Uma função \(F\) é primitiva de \(f\) em um intervalo \(I\) quando \(F'(x)=f(x)\) para todo \(x\in I\). A primitiva representa a antiderivada de \(f\).
Se \(F\) é primitiva de \(f\), então \(F+C\) (com \(C\in\mathbb{R}\)) também o é, pois a derivada de uma constante é zero. Essa indeterminação gera a “constante de integração”.
Para \(n\neq-1\):\(\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\).
Ex.: \(\int x^{3}dx=\frac{x^{4}}{4}+C\); \(\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2x^{2}}+C\).
\(\displaystyle\int k\,dx=kx+C\). Ex.: \(\int 10\,dx=10x+C\).
\(\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C\). O valor absoluto garante validade para \(x<0\).
\(\displaystyle\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\). Ex.: \(\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C\).
Derivada de \(\ln|x|\) é \(\frac{1}{x}\); portanto, a antiderivada de \(\frac{1}{x}\) é \(\ln|x|+C\).
Ex.: \(x^{\frac12}\cdot x^{\frac34}=x^{\frac54}\); \(\frac{1}{x^{3}}=x^{-3}\).
Ex.: \(\frac{1}{x^{3}}=-\frac{1}{2}x^{-2}+C\); \(\frac{1}{1+x^{2}} \rightarrow \arctan x\).
Antes de aplicar uma regra, reescreva a função na forma mais simples (potências, frações, identidades trigonométricas). Quando a integral não se encaixa diretamente, use substituição ou identidades para transformá‑la.
Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{x^{4}}{4}+C\)
Aplicando a regra da potência: \(\int x^{3}dx = \frac{x^{3+1}}{3+1}+C = \frac{x^{4}}{4}+C\).
Resposta correta: A) \(-\dfrac{1}{2x^{2}}+C\)
Reescrevendo \(\frac{1}{x^{3}}=x^{-3}\) e usando a regra da potência: \(\int x^{-3}dx = \frac{x^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{2x^{2}}+C\).
Resposta correta: B) \(\dfrac{1}{3}e^{3x}+C\)
Usando \(\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C\) com \(a=3\).
Resposta correta: A) \(\ln|\ln x|+C\)
Substitua \(u=\ln x\) → \(du=\frac{1}{x}dx\). A integral torna‑se \(\int \frac{1}{u}du = \ln|u|+C = \ln|\ln x|+C\).
Olá, pessoal, tudo bem? Na aula de hoje, nós vamos usar a quantidade ou a estudos de integrar de uma função e vamos ver como calcular a integral de algumas funções elementares.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, nós vamos ver como que a gente calcula a integral de algumas funções elementares.
Na aula passada, na introdução, às estudos integrais, a gente calculou a integral daquela região, que era limitada pela função x², no intervalo de 0.
1.
Só que a gente fez esse cálculo utilizando o limite.
Hoje, nós vamos ver algumas regrinhas que vamos permitir calcular integrais de funções sem usar o limite.
Vamos lá, então.
Primeiro, a gente vai ver a definição de uma primitiva de uma função.
Então, se nós temos uma função definida no intervalo i, uma primitiva dessa função, nesse mesmo intervalo, vai ser uma função f, de forma que, quando eu deriva essa função, ela me retorna a nossa finha.
Então, vocês vão ver que, o que a gente está buscando? É uma função que, quando eu derivo, eu encontro essa f.
Muitas vezes, vocês vão ver nos livros idáticos, ou materiais de internet, o nome antiderivada, dado para a primitiva de uma função.
Justamente por isso, porque é inversa da integral.
Quando eu pego uma função, derivo e, depois, integral, eu obtei de novo essa função.
Então, por exemplo, se eu tenho a função fx igual a x.
Se eu quero encontrar a primitiva dessa função, eu estou procurando por uma função que, quando eu derivo, me retorna exatamente fx igual a x.
Então, eu vou pegar a função x² sobre 2.
Quando eu deriva essa função, o 2 aqui cai, eu fico com 2x sobre 2, 2 dividido por 2x1, e retorna x.
Então, eu posso dizer que x² sobre 2 é uma primitiva da minha f, da minha função.
Aqui não tem que.
Se eu pegar essa função x² sobre 2 mais 10, quando eu deriva essa função, eu também vou obter x.
Isso porque a derivada de 10 é zero.
A mesma coisa com x² sobre 2 menos 1, porque quando eu derivo menos 1, eu também tenho zero.
Então, também, obtém x.
Então, eu posso obter uma família de primitivas que vão ser da forma x² sobre 2 mais uma constante.
Então, quando eu te for calcular a integral, a primitiva de uma função, a gente sempre soma ali uma constante, porque a gente obtei uma família de soluções.
Isso porque se a gente tem duas funções fg contínuas, que a derivada delas é igual, então, elas se diferem uma da outra por essa constante c.
Então, isso vem já de um resultado de um coroilário.
Então, vamos partir para outro exemplo.
Eu tenho uma função x³.
É certo? E aí, se eu pegar x² sobre 4 como uma primitiva dessa função, eu obter de fato aqui o x³.
É, estou aqui, um cú.
Então, eu posso dizer que x² sobre 4 é uma primitiva da função x³.
Correto? E aí, eu posso escrever essa primitiva já como uma notação de integral.
Então, dizer que x³ sobre 4 é primitiva de x³, é a mesma coisa que dizer que a integral de x³ dx é igual a x³ sobre 4 mais aquela constante.
Então, essa é a relação quando a gente fala da definição de primitiva com o integral.
Então, quando está procurando, buscando uma primitiva, a gente está na verdade calculando a integral da função.
E aí, a gente tem uma regrinha para calcular a integral dessa função da cara fx²x³ n, que é uma função polinomial.
Não sei se vocês notaram, mas quando nós timos fx²x, nós encontramos como primitiva x² sobre 2.
Quando f foi igual a x³, nós encontramos x³ sobre 4.
Quer dizer que quando a gente calcula a integral dessa função do tipo x³ n, vai ser sempre x³ n mais 1 sobre n mais 1.
Então, quando era x³, 3 mais 1 é 4, então fiquei com x³ sobre 4.
O x³, que é x³, soma com 1, fica com x² sobre 2.
Então, de regrinha geral, a integral de fx³, vai ser x³ n mais 1 sobre n mais 1 mais 1 mais uma constante.
Então, vamos ver mais alguns exemplos.
Primeiro, tenho aqui 1 sobre x³.
Então, a gente já viu que a gente pode reescrever 1 sobre x³ como x³ é · 3.
E daí, a gente tem uma função desse tipo.
Há uma coisa que eu esqueci de comentar, é que aqui ao x tem que ser diferente de · 1.
Depois, a gente vai ver como que calcula quando x³ n³.
Mas a gente tem uma função desse tipo, x³ n.
Então, qualquer integral do x³ à · 3 dx.
Eu somo 1, então fica x³ à · 3, mais 1, que dá a · 2.
Sobre · 3, menos 1, menos 2, mais a constante.
E aí, eu posso reescrever, já que aqui, a minha potência negativa, eu posso reescrever a positiva aqui embaixo e o sinal de menos, já vei aqui para fora.
Então, a gente fica com 1 sobre menos 1 sobre 2x² mais uma constante.
Certo? Então, essa é integral de 1 sobre x³.
Tenho aqui integral da · x.
Mais uma vez, a gente já viu também que a · x pode ser escrito da forma x³ n, onde n é que vale ½.
E aí, como que a gente faz o cálculo? Toma · 1, ½, ½, mais 1, dividido por ½, mais 1.
½ mais 1, 3 e ½.
Então, eu fico com x³, dividido por 3³.
E aí, x³ é a mesma coisa que · x² de x³.
E aqui, o 3³ multiplica do ½.
Esistremos, né? A gente tem aqui a · x³ sobre 3, sobre 2.
Eu faço 2 vezes x³ na raiz e vezes 3, que é 3.
Cá mais prática, sempre que a gente tem uma fração aqui embaixo, a gente pode jogá-la para cima e trocar denominador e numerador.
E se eu tenho uma primitiva, que era calcular integral de uma função constante.
Se eu tenho o integral de · x, a resposta vai ser · x³ mais uma constante.
Então, por exemplo, se eu tenho integral da função 10, vai ser · x³ mais uma constante.
Da função, menos 2, menos 2x mais uma constante.
Porque, quando eu derivo o · x, eu obtei o próprio · 10, que é o que eu quero.
Quando eu derivo o · 2x, eu obtei o · 2, que é o que eu quero.
Por isso, que é integral, mais uma vez, pode ser chamado de anti-derivada.
Entanto, encontrá-se a função primitiva, que é uma função anti-derivada.
E aqui tem mais algumas regrinhas.
Então, essa primeira a gente já viu, esse daqui é o caso, então, quando o · n, nesse caso, aqui é · 1, que é integral de x³ menos 1.
Lembre que é derivada na função lnx³ sobre x.
Então, se a gente faz o caminho oposto, a integral do · x vai voltar não ln, só que, aqui com um acréscimo do módulo da reggx, por definição de logaritmo, que tem um valor positivo.
Então, integral de · x³ é ele do módulo de x³ mais uma constante.
A integral da exponencial é ela mesma.
De novo, porque essa derivada é ela mesma, a função que eu quero, quando eu derivo, dá ela ela.
Então, a exponencial de falo que é sempre mais fácil, derivada integral de exponencial de x³.
E, aqui, quando eu tenho uma exponencial, com a maior teséreo de frente de 1, a elevada x vai ser a elevada x, ln dA, mais uma constante.
Então, essas são regrinhas prontas assim como a gente tinha para derivada.
A gente tinha derivada de algumas funções, a gente tem também a integral de algumas funções.
Então, como a gente pode fazer, por exemplo, para calcular a integral de x³x.
Aqui, eu tenho um produto x³³ vezes x³.
Então, as bases são iguais ou somos exponentes.
E isso se transforma em x³.
x³, x³ mais uma vez, dividido por 3³ mais uma, e é assim, com o mês.
Então, aqui, mais uma vez, como a gente tem esta fração, a gente pode inverter, fica 2³, e x³³ nada mais é que raiz quadrada de x³.
Aqui.
Certo? Então, a gente transformou esse produto numa potência só.
Aqui, uma outra expressão, x³ mais um dividido por x.
Aqui, o que eu posso fazer é dividir x³ por x ou um por x³.
Certo? Então, transformei uma fração dura.
E aí, o consciente, né? E aí, eu tenho x³ dividido por x³ e o próprio um sobre x.
A integral do x³, a gente já sabe que x³ sobre 4, certo? Soma 1, 3 mais 1, 3 mais 1.
E a gente acabou de ver que a integral do um sobre x é a ln do modo x.
E aí, sova uma constante.
Então, eu vou só algumas manipulações que a gente pode estar fazendo para resolver algumas integrais.
E aí, a gente tem mais uma tabela com mais algumas integrais, algumas permitivas imediatas, integral do x³ menos cos³ cos³.
Aqui, lembra, que a derivada do cos³ era menos sen³.
Agora, em verte, já que a gente está fazendo a inversa, está calculando uma função que quando aderivada a ela.
E aí, nós temos aqui, secante, da consecante, da tangente, secante ao quadrado, consecante ao quadrado, e temos algumas expressões que também nos dão funções trigonometricas como integrais, né? 1 sobre raiz de 1 menos x², que dá o arco seno.
E essa expressão, 1 sobre ao quadrado mais x² que vai retornar 1 sobre a, há que o tangente de x sobre a mais uma constante.
Vamos focar nesta última aqui.
Então, se a gente tem 1 sobre 1 mais x², é 1 ao quadrado mais x².
Certo? Então, a gente tem essa expressão aqui, aonde o nosso a vale 1, então, a sua vale 1 aqui vale 1, e aqui vale o próprio x.
Então, ele fica com arco tangente de x mais uma constante.
Aqui, tenho o mesmo caso, é que eu tenho 2 ao quadrado.
Então, eu fico com 1 ½, arco tangente de x sobre 2 mais uma constante.
E aí, nós temos um caso específico.
Quando nós temos a integral da exponencial de x, ela mesmo, né? A integral do cos, a gente já sabe que é seno, a integral do seno menos cos, mas, se eu tenho o exponencial de 3x, se eu tenho seno de 5x, cos 10x, como que eu calculo? Então, a exponencial de nx, 1 sobre n, exponencial de nx.
A mesma lógica, para os demais, cos nx, 1 sobre n, seno de nx.
Seno, menos 1 sobre n, cos nx.
Assim como a gente, para calcular a derivada, está bem derivada do cos.
Era menos seno, mas quando tinha derivado do cos 5x, aí era 5, cos 5x.
Tinha este tipo de cálculo.
Então, quando tenho a integral da exponencial de 3x, 1 terço, exponencial de 3x, porque lembre-se quando a gente deriva a exponencial de 3x, ela dá 3 exponencial de 3x.
Para que isso seja só a exponencial de 3x, eu tenho que dividir aqui, por esse 3.
E aí, quando eu derivo, aí, eu obtenho o próprio exponencial de 3x.
Forencial de menos x, a mesma coisa, como se fosse.
1 sobre menos 1, exponencial de menos x.
E aí fica só o menos aqui, exponencial de menos x.
Mesma lógica, cos n, cos 5x, 1 quinto do seno de 5x.
Seno de 2x, menos meio, cos 2x.
Então, assim como na derivada, tem algumas regrinhas.
Para esse tipo de função, elementar, a gente já tem algumas regrinhas prontas.
A gente não precisa, é o que a gente chama de primitiva imediata.
A gente não precisa aplicar nenhuma técnica de integração.
Mas, mais para a gente, nós vamos ver algumas técnicas de integração para resolver algumas integrais que não saem de maneira imediata, assim como essas.
E aqui tem um outro exemplo, que é do cos n² de x.
Como que eu posso calcular a integral do cos n² de x? Nós temos uma identidade trigonométrica, que diz que cos n² de x, ele pode ser escrito dessa maneira.
Ele pode ser reescrito como meio, mais meio, cos n² x.
Fazendo isso a gente consegue calcular a integral, porque a gente sabe integral do meio, de quanto vale, e de cos n² x também.
Então, a integral de meio é integral da constante, que é constante vezes x.
Então, da meio x.
Lembra que, quando a gente tem aquela propriedade nova, passada quando a gente tem uma constante, a gente pode tirar ela fora da integral e calcular só a integral da função.
Então, a integral do cos n² x, a gente sabe que é meio, sen² x, certo? E aí a gente multiplica por esse meio que está fora da integral, e aí ficamos com 1, 4, sen² x, mais uma constante.
Então, à aula de hoje, nós vimos vários exemplos de como calcular a integral de algumas funções elementares, usando a definição de primitiva.
Eu espero que todos esses exemplos tenham clarado um pouquinho sobre o que é a integral, sobre a antiderivada, primitiva, e na aula que a gente vai avançar um pouquinho mais no cálculo das integrais, e eu espero vocês lá, bons estudos e até lá.