Apresenta os conceitos de máximo e mínimo global e local, explicando a diferença entre considerar todo o domínio da função ou apenas um intervalo ao redor do ponto.
Um ponto \(p\) é máximo global se \(f(p)\ge f(x)\) para todo \(x\) no domínio; análogo para mínimo global com \(\le\).
Um ponto \(p\) é máximo (mínimo) local se existe um intervalo \((p-\delta,p+\delta)\) tal que \(f(p)\ge f(x)\) (\(\le\)) para todo \(x\) nesse intervalo.
Se \(f\) é derivável em \(p\) e \(p\) é ponto de máximo ou mínimo local, então \(f'(p)=0\). Esses pontos são chamados de pontos críticos.
Para funções duas vezes deriváveis:
Derivada: \(f'(x)=3x^{2}-2x+1\). Pontos críticos: \(x=1\) e \(x=\frac13\). Segunda derivada: \(f''(x)=6x-2\). Avaliando: \(f''(1)=4>0\) → mínimo local; \(f''(\frac13)=-2<0\) → máximo local.
Derivada: \(g'(x)=\cos x-\sin x\). Zero em \(x=\frac{\pi}{4}\). Segunda derivada: \(g''(x)=-\sin x-\cos x\). Em \(\frac{\pi}{4}\) resulta em \(-\sqrt{2}<0\) → máximo local.
Objetivo: minimizar a área total \(A=2\pi r^{2}+2\pi r h\) sujeita ao volume \(V=\pi r^{2}h=1000\text{ cm}^3\). Substituindo \(h=\frac{1000}{\pi r^{2}}\) obtém‑se \(A(r)=2\pi r^{2}+ \frac{2000}{r}\). Derivada: \(A'(r)=4\pi r-\frac{2000}{r^{2}}\). Zero em \(r=\sqrt[3]{\frac{500}{\pi}}\). Segunda derivada: \(A''(r)=4\pi+\frac{4000}{r^{3}}>0\) → mínimo local, que é também o mínimo global do problema.
Resposta correta: B) \(f(p)\) é menor que \(f(x)\) para todo domínio.
Um máximo global deve ser menor ou igual a todos os valores da função em todo o seu domínio.
Resposta correta: C) \(p\) é ponto de inflexão com mudança de concavidade.
Quando a segunda derivada anula e a terceira derivada é diferente de zero, o ponto é de inflexão (não é máximo nem mínimo).
Resposta correta: B) \(r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\)
Derivando \(A(r)\) e igualando a zero obtém‑se \(4\pi r-\dfrac{2000}{r^{2}}=0\) → \(r^{3}= \dfrac{500}{\pi}\).
Resposta correta: D) \(x=0\)
Derivada: \(f'(x)=4x^{3}-8x=4x(x^{2}-2)\). Zeros em \(x=0,\pm\sqrt{2}\). Segunda derivada: \(f''(x)=12x^{2}-8\). Em \(x=\sqrt{2}\), \(f''(\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0\) → mínimo local. Em \(x=0\), \(f''(0)=-8<0\) → máximo local. Portanto, o único ponto de máximo local é \(x=0\). Contudo, a questão pede “máximo local” e a alternativa correta é **A) \(x=0\)**. (Corrigido abaixo.)
Apesar de ver a sua infância de uma função e ver a sua infância de uma função e ver a sua infância de uma função Olá, pessoal, tudo bem? Na aula de hoje nós vamos dar que continuidade ao açudo de comportamento de funções e vamos ver pontos de máximo e mínimo de uma função.
Vamos lá? Então hoje, na aula, nós vamos ver máximos e mínimos de uma função.
Primeira definição que nós vamos ter é de ponto de máximo e mínimo global de uma função.
O que isso quer dizer? Desde o ponto P, no domínio da função, a gente diz que esse ponto é um ponto de máximo global da função C.
Quando aplicar a função nesse ponto, o resultado foi maior ou igual a função aplicada em qualquer outro ponto do domínio.
A mesma coisa com ponto de mínimo global.
Então, aplicar a função nesse ponto tem que ser menor ou igual ao resultado aplicado em qualquer outro ponto do domínio.
Então, ele vai ser máximo ao mínimo global, porque o resultado vai ser sem que maior ou menor do que qualquer outro ponto que eu pegar no domínio todo o da função.
Então, como exemplo, a gente tem que uma parábla com qualquer idade para baixo.
Esse ponto aqui, que está no verso da parábla, ele é um ponto de máximo global, porque nenhum outro ponto, seu aplicar a função nesse ponto, vai ser maior do que ele.
Todos os pontos aqui, a gente vê que estão quando aplica a função, estão abaixo da função aplicada nesse ponto.
Nessa uma coisa acontece com uma parábla com com a cavidade para cima.
O ponto do verso aqui, ele vai ser um ponto de mínimo global, porque todos os outros pontos, quando aplicar a função, o resultado vai ser maior.
E aí, eles têm a definição de máximo e mínimo local.
Então, eles têm um ponto no intervalo, e esse intervalo está no domínio.
Então, a gente vai chamar de máximo a mínimo local, o ponto, e quando aplica a função, ele vai ser maior do que ela aplicada nos pontos que estão ali bem próximos a ele, e num intervalo do domínio, não do domínio todo.
Então, o ter vai ser um ponto de máximo local, se quando aplicar a função, é nesse ponto pela forma maior, é igual que qualquer x, num intervalinho em que o ponto p faz parte.
Então, ali, um pouquinho pra direita, um pouquinho pra esquerda, fecha um intervalinho com p ali no meio, e eu posso dizer que ele é um ponto de máximo local, porque vai ser maior do que qualquer outro que está ali perto dele.
A mesma coisa com o mínimo local, quando aplicar a função, vai ser menor, igual que o resultado aplicado em qualquer outro ponto que está nesse intervalinho também.
Então, o que é o que é presente aqui, tem um ponto de mínimo global aqui, que é o ponto x₂, porque em todo o resto do domínio, a gente vê que os valores, quando aplicados na função, são maiores do que ele, e aí eu tenho o ponto x₁ e o ponto x₃, que são pontos de máximo.
Só que, x₁, ele é um ponto de máximo local, porque localmente aqui, no intervalinho perto dele, quando aplicar a função no ponto x₁, o resultado é maior porque ela aplicada em qualquer outro ponto, mas não é do domínio todo, porque eu tenho aqui, por exemplo, a função aplicada no x₃ que é maior, ou qualquer outra que está acima, dela aplicada no x₁.
Então, eu digo que o ponto x₁ é um ponto de máximo local, porque localmente ali perto dele, quando aplicar a função, ele tem um valor máximo.
Aí, aqui, x₃, eu posso dizer que é um ponto de mínimo de máximo global, porque no domínio todo, não tem nenhum outro ponto quando aplicar a função da um valor maior.
Então, essa diferença do ponto de máximo, mínimo local e global.
A gente vai estar falando de pontos de máximo e mínimo local.
Então, os resultados que a gente vê nessa aula vão ser, está em contra a ponto de máximo e mínimo local, está, não vamos garantir que ele seja um global.
Então, eu tenho uma função derivável em p, uma condição necessária para que peça de máximo e mínimo local, é que a derivada no ponto p seja igual a zero.
É uma condição necessária, mas não é suficiente.
O que isso quer dizer? É necessário que isso ocorra, mas isso ainda não garante que ele vai ser um ponto de máximo mínimo.
A gente vai precisar fazer mais poes para garantir que seja a máximo mínimo.
Quando a gente encontra aqui esse ponto, não é onde a primeira derivada da zero, a gente vai achar mais esse ponto de ponto crítico.
Então, a gente deriva a primeira vez e encontra o ponto crítico e a gente vai aplicar esse resultado para verificar.
Se esse ponto crítico é um ponto de máximo mínimo.
Então, a gente tem f derivável, segunda ordem, e continua no intervalo í, tal que p faz parte desse intervalo.
Se a primeira derivada for igual a zero no ponto p, e a segunda derivada no ponto p for maior que zero, p vai ser um ponto de mínimo local.
Se a derivada for igual a zero, e a segunda for menor que zero no ponto p, então tem um ponto de máximo local.
Se a segunda derivada for igual a zero, a gente não pode afirmar nada sobre o ponto.
Talvez ele seja um ponto de intracção, mas talvez não também.
Então, se for igual a zero, a gente não afirma nada, se é máximo, que é máximo nem mínimo local, não tem como a gente afirma sobre esse ponto.
Então, aquele mesmo exemplo da aula passada, do x ao cubo menos do x², mais x menos 1, a gente já aplicou a primeira derivada, e já encontrou aqui, para fazer aquele subdicresso e decrescimento, os nossos pontos críticos, são os pontos onde a primeira derivada é igual a zero.
E quem te faz para saber esses pontos são pontos de máximo ou mínimo? Já apliquem esses pontos na segunda derivada da função.
Eu vou aplicar na segunda derivada da função 1 e 1⁴.
Então, a segunda derivada, cê x menos 4, quando eu aplico ponto 1, eu obtém o 2 como resultado.
Eu aplicar o ponto 1 sobre 2 aqui, o x por 1.
2 é maior que zero, então, o ponto 1 é um ponto de mínimo.
Então, 1 aqui é ponto de mínimo.
Quando eu aplico um terço, que é o outro ponto crítico, e substituo aqui, eu fico com menos 2.
Menos 2 é menor que zero, e cê é menor que zero, então, é ponto d máxima.
Então, 1 é ponto mínimo e 1 terço é ponto de máximo.
Minimum local é máximo local.
Então, aqui a gente fez aquele gráfico também na aula passada, só para ilustrar aqui a gente tem um ponto um terço, e a gente tem um ponto 1.
Então, nesse num tervelinho aqui e num terço, num tervelinho aqui do 1, a gente pode falar que um terço é ponto de máximo local e que, no 1, um ponto de mínimo local.
A gente não garante que seja global.
Um outro exemplo, seno de x mais cosseno de x, no intervalo de zero a p sobre 2, a primeira derivada, cosseno menos seno de x.
Deriva seno cosseno do cosseno menos seno.
Igualando a zero, eu tenho cosseno de x igual a seno de x.
Então, lembrando que x está no intervalo entre zero e 2p, o valor aonde de x, aonde o cosseno é igual a seno, é o p sobre 4, que está aqui dentro desse intervalo.
Então, p sobre 4 vai ser o nosso ponto crítico.
Fiquem tevadas agora para essa BC é ponto de máximo ou mínimo.
Aplique na segunda derivada.
Então, a primeira derivada deu cosseno menos seno.
Segunda derivada, derivada do cosseno menos seno, seno cosseno.
Então, menos seno, menos cosseno.
Vou aplicar o ponto p sobre 4.
A derivada do seno e do cosseno no ponto p sobre 4 são ambas iguais a raiz de 2 sobre 2.
Então, quando eu faço menos raiz de 2 sobre 2, menos raiz de 2 sobre 2, eu fico com menos 2 raiz de 2 sobre 2, igual a menos raiz de 2.
Esse resultado é menor que zero.
Tela é menor que zero.
Então, o nosso ponto x igual a p sobre 4 é um ponto de máximo local.
O exemplo que eu vou dar agora é um exemplo onde a gente não está estudando comportamento de função.
De algum de certa forma está mais aplicado aqui a otimização, produção e otimização.
Então, uma lata cilíndrica foi feita para receber um litro de suco.
Faz as dimensões incêntímetros dessa lata que minimizarão os custos da compra do metal.
Então, eu sei que essa lata tem que caber um litro, o volume dela, então eu conheço, e eu preciso as dimensões da lata para que o custo seja mais baixo.
Então, eu preciso que a área da lata seja menor possível, mas que ela seja cilíndrica e que ela tenha um volume que comporta um litro.
Então, para minimizar a área do metal, para minimizar o custo, eu vou minimizar a área do metal.
O que eu sei, que vai me ajudar a resolver isso? Eu sei o volume do cilíndro, que é fia-reoquadrado, é H, e eu sei que ele é igual a meus centímetros cúbicos, que é um litro.
Então, daqui eu posso ter uma expressão para dar dependendo do raio, certo? Então, só isolei aqui o meu H.
E eu sei qual o celular, é a forma para a população desse cilíndro.
Então, eu tenho aqui a tanpa, eu tenho o fundo, e tenho aqui as laterais desse cilíndro, certo? Então, dois pié-reo quadrado, são as duas áreas aqui, que estão da tanpa e do fundo, e dois pié-reo é a área aqui do meu, das laterais, do meu cilíndro.
Então, o que eu vou fazer para minimizar essa área? Para tentar encontrar o mínimo dessa área, eu vou primeiro utilizar o valor de H, substituindo aqui, para que a minha área dependa somente do raio.
Fazendo isso, eu vou aplicar a primeira derivada, encontrar um ponto crítico e verificar se ele pode ser o ponto de mínimo.
Então, substituir aqui o H, e aqui, é fí-reo-pi igual a 1, e eu obtive essa expressão para a área, que depende só do raio.
Alcolando a primeira derivada da área, lembrando que estou derivando aqui em relação a R, que é uma função de R, aqui eu fico o 2,5,4 pié-reo, e aqui derivando o 2,000 sobre R, eu fico com menos 2,000 sobre R².
Rescrevendo essa expressão, eu obtém o esse consciente, e aí, para encontrar um ponto crítico, isso tem que ser igual a 0.
Para essa expressão ser igual a 0, eu preciso que o que está aqui dentro seja igual a 0, porque o raio, ele é maior que 0, não posso ter aqui uma divina por 0, e o que eu vou te explicar aqui por 4, se por 0 vai dar 0 sobre o raio, que é o que a gente busca que é 0.
Então, eu preciso que R¹ menos 500 seja igual a 0.
Então, preciso que o R seja igual a R¹ de 500 sobre pi.
Então, esse é o nosso ponto crítico, certo? E aí, eu preciso verificar se ele é um ponto de mínimo.
Se ele é um ponto de mínimo, correto ao que a gente queria, porque encontremos um valor de raio que me liviza a área do cimino.
Então, para verificar, a gente vai aplicar a segunda derivada.
Então, fiz o calco da segunda derivada, aplicando a regra do consciente, que é derivada, aqui só fiz essa divisão por R¹ e obtive essa expressão, que é 4p, mais 4m sobre R¹.
E que eu faço agora, se o substituo nosso ponto crítico aqui no raio e verifica o C é maior que 0, se formar que 0, se eu olhar o ponto de mínimo.
Então, eu vou substituir o R, que é a raiz pública de quem é sobre pi, aqui como eu tinha o R¹, eu consigo eliminar essa raiz pública, e eu fico com 4p, mais 8p, é igual a 12p, 12p é maior que 0, então, esse é um ponto de mínimo.
Então, se esse raio é um raio mínimo, vou substituir ele aqui na expressão de H, em contra a altura também, e eu encontro as dimensões tanto do raio, quanto da altura, que vão minimizar a área desse cilindro, e mesmo assim, vou manter o volume padrão, lá, de um litro, que era o que ia respirar, certo? Então, na aula de hoje, a gente viu como aplicar a máximos emílimos, de uma função, para minimizar a custo, para minimizar a área do cilindro, e como que a gente compre esses pontos em uma função.
Espere que vocês tenham gostado, bons estudos, e até a próxima aula.