisa que o sobre x, né? Então, se eu aplicar no 2, eu vou ter ln de 2 menos 1, né? É que é 1 sobre x.
Menos aplicado no 1, que é ln de 1 menos 1.
O ln de 1 é 0.
Então, eu fico com ln de 2 menos 1, mais 1, porque eu tenho menos com menos e dá mais.
Então, menos 1, e mais 1 dá 1.
Então, ln de 2 mais 1.
Próximo exemplo, cos 2x de 0 a p sobre 4.
A gente também viu na aula passada como a gente faz para calcular a integral, né? Contrar a primitiva de cos n de lx.
Então, nós temos 1,5 sen de 2x.
E vamos aplicar no p sobre 4 menos aplicado no 0.
Então, eu fico com 1,5 sen de p sobre 2, né? Porque é 2 p sobre 4 menos 1,5 sen de 0.
Sen de 0 é 0.
Sen de p sobre 2 é 1.
Então, 1 menos 0.
1 vezes 1,5 menos 0, o próprio meio.
Mais 1 é mais 1 integral de função trigolométrica.
Então, a gente tem a integral de 0 a p sobre 3 de 3 mais sen 3x.
Então, eu tenho 3 a integral 3x.
Sen de 3x, seguindo a mesma regrinha, né? 2.
000 p.
000.
Minas 1 terço cos 3x.
E aí, nós vamos aplicar no intervalo de 0 a p sobre 3.
Então, eu fico em p sobre 3 menos aplicado no 0.
Então, aplico no p sobre 3 aqui, fico com o próprio p.
E, menos 1 terço cos n de p.
Porque eu tenho 3 e sobre 3.
Enquanto é 3x.
E aplico no 0.
Então, fica 0 menos 1 terço cos n de 0.
O cos n de p é menos 1.
O cos n de 0 é 1.
E aí, a gente fica, então, com p.
Aqui, menos 1 vezes, menos 1 terço, dá 1 terço.
Aqui, 1 vezes menos 1 terço, menos 1 terço.
Mas tem o outro menos daqui, então fica mais 1 terço.
Então, 1 terço, mais 1 terço, 2 terços.
Então, eu fico com p mais 2 terços.
Um exemplo agora é uma vez exponencial.
Esse exemplo é um distributo bem na aula passada.
Quando a gente tem exponencial de nx.
Parece 1 sobre n exponencial de nx.
Aqui, o nosso n é menos 1.
Como se eu te faz, é menos 1 vezes x.
Então, a integral é menos elevada menos x.
Porque a expressão seria 1 por menos 1, que é menos 1.
Vou aplicar no 1 menos aplicado no 0.
Então, aplico no 1, fico com menos exponencial de que menos 1.
Menos exponencial aplicado no 0.
Exponencial de 0 é 1.
Então, eu fico com menos e elevada menos 1.
Menos com menos mais 1.
Mais o menos elevado menos 1, eu posso escrever como menos 1 sobre e, porque 1 está negativo como se eu tivesse ele positivo.
Então, a minha solução é 1 menos 1 sobre e.
O outro exemplo, agora, integral de 1 a 4, do consciente 1x raiz de x.
E que a gente pode fazer para resolver essa integral? Devemos dividir aqui em 1 sobre raiz de x mais x sobre raiz de x.
Então, é o que a gente vai fazer.
1 sobre raiz de x é a mesma coisa que x elevado a menos meio.
Essa raiz de x é x elevado a meio.
Eu posso preventar, esse daqui como x elevado a menos meio.
E aqui eu tenho, nesse caso, x elevado a 1 dividido por x elevado a meio.
Quando eu tenho um consciente de base de potências com base igual eu conserva base, e subtraio os exponentes.
Então, menos meio, isso é o equivalente a x elevado a meio.
Então, daí eu vou aplicar a regrinha, menos meio mais 1, que dá meio.
Então, x elevado a meio sobre meio.
Aqui, meio mais 1, que dá 3 meios.
Então, x elevado a 3 meios sobre 3 meios.
Em ambos os casos, lembra-me de ter esse consciente, a gente inverte o numerador com o denominador.
Então, aqui ficaria 2 sobre 1, que é o próprio 2.
E aqui raiz de x.
Neste caso, 2 tessos.
E aqui é o equivalente a raiz de x à 1.
Dê isso a gente aplicar agora nos intervalos.
Então, no 4, menos aplicado no 1.
Então, aplicando 4, eu fico com 2 vezes raiz de 4.
raiz 4 é 2, 2 vezes 2, 4.
Aqui, eu fico com 2 vezes 4 ao cubo, então, da 64.
raiz de 64 é 8.
8 vezes 2, 16.
E aqui, o 3.
Menos aplicado no 1.
Então, eu vou aplicar no 1.
Eu fico com 2 raiz de 1, que é o próprio 2.
E aqui, eu fico com 2 tessos raiz de 1, que é o próprio 2 tessos.
E aí, resolvendo aqui, eu obtei 20 tessos.
Tete, então, bem simples.
Como eu disse, a gente precisa focar em calcular a primitiva.
Depois que a gente tem a primitiva, é só aplicar os pontos na função, na primitiva da função.
Então, o que a gente viu na aula de hoje? É um teoreo extremamente fundamental, de fato, porque ele nos ajuda a calcular a área de uma região.
E, como eu disse, o que tem mais de especial, né, é que, para a gente calcular a área dessa região toda, basta que a gente saiba a calcular a primitiva nas extremidades do intervalo.
Então, é como se essas extremidades carregar assim toda a informação da função ao longo desse intervalo.
É a aula que vem, nós vamos ver um pouquinho sobre técnicas de integração, para funções que são diferentes dessas elementares, funções um pouquinho mais elaboradas, é bons estudos e até lá.