Apresenta a ideia de aproximar funções diferenciáveis por polinômios locais, destacando a utilidade prática e a presença inevitável de um erro de aproximação.
Obter, a partir de derivadas conhecidas, um polinômio que reproduz o comportamento da função em torno de um ponto \(x_0\).
O resto de Taylor quantifica a diferença entre a função real e o polinômio; entender seu tamanho é crucial para decidir a ordem necessária.
Formula: \(P_1(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\).
Usa apenas a primeira derivada; representa a reta tangente à curva em \(x_0\).
Como \(\ln 1=0\) e \((\ln x)'|_{x=1}=1\), tem‑se \(P_1(x)=x-1\). Para \(x=1.03\), \(P_1(1.03)=0.03\) (erro ≈ \(10^{-4}\)).
Formula: \(P_2(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2\).
Inclui a curvatura da função através da segunda derivada.
Como \(f''(x)=-1/x^2\), tem‑se \(f''(1)=-1\). Logo, \(P_2(x)= (x-1)-\dfrac{1}{2}(x-1)^2\). Em \(x=1.03\) obtém‑se \(0.02955\) (erro ≈ \(10^{-6}\)).
Formula: \(P_3(x)=P_2(x)+\dfrac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3\).
Adiciona o termo cúbico, usando a terceira derivada.
Como \(f^{(3)}(x)=2/x^3\), tem‑se \(f^{(3)}(1)=2\) e o coeficiente \(\frac{2}{3!}= \frac13\). Assim, \(P_3(x)= (x-1)-\frac12(x-1)^2+\frac13(x-1)^3\). Para \(x=1.03\) resulta em \(0.029559\) (erro ≈ \(10^{-7}\)).
Para \(f\) derivável até ordem \(n\) em \(x_0\): \[ P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k . \]
O denominador \(k!\) provém da divisão repetida das derivadas; para \(k=2\) temos \(2!=2\), etc.
O Teorema de Taylor fornece uma ferramenta poderosa para aproximar funções; a escolha da ordem depende do nível de precisão desejado e da disponibilidade das derivadas.
Resposta correta: B) \(x-1\)
O termo constante é \(\ln 1 = 0\) e a derivada primeira em 1 é 1, logo \(P_1(x)=0+1\cdot(x-1)=x-1\).
Resposta correta: A) \(-\dfrac{1}{2}\)
Para \(\ln x\), \(f''(1)=-1\); o coeficiente é \(\dfrac{f''(1)}{2!}= \dfrac{-1}{2}= -\dfrac12\).
Resposta correta: B)
O enunciado descreve a forma clássica da desigualdade de Lagrange para o resto.
Resposta correta: B) 0.0296
Calculando \(P_3(1.03)=0.03-\frac12(0.03)^2+\frac13(0.03)^3\approx0.029559\), que arredonda para 0.0296.
Ainda é a última vez.
Olá, pessoal.
Tudo bem? Na aula de hoje, nós vamos ver a Fórmula de Taylor para aproximar funções deriváveis por polinomos.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, nós vamos ver sobre o teorema de Taylor.
Então, qual o objetivo de a gente usar essas Fórmulas de Taylor? Que são derivadas desse teorema.
É aproximar localmente funções deriváveis até ordem n na melhor maneira possível através de polinomes também de ordem n.
Ao fazer essa aproximação, é importante dizer que a gente vai estar cometendo o erro de aproximação.
Então, toda vez que a gente aproxima uma função por outro função, já dizendo de aproximação a gente vai estar cometendo um erro.
Então, esse valor não vai ser exatamente valor no ponto.
Mas, muitas vezes, com pensas, a gente carrega esse erro pela facilidade que tem de aproximar algumas funções e alguns problemas matemáticos.
Então, a gente vai ver primeiro polinome de Taylor de ordem n.
Então, se a função for derivável, até a primeira ordem, a função F, e seja o x, e x0, com o intervalo í, onde essa função é derivável.
O polinome é dado por F de x0, mas derivada da F no ponto x0, x menos x0, é o que a gente chama de polinome de Taylor de ordem n.
em volta do ponto x0.
E que isso quer dizer como isso funciona na prática.
Então, tem um exemplo, a gente vai utilizar o polinome de Taylor de ordem n.
Em volta do ponto x0 igual 1, para aproximar a função Ln de x no ponto 1, 0,3.
Então, a gente vai aproximar a função Ln de x, e depois, através dessa aproximação, desse polinome de ordem 1, que a gente vai obter, a gente vai aproximar o valor para Ln de 1,03.
Então, o polinome de x, em torno do ponto 1, ele é dado por F de 1, mais a derivada da F no ponto 1, x menos 1.
Como a gente está aproximando a função Ln, e aqui eu vou precisar tanto da função aplicada no ponto 1 quanto a derivada da função no ponto 1, a gente obtém aqui F de 1, Ln de 1, então, logaritme de 1, 100, 0.
E F, de 1, é o ponto aplicado na derivada do Ln, que é um sobre x, então, é um sobre 1, que é 1.
Então, eu já sei que esse ponto é igual a 0, esse ponto igual, então, o polinome de ordem 1 para aproximar o Ln de x é x menos 1.
Então, o polinome para aproximar o Ln x menos 1.
O ponto que a gente quer saber é 1,03.
Então, eu substituindo aqui o x por 1,03, eu tenho que o polinome do ponto 1,03, é 0,03.
Então, esse é um valor aproximado do Ln de 1,03, a partir de um polinome de ordem 1.
Aqui só para instalar uma ideia da dimensão do erro, eu fiz essa subtração do valor real do Ln, aplicada no ponto 1, 0,03, com o valor encontrado através do polinome, essa diferença deu de ordem 10, a menos 4.
Então, como é, é um erro, mas é um erro pequeno.
Então, dependendo da dimensão do problema, do com o difícil resolver um problema, compensa a ter escarregado esse erro.
E aí, como que funciona? Então, o polinome de Taylor de ordem 2.
Então, a função vai ser derivada até segunda ordem, a gente vai precisar do segundo aderivada, e os pontos x0 vão estar nesse domine, se intervalo, e aonde ela derivável.
A função, aqui que representa, então, polinome de Taylor de ordem 2, vai ser f de x0, primeira derivada aplicada no x0, x0, segunda derivada aplicada no x0, x no x0 ao quadrado, e aqui sobre 2.
Uma coisa que é importante a gente notar aqui, quando a gente for falar da generalização para ordem n, é que esse 2, ele na verdade é um 2 fatorial, mas 2 fatorial é 2, a gente deixa só 2.
E esse polinome é o polinome de Taylor de ordem 2, em torno, em volta do ponto x0.
Então, a gente vai fazer o mesmo cálculo, para cálculo, o ln, do ponto, 1,0,3, mas agora, com o polinome de Taylor de ordem 2, em volta do ponto x0 igual 1 também.
Então, aplico 1 aqui na f, f linha de 1x menos 1, f2 de 1 sobre 2, x menos 1 ao quadrado.
A gente já sabe o valor de f no ponto, não, não, ln, o valor da derivada, e a derivada, segunda derivada é menos 1 sobre x², vai dar o próprio menos 1.
Então, aqui, 0, esse é 1, e esse aqui é menos 1.
Então, o meu polinome é o de ordem 2, em torno do ponto 1 para a expressão, para a função ln, é x menos 1, menos 1, menos 1, e o x menos 1 ao quadrado.
Aplicando o ponto 1,0,3 nessa expressão, que, então, se bestuindo x, por 1,0,3, eu tenho 0,0295, e aí, vou fazer a análise do erro da mesma forma, então, coloquei em módulo aqui a diferença entre o valor real e o valor encontrado, e esse resultado é da ordem de 10 a menos 6.
Então, eu que diminuiu, né? Na primeira ordem de ter um erro de ordem 10 menos 4, agora 10 a menos 6.
Mas, esse polinome de Taylor, ele vai até que ordem.
Ele pode ser de ordem n, e deixa que a função seja derivável até ordem que você necessita.
Então, se você quer de ordem 5, com a função, tem que ter derivável até a quinta derivada, que você tem que ser possível encontrar quinta derivada, a gente precisa para aproximar.
Para generalizar, então, a expressão para o polinome de Taylor, a gente escreve, né? Sendo f derivável até ordem n, x, 0 no seu valor e, o polinome de x vai ser f de x, 0, primeira derivada x menos 0, segunda derivada sobre 2 factorial x menos 0, quadrado.
Aqui seria terceira derivada sobre 3 factorial, x menos 0 ao cubo, quarta derivada sobre 4 factorial x menos 0, a quarta, e assim, até a enésima, né? Você vai até ordem para você pretende calcular, né? É o n que se pretende fazer ordem do polinome.
Então, essa expressão é chamada de polinome de Taylor de ordem n, e f, que entorno do ponto x, 0.
E aí, então, a gente vai calcular o polinome de Taylor de ordem 3 em torno do ponto x, 0 igual 1 também, para calcular de novo.
O valor da função alien é de 1, 0, 0, 3.
Então, aqui nós temos f de 1, a primeira derivada x menos 1, a segunda derivada sobre 2 factorial x menos 1 ao quadrado, e aqui a terceira derivada sobre 3 factorial, lembrando 3 factorial 3 vezes 2 vezes 1, que é igual a 6, x menos 1 ao cubo.
Então, eu tenho já o valor avaliado na função, uma primeira derivada, na segunda derivada, e aqui na terceira derivada que é igual a 2.
Então, aqui eu tenho 0, 1, aqui menos 1, e aqui igual a 2.
E aí, eu posso escrever então o polinome de Taylor de ordem 3 para aproximar o alien em torno do ponto 1.
Então, eu fico com x menos 1, menos 1, menos 1, e o x menos 1 ao quadrado, e mais este termo da terceira ordem, dá 1 terço de x menos 1 ao cubo.
Aplicando o ponto 1, 0,3 no lugar do x aqui do polinome, eu fico com 0,029,5,5, 9.
E aí, eu posso mais uma vez calcular o erro com itida, utilizar essa aproximação.
Eu faço aqui o módulo da diferença entre o valor real e o valor aproximado.
E aí, eu obtém uma expressão de ordem 10 a menos 7.
Então, fica claro que, quanto maior a ordem do polinome, é menor vai ser o meu erro.
E como eu disse, as vezes compense a gente carregar esse erro porque vai ficando um erro muito pequeno.
Então, na aula de hoje, a gente viu como que a gente pode aproximar funções deriváveis até ordem n, através de polinômenos.
A gente pode escrever uma função qualquer derivável através de uma função polinomial, através de um polinômio, e calcular o valor aproximado em qualquer um dos pontos.
É, dessa função do domínio, dessa função.
Eu espero que tenham gostado da aula.
Bons estudos e nos vemos na próxima aula.
Até lá!