Calcular áreas de regiões que não são polígonos simples (ex.: asa de avião, embalagem de garrafa). A integral permite transformar esse problema geométrico em um cálculo analítico.
Dividimos o intervalo \([a,b]\) em subintervalos de largura \(\Delta x\). Para cada subintervalo usamos a altura da função em um ponto (esquerda, direita ou ponto médio) e formamos retângulos.
Ao aumentar o número de retângulos (\(n\to\infty\)) e reduzir \(\Delta x\) (\(\Delta x\to0\)), as somas superior e inferior convergem para o mesmo número, definido como a integral:
\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x. \]Para \(f(x)=x^{2}\) em \([0,1]\):
\[ \int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2} =\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}=\frac13. \]Resposta correta: C) Usa a altura máxima da função em cada subintervalo.
A soma superior sempre superestima a área real, pois cada retângulo tem altura igual ao maior valor de \(f\) no subintervalo.
Resposta correta: C) \(\dfrac{1}{3}\)
Usando \(\sum_{k=1}^{n}k^{2}= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) obtém‑se \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}=\frac13\).
Resposta correta: C) \(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x) \cdot g(x)]\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \cdot \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)
A integral do produto de duas funções não é, em geral, igual ao produto de suas integrais. As outras opções são propriedades válidas da integral de Riemann.
Resposta correta: D) 7
Pela propriedade de aditividade dos intervalos, temos \(\int_{0}^{5} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{5} f(x)\,dx\). Substituindo os valores dados: \(10 = 3 + \int_{2}^{5} f(x)\,dx\), o que resulta em \(\int_{2}^{5} f(x)\,dx = 7\).
Olá pessoal, tudo bem? Vamos lá em cima? Hoje é a primeira aula sobre estudos de integrais.
Vamos lá? Então, na nossa aula, hoje nós vamos falar um pouquinho de integral de rima.
A principal motivação, quando a gente fala de integral, de uma função, é o cálculo diária.
Isso porque é integrar os jujustamente para resolver esse problema de cálculo diária de regiões regulares.
Isso porque, se nós temos, por exemplo, um retângulo, a gente tem uma fórmula pronta para a calculária desse retângulo.
A mesma coisa acontece se nós temos um triângulo ou vários outros polígulos que a gente sabe como a calculária dele.
Mas vamos pensar que nós quisessemos calcular, por exemplo, a área da asa deste avião.
Como que nós poderíamos fazer este cálculo? Como que poderia ser feito o cálculo para encontrar a área da asa deste avião? Então, vamos supor que a gente tem uma região, essa região colorida aqui, laranjinha, e nós temos aqui uma função, que discreve essa parte superior, essa região, temos uma intervalo aqui em x.
Como que nós podemos usar o cálculo para a calculária dessa região? Então, é através da integral que a gente vai poder chegar numa solução para esse tipo de problema.
É uma coisa também que dá para a gente pensar como motivação ou como uma aplicação.
Vamos porque nós temos uma garrafa e nós queremos calcular a área ocupada pela embalagem, né? Pela garrafa, pelo pé, por exemplo, aquele plástico que vai em volta.
Então, é uma área irregular também.
E aí, a gente também pode usar a integral para calcular esse tipo de problema, assim como o volume também que é ocupado dentro desta garrafa.
Então, vamos supor, né? Vamos começar aqui.
Nós quiséssemos calcular essa região aqui em laranjinha, que está limitado superiormente pela sua função y igual a x², no intervalo aqui de zero 1.
Então, a gente quer calcular essa área s, dessa região, certo? Uma coisa que a gente pode fazer é separar, particionar essa área toda em quatro pedaços.
Então, vocês devem concordar comigo que s, né, que vai ser a área total, que a gente quer calcular, é dado pela soma de s1 com s2, com s3 e com s4.
Então, se a gente somar esses quatro pedacinhos de área, a gente obtém a área total que a gente quer encontrar, certo? Aí, a gente pode fazer o seguinte.
Vamos tentar usar áreas de regiões que a gente conhece, que a gente sabe, calcular para tentar aproximar a área que a gente quer.
Então, nós vamos escolher retângulos.
A gente sabe calcular de um retângulo e aí a gente vai tentar aproximar a área da região através de áreas de retângulos.
Então, o que nós temos? Aqui o primeiro caso, a gente vai tentar aproximar, fazendo essa área limitando ela superiormente, né? Então, nós vamos pegar vários retângulos, todos eles aqui vão ter como largura, um quarto, e a altura vai ser dada pela função.
Então, um quarto a quadrado, meio a quadrado, três quartos ao quadrado, né? Aqui, nós estamos pegando aqui os pontinhos em cima da função e um ao quadrado.
Vocês também, acho que vão concordar comigo, que fazendo isso, a gente obtém uma aproximação de forma que a área que a gente encontrava, vai ser maior do que a área que a gente de fato quer, né? Que área embaixo da função de esquadrado.
E a gente pode fazer a mesma coisa limitando inferiormente.
Então, eles têm aqui o mesmo intervalo, né? De um quarto em um quarto.
E aí, nós vamos limitar ela inferiormente.
Então, a área que a gente vai encontrar aqui somando a área de cada um desses retângulos vai ser menor do que a área que a gente quer, de fato, né? Então, fazendo as áreas superiores, o que a gente obtém? Como que a gente calcula essas áreas superiores, né? Então, nós temos aqui, ó, é base, vezes a altura, a gente já sabe para usar a calcula de área de retângulo.
Então, um quarto, vezes um quarto ao quadrado, mais um quarto meio ao quadrado, um quarto, três quartos ao quadrado, um quarto, um ao quadrado.
Então, somei a área desses quatro retângulos e obtive 0.
46875.
Então, se quer dizer que a minha área, de fato da região que eu quero encontrar, ela é menor do que esse valor, certo? A mesma coisa a gente faz, só que agora inferiormente, então, vamos pegar as áreas inferiores e com esse mesmo intervalinho de um quarto.
Então, nós temos um quarto vezes 0 ao quadrado, que é a primeira região, né? Que vai ser 0.
Um quarto por um quarto ao quadrado, um quarto por meio e um quarto por três quartos ao quadrado.
Fazendo isso, a gente faz a soma desses retângulos e obtém o valor de 0.
21875.
Então, isso quer dizer que a minha área, a área que, de fato, eu quero encontrar, ela vai ser maior que esse valor, certo? Então, nós fizemos os dois cálculos, superior e inferior, os dois com mesmo intervalo de um quarto, tá? E é isso que quiser melhorar a minha aproximação.
Então, vou melhorar a minha aproximação fazendo o quê? Diminuindo o intervalo, diminuindo a largura do meu retângulo, fazendo isso ao aumento o número de retângulos, certo? Então, estou diminuindo aqui a minha largura e estou aumentando o número de retângulos que eu estou calculando, que estou usando para a calcula área.
Então, superiormente, nós vamos ter algo desse tipo e inferiormente desse tipo.
Então, mais uma vez, a gente pode fazer o cálculo somando a área desses retângulos.
Então, vou somar a área desses retângulos.
Eu obtém o valor que a minha área vai ser menor do que isso.
E a mesma coisa aqui, o valor que eu vou obter somando a área desses retângulos vai ser menor do que o área que eu quero.
Então, a área que eu quero vai ter um valor maior do que essa obtida.
Então, fazendo isso, eu obtém superiormente 0.
3984375 e inferiormente 0.
2734375.
E que isso significa? Isso significa que eu já tenho ali uma informação, respeito da minha área.
Eu sei que é aquela área que eu quero calcular, aquela região.
Ela vai ser maior que 0.
273475 e vai ser menor que 0.
3984375.
Então, vocês repararam que quanto menor é a minha largura, quanto maior o número de retângulos, mais retângulos eu uso, mais aproximado do valor real da área, eu consigo chegar.
Então, eu vou chegando cada vez mais próximo.
Então, se eu continuar nesse mesmo pensamento, estou lá aumentando cada vez mais o meu número de retângulos.
Então, se eu tenho 10 retângulos, 20, 30, 50, 100 e mil e aí fazendo aquele cálculo diário, eu obtém os sempre os limitantes, e inferior e superior.
Então, eu sei que a minha área da região que eu quero encontrar vai estar sempre entre esses dois valores, está sempre ali.
Então, vou pegar o meu retângulos, que contou como a gente notou, só por fazer lá quatro retângulos, passou de quatro retângulos para oito, já deu para notar que aproximação era bem melhor, que a área que ficava sobrando ou faltando diminuía.
Então, se eu pegar meu retângulos, eles vão estar cada vez mais fininhos.
Então, as áreas que vão estar ali sobrando ou faltando, vão ser cada vez menores.
Então, chegando nessa ponto de mil retângulos, eu posso concluir que a minha área da região que eu quero encontrar.
Está entre 0,33, em 8,335, 0,335, já é uma grande coisa.
A gente já sabe bem próximo o valor da área, mas se eu não quero um valor próximo, se eu quero encontrar o valor de fato da área daquela região, o que eu faço? Daí que surge, então, é o nosso conceito de integral de rima.
Notem que o que a gente fez nesse processo do quatro para oito e depois para a tabela chegando até mil, foi fazer um limite de r, onde r é os retângulos, com n tendendo infinito.
Então, eu tinha quatro retângulos, os 8 retângulos, 10, 20, até mil retângulos.
Então, estou fazendo o número de retângulos e para infinito.
Isso é a mesma coisa que calcular esse limite, onde delta x aqui é a largura do retângulo.
Então, quanto mais próximo de zero ele chegar, mais fino vai estar meio tango, mais próximo do valor da área de fato, eu vou chegar.
E aqui o que eu estou fazendo é calcular a área do retângulo base por altura.
De delta x é a base, f de x e vai ser a nossa altura.
E isso, qualquer uma dessas duas aproximações que dizem a mesma coisa de forma diferente, hoje estamos aumentando o número de retângulos, quando a gente faz isso, é sinal que a gente está diminuindo a largura de cada retângulo.
É a mesma coisa que a gente escrever essa integral, que é uma integral de a até b, de f de x da x, que é igual a 1 valor hotel.
Esse L, quando ele existe, ele vai ser único.
E ele é aquilo que a gente chama de integral de rima de f de a, a b, onde a b aqui é a nossa limite, que no nosso caso, voltando aqui, era de zero até 1.
E a gente fazia esse participonamento dentro desse intervalo de zero 1.
Então, isso que a gente está fazendo ao aproximar o valor dessa área, para a gente tentar chegar no valor real da área, já que a gente vai entender que é infinito, é nada mais, nada menos, que popular uma integral, que é o que a gente chama de integral de rima.
Tá? Então, vamos usar essa notação aqui, do limite da região, quando N tem infinito, para encontrar de fato o valor da integral, daquela região que seria a área.
O é, mas a gente está falando de integral, e eu vou de novo, calcula o limite.
Vamos, porque a integral, assim como uma derivada, nada mais é também do fim limite.
Na próxima aula, a gente vai ver como calcula já é integrar sem usar limite, mas a gente vai fazer esse cálculo pela definição, pelo uso do limite.
Então, vamos lá.
Então, a gente vai fazer o limite com N, que ainda é infinito, quer dizer que a gente vai aumentando aqueles etângulos, cada vez mais, então indo para infinito.
E aí, essa área vai ser sempre a soma das áreas de cada um daqueles retângulos.
Então, é base que vai ser um sobre N, um sobre N², mas base vezes 2 sobre N², que é o furo, vai sempre aumentando.
Então, a gente está usando sempre um sobre N, e o valor aplicado no x², que é a função, e está limitando superiormente lá a nossa região.
Fazendo isso, posso colocar dessa forma um sobre N² em evidência, porque sempre aqui vai ter um N², hora que eu aplicar esse quadrado, quadrado, e quando eu multiplicar aqui, vou ter um N³.
Então, vai ser sempre um sobre N³, aqui vezes 1², no próximo vezes 2², até o N².
Então, a gente só reescreveu esse limite.
Fazemos ali cada um dos termos, cada área, ainda aquele retângulo, e aí a gente reescreveu.
A gente sabe quem não sabe, fica sabendo agora, mas a gente tem um valor para reescrever um², mais 2², mais 3², mais N².
Isso daqui, essa soma pode ser reescreta dessa maneira, como N, N mais 1, 2, N mais 1 dividido por 6.
Então, para qualquer N, são equivalentes, essas luzes pressões.
Então, o que a gente vai fazer é substituir esse valor aqui para a de fato encontrar esse limite.
Então, substituir aquela soma por essa expressão, e aí, multiplicando todos esses termos, e o 6 pelo N³, eu cheguei nessa expressão.
Então, o meu limite, quando N tem de infinito, de 2N³, mais 3N² mais N, dividido por N, 6N³.
Como a gente pode resolver isso daqui? Vou colocar o N³ em evidência, no cociente, aqui, ok, N³ vezes 6, aqui eu fico com 2N³, multiplicando 3N², aqui, mais N.
N³ dividido por N³ é igual a 1.
E aí, a gente vai usar aquela propriedade de que, quando o limite, quando a gente tem um limite com N tendendo infinito, desse tipo de expressão, tudo isso daqui vai para 0.
Então, foi para 0, foi para 0, N³ por N³ d1 restou o limite de 2x, e é igual a propriedade de 2x, que a gente pode escrever como um terço.
E esse valor aqui é 0.
3333.
Então, a gente viu que, quando a gente fez, o N igual a 1.
A gente chegou bem próximo do valor real, mas se a gente calcular esse limite, a gente chega no valor de fato, que é o valor da área.
Então, isso é importante a gente saber, quando a gente está calculando, é uma integral nesse tipo de problema, numa região, a gente está fazendo o cálculo de uma área.
E daí tem algumas propriedades em cima das integrais.
A primeira que a gente tem dos pulsões integráveis, é fg no intervalo AB, e se é uma constante.
Cf mais g ela é integrável, então, de pode separar.
Então, a integral da soma é a soma das integrais.
Então, para calcular integral de f mais g, eu posso calcular integral de f mais integral de g.
O próximo, quando a gente tem uma constante, e a integral, a nossa constante ela pode sair aqui para fora da integral.
Então, quando a gente tem uma constante, multiplicando uma função, a gente pode tirar essa constante e calcular a integral somente da função.
A próxima propriedade é cfgx, é maior igual a zero, não intervalo AB, então, a integral de fgx, não intervalo AB, também vai ser maior igual a zero.
E por fim, se a gente tem aqui no nosso intervalo AB, uma constante ser, por que tem que sentir esse intervalo, a gente pode dividir a nossa integral e seria aqui de A, AB, e aí, aqui, eu tenho um C.
A integral de AB ela pode ser escrito como a integral de A C, mais a integral de C AB.
Uma coisa aqui sobre a anotação da integral, que a gente sempre vem acompanhado do diferencial que do dx, indicando que a gente está fazendo a nossa integral em relação a X.
Então, na aula de hoje, a gente viu uma introdução à estudo de integral, vimos como calcular a integral de rima e como a integral tem a relação com o cálculo diária.
Na próxima aula, a gente vai começar a calcular algumas integrais de fússões elementares.
Espero que vocês tenham gostado, nos vemos na próxima aula e bons estudos.
Até lá!