Permitem calcular limites que apresentam as indeterminações \(0/0\) ou \(\infty/\infty\). A ideia é substituir o limite original pelo limite do quociente das derivadas, desde que as funções sejam deriváveis perto do ponto e que o novo limite exista.
Se \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) existe (ou é \(\pm\infty\)), então \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\).
Exemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{3x^{4}-2x-1}{x^{2}-1}= \frac{12-2}{2}=5\).
Mesma ideia, porém as funções tendem a \(\pm\infty\). Também pode ser aplicada repetidamente até eliminar a indeterminação.
Exemplo: \(\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{x}= \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}}{1}= \infty\).
Se \(f\) é contínua em \([a,b]\) e derivável em \((a,b)\), existe ao menos um ponto \(c\in(a,b)\) tal que
\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\]
Geometricamente, a reta tangente em \(c\) é paralela ao segmento secante que une \((a,f(a))\) e \((b,f(b))\).
Se \(f'(x)>0\) em um intervalo, \(f\) é crescente nele; se \(f'(x)<0\), \(f\) é decrescente. Aplicado ao exemplo \(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1\), obtém‑se:
O sinal de \(f''(x)\) determina a concavidade: \(f''>0\) → concavidade para cima; \(f''<0\) → concavidade para baixo.
Um ponto \(p\) onde \(f''(p)=0\) pode ser ponto de inflexão. Se \(f\) for três vezes derivável e \(f'''(p)\neq0\), então \(p\) é realmente ponto de inflexão.
No exemplo, \(f''(x)=6x-4\) zera em \(x=\frac23\); como \(f'''(x)=6\neq0\), há inflexão em \(\frac23\). Concavidade: para \(x<\frac23\) é para baixo, para \(x>\frac23\) é para cima.
Resposta correta: C) \(f\) e \(g\) são deriváveis em um intervalo aberto contendo \(a\) e \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\).
Essas são exatamente as hipóteses do teorema de L'Hospital para a indeterminação \(0/0\).
Resposta correta: B) \(-\dfrac{1}{6}\).
Aplicando L'Hospital três vezes: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^{3}} =\lim_{x\to0}\frac{\cos x -1}{3x^{2}} =\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x} =\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{6}= -\dfrac{1}{6}. \]
Resposta correta: C) Em \((\frac13,1)\) a função é decrescente e a concavidade é para baixo.
Derivadas: \(f'(x)=3x^{2}-4x+1\) (zero em \(\frac13\) e 1). \(f''(x)=6x-4\) (negativo para \(x<\frac23\), positivo para \(x>\frac23\)). Assim, no intervalo \((\frac13,1)\) temos \(f'<0\) (decrescente) e \(f''<0\) (concavidade para baixo).
Resposta correta: B) \(f\) pode ser constante em algum subintervalo, mas nunca decrescente.
Do TVM, para quaisquer \(x_{1}
Olá, pessoal, tudo bem? Na aula de hoje, nós vamos ver algumas regras de Lopital, que são regras para calcular limites quando a gente tem determinações do tipo 0, 0 e infinito, só bem infinito.
E vamos introduzir o estudo de comportamento de funções, mais especificamente, nós vamos estudar crescimentos e decrescimentos de funções com cavidade e pontos de inflexão.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, nós vamos ver as regras de Lopital e uma introdução ao estudo de comportamento de funções.
Quando eu já disse, as regras de Lopital, elas foram feitas para calcular limites quando a gente tem como resultado em determinações, ou do tipo 0 sobre 0 ou infinito sobre infinito.
Por que a gente está voltando a falar de limite na altura do campeonato? Porque para usar a regras de Lopital, a gente precisa ter um conhecimento pré-agre sobre deivada.
Então, a gente precisa aprender a derivada e aí a gente vê o que a regras de Lopital vai facilitar para a gente no estudo de limites de uma função.
Então, a primeira regraladisca, se fg são deriváveis, tal que o limite quando x tem de a p, tanto de f quanto de g é igual a zero, e exista o limite quando x tem de a p do cociente derivada da f pela derivada da g.
Então, a gente pode calcular esse limite quando x tem de a p de f sobre g, que seria uma determinação do tipo 0 sobre 0, como sendo o limite do cociente da derivada da f pela derivada da g.
Para ficar mais claro, vamos ver um exemplo.
É o que tem um exemplo o limite quando x tem de a 1 de 3x⁴ menos 2x menos 1, dividido por x² menos 1.
Aqui nós temos, a gente aplicar o limite quando x tem de a 1.
Separadamente, nós temos 3 menos 2 menos 1, que é zero, e 1 menos 1, que é zero.
Então, a gente tem essa determinação do tipo 0 sobre 0, o resultado ali, o teorema, a regrinha de lopital, ela nos fala.
Então, eu posso aplicar essa regra de lopital.
Então, eu aplico fazendo a derivada do cociente separadamente.
Eu não tenho que aplicar a regra de derivação do cociente.
Eu derivo essa função aqui de cima e derivo a função de baixo separadamente.
Então, terivo 3x⁴, que fica com 2x³ menos 2, do 2x.
Aqui a derivada do x², que dá 2x.
Aplico 1 aqui, que fica com 12 menos 2, que é 10.
E aplico aqui com 2.
Então, 10 dividido por 2, que é igual a sim.
Bem simples.
Eu sempre brinco que sempre que chega nesse ponto, a gente fala nossos sufritantes para calcular, tentar achar formas, o calcular estes limites, que davam em determinação.
E só agora aparece essa forma la mágica.
Mas é como eu disse, a gente precisa ter conhecimento de derivada, por isso tem que saber a regra de lopital agora.
Mas ela facilita muito mesmo o cálculo de limite.
E a segunda regra, ela é bem simila, a primeira, mas ela diz respeito, ainda é a terminação, e o tipo infinito, sobre o infinito.
Então, aqui o limite tanto da f, curta da gel, vai para mais ou menos infinito.
Quer dizer, ela vai para infinito ou para menos infinito.
Faz.
Uma coisa importante, da gente falar dessa regra também, é que estou colocando o que x tem de a p, mas isso quer dizer que x pode tender também para um limite lateral, pode tender infinito, funciona para todos esses casos.
E o que a gente faz a forma de calcular é a mesma da primeira regra.
A gente aplica o limite da função f pela derivada da função g.
Vamos a mais um exemplo.
Em o limite, quando x tem, jamais infinito, disponencial de x sobre x.
Aqui, se eu calcular esse limite para o exponencial é mais infinito, e se eu calcular esse limite para x é mais infinito.
Então, eu teria uma determinação do tipo infinito sobre infinito, então posso aplicar a regra.
Deriva exponencial tem, ela mesma.
Deriva x tem igual 1.
Isso daqui dá exponencial de x.
E quando x tem, já infinito, a mais infinito, vai para mais infinito.
Uma outra coisa que é importante de falar sobre a regra de local, é que você pode aplicar ela quantas vezes for necessário.
Então, se você aplica a regra de local e tem como resultado uma nova determinação, você pode aplicar de novo e de novo até sair dessa determinação.
E aí, a gente cera a regra de local e nós vamos começar a falar sobre o estudo de comportamento de funções.
Eu vou enunciar para vocês o teorema de valor médio, porque todos os resultados que a gente vai ver ao longo da aula, eles derivam no teorema do valor médio.
Eles necessitam, não deixem esse resultado do teorema do valor médio, para serem validados.
Então, se a gente tem uma função contínua no intervalo fechado a b, derivável no intervalo aberto a b, e de garantia que vai existir um pontinho c nesse intervalo, tal que, então, tenha derivado aqui do ponto c, vai ser f de b menos f de a, b menos a.
O que significa, uma forma visível, uma maneira mais fácil a gente entender, tem aqui o intervalo, a b vai existir esse ponto.
O que é a retatangente nesse ponto vai ser paralela, essa reta entre o ponto f de a, entre os valores f de a e f de b.
Tá? E aí, o primeiro resultado que a gente tem que derivar desse teorema do valor médio é crescimento de crescimento de função.
Você tem uma f contínua no intervalo i, se a primeira derivada da função, por maior que zero nesse intervalo, então f vai ser crescente nesse intervalo.
E a primeira derivada por menor que zero nesse intervalo, então f vai ser de crescente nesse intervalo.
Como que a gente aplica isso na prática? É uma função x ao cubo menos 2x², mais x menos 1, vou calcular a primeira derivada dessa função.
Então, aqui, caiu 3, que ficou com 3x², menos 4x mais 1, a derivada do 1 é zero.
Vou encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero, que vai ser o ponto onde vai ter essa mudança do maior para o menor.
Então, resolvendo aqui por báctrica, eu vou encontrar esses dois valores, x igual a 1x, e x igual a 1.
E aí, eu preciso saber se a derivada aqui é maior ao menor que zero, aqui menor ao maior que zero, e aqui também.
Como que eu faço isso? Você pode substituir por valores que são menores que um terço, aqui, substituo aqui nessa expressão da primeira derivada.
Valores entre um terço e um, e valores maiores que um.
Fazendo isso, nós vamos obter positivo para a menor que um terço, negativo de um terço a 1, e positivo maior que um.
Então, o que eu disse aqui é que, nesse intervalo até um terço, de menos infinito, até um terço, a função está crescendo.
De um terço, a 1 está decrescendo, e de 1, outra é mais infinito, ela está crescendo.
Dei a gente tem um outro resultado, agora, para estudos de concavidade e ponto de inflexão.
Então, o teorema diz o seguinte, que isso é f aderivável até segundo ordem, no intervalo e a segunda derivada da f, formando, formar maior que zero, f vai ter com cavidade para a tinha.
Se formar menor que zero, ela vai ter com cavidade para baixo.
Tinha 1,000 incontramos.
Um ponto, onde a segunda derivada é igual a zero, a gente pode dizer que a gente tem um ponto candidato a ponto de inflexão, se é o ponto onde tem a mudança do concavidade para cima e para baixo.
Como que a gente pode saber esse ponto de inflexão? Tem um resultado que disse que se a função for derivável até terceira ordem, e a segunda derivada de p for igual a zero, a terceira derivada for diferente de zero, e for contínua no ponto p, então esse ponto vai ser um ponto de inflexão.
São esses dois resultados aqui, dizem respeito a concavidade e inflexão.
Então, tem esse exemplo, a mesma função do primeiro caso, a primeira derivada a gente já calculou, e usa o traço da crescimento de crescimento, e calculamos a segunda derivada, então foi da Tx menos 4.
Igual a zero, então a gente tem um ponto, 2 terços, esse daqui é um ponto candidato a ponto de inflexão.
O que é a segunda derivada nesse ponto é igual a zero.
Como que eu verifique, seria realmente um ponto de inflexão.
Então lembra que a terceira derivada nesse ponto, ela tem que ser diferente de zero.
A terceira derivada aqui dá menos 4, que vai ser diferente de zero para qualquer ponto p.
E ela também é contínua em x igual a 2 terços.
Então, 2 terços é um ponto de inflexão.
Agora o que a gente precisa saber é que é a concavidade, está para baixo, está para cima em qual ponto.
Então, a gente pode fazer aquele mesmo teste, pegar um valor menor, que menos 2 terços, e substituir aqui.
A gente vai obter um valor negativo, então a concavidade vai estar para baixo.
E se a gente pegar um valor maior, que 2 terços, e substituir, isso vai ter um valor positivo, então a concavidade vai estar para cima.
Então, a gente já sabe, os intervalos de crescimento, o decrescimento, o ponto de inflexão.
E a nossa concavidade está para cima, está para baixo em qual pontos.
Tendo todos esses resultados, a gente consegue fazer um bolso do gráfico.
Porque esse é o gráfico flotado da função.
E aí, primeiro vamos pegar aqueles pontos que a gente usou para a calcula crescimento e decrescimento, que era um terço e um.
Então, pode nocalar, que até um terço, a função estava crescendo, de um terço a um, ela decresceu, e depois ela voltou a crescer.
A mesma coisa, a gente pode analisar com 2 terços aqui, que eram pontos de inflexão, que tinham uma mudança de concavidade.
Até o 2 terços, a concavidade estava para baixo, a partir dos dois terços, a concavidade começou a ficar para cima.
Então, todos esses resultados, o justiúdo de comportamento de função, ajudam bastante na hora da gente ter uma ideia de como que é o gráfico dessa função.
Então, na aula de hoje, a gente viu as égras de lopital para calcular limites que tinham determinações, a gente usa a sua visero ou infinito sobre infinito.
E a gente também fez uma introdução ao estudo de comportamento de funções, que vai continuar na próxima aula.
Então, espero que tenham gostado, bons estudos, e nos vemos na próxima aula.
Até lá!