Apresenta a origem da lógica na Grécia Antiga (Sócrates, Aristóteles) e traz referências culturais, como Lewis Carroll, que utilizava a lógica para clarear o pensamento e combater falácias – habilidade essencial na era das fake news.
Autor de “Alice no País das Maravilhas”, usava jogos de lógica para demonstrar a importância de organizar ideias e detectar argumentos inconsistentes.
Estudo das proposições (sentenças que podem ser verdadeiras ou falsas) e dos conectivos que as combinam.
Sentença que possui valor de verdade bem‑definido. Ex.: “A Terra não é plana” (verdadeiro).
Representação tabular que lista todas as combinações possíveis de valores de verdade das proposições simples e o resultado da proposição composta. Para \(n\) variáveis, há \(2^{n}\) linhas.
Tautologia: proposição sempre verdadeira (ex.: \(p \lor \lnot p\)).
Contradição: proposição sempre falsa (ex.: \(p \land \lnot p\)).
Equivalências que permitem transformar negações de conjunções e disjunções: \[ \lnot(p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q,\qquad \lnot(p \lor q) \equiv \lnot p \land \lnot q \]
Exemplo prático: simplificação de uma condição composta em um `if` usando as leis de De Morgan e propriedades distributivas, resultando em código mais legível e eficiente.
Resposta correta: C) \(p=V,\; q=V\)
Somente quando ambas as proposições são verdadeiras a conjunção \(\land\) resulta em verdadeiro.
Resposta correta: D) Todas as anteriores.
Na implicação, a única combinação falsa é \(p=V\) e \(q=F\); nas demais combinações a proposição é verdadeira, o que corresponde às descrições A, B e C.
Resposta correta: C) \(\lnot(p \land q) \equiv \lnot p \lor \lnot q\)
Esta é a forma correta da primeira Lei de De Morgan. As opções A e B invertem o conectivo.
Resposta correta: A) \(p \lor q\)
Observando a expressão: \((p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land q) \lor (p \land q) = (p \land (\lnot q \lor q)) \lor (\lnot p \land q) = p \lor (\lnot p \land q) = (p \lor \lnot p) \land (p \lor q) = \top \land (p \lor q) = p \lor q.\)
Olá, Alunas e Alunis do curso de Introdução ao Conceito de Computação.
Na aula de hoje eu vou falar das operações lógicas e tabela verdade.
Começá falando um pouquinho de história sobre lógica, em seguida lógica proposicional, depois apresentar os operadores e tabela verdade e por último conceito de taltorologia e contradição.
Um pouquinho de história, na verdade, falando um pouquinho aqui do como o Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas, que a gente desou muito de lógica e antilógica nas suas obras, ele falava a respeito da lógica, de definir a lógica como a clareza de pensamento, a habilidade de ver seu caminho através de um quebra-cabeça, o hábito de arrumjar suas ideias numa forma acessível e ordenada, poder ter que estar falácias e destedançar argumentos ilógicos e consistentes de modo que a gente pode tão facilmente, em prognosil e hoje, com as fake news, encontrar em um jornais vivos, então as falácias.
De certa forma, toda essa ideia de você conseguir arranjar suas ideias de uma forma acessível e ordenada, detectar o que seria inconsistente é algo que usamos, usamos em computação, para análises e das informações, para definição de instruções, para a elaboração dos códigos computacionais.
A gente começa a usar essa lógica de uma maneira que nem percebemos e vamos desenvolver essa lógica, ao mesmo passo em que estamos desenvolvendo nossa habilidade de programação.
São algo que intimamente ligada a boa formação de um profissional nessa área, você tem um bom discernimento de lógica para enxergar um problema para propor soluções e abordar ele de uma maneira coerente.
Em diferentes áreas, mas principalmente em computação, isso vai ser bastante útil.
Nessa linha de rancicine, vamos definir a lógica consultando o dicionário, o que diz que é uma ciência que lida com os princípios e critérios de validade da diferença e demonstração, a ciência dos princípios por mais do rancicine.
Uma outra definição, encontrada nesse mesmo dicionário, muito mais voltada à computação, coloca como um arranjo dos elementos do circuito, como em um computador necessário para o cálculo.
Bom, e a gente vai ver isso agora.
A lógica, mas em linha com a primeira definição apresentada, ela é a lógica que vem da grecentida, com os põentes, com sócrates e Aristóteles, calcada, derivada da filosofia.
Já a segunda parte tem a ver com a lógica a segunda definição, teria a ver com a lógica boleana, que foi proposta por Jorge Buu, como através da conhecida áuja boreana, que ficou, que foi estabelecida como uma maneira de você trazer a matemática para dentro daquela lógica proposicional, só que na década de 30 clôndi, Shannon identificou a importância dessa áuja boreana, que trazia uma representação matemática para essa lógica proposicional, a importância dessa áuja boreana, pus circuitos eletrônicos.
O clôndi Shannon, ele era um matemático e engenheiro, e trabalhava nessa parte dos desenvolvidimentos circuitos, além de outras áreas.
Nessa linha, nós vamos na aula de hoje estar abordando essa primeira parte da lógica proposicional, e vamos ver ao final dos slides, como isso se aplica, por exemplo, no desenvolvimento do raciocínio para elaboração de códigos.
Vamos começar aqui definindo proposição, o que seria uma proposição? É uma sentença que é falso verdadeira, por exemplo, 20 é maior que 100, bom, é falso, nós sabemos disso matemáticamente.
A Terra não é plana, por mais que queiram questionar, apremos todas as evidências científicas, de que isso é verdadeiro.
Ela é alta, quem é ela? Qual domínio desse ela? Que confuso estabeleceu em valor verdade verdadeiro ou falso para essa sentença, onde o objeto não está bem definido em um domínio.
Qual foi o resultado? É um questionamento, também não tem como se associar um valor verdadeiro falso.
O logo não é uma proposição, então uma proposição é uma sentença que podemos associar um valor verdade verdadeiro ou falso.
Agora, podemos construir a partir de sentença simples, sentença compostas usando conectivos, como o conectivo ele, que estabelece uma conjunção, ou seja, ele relaciona ele junto a duas ideias, estabelecendo, por exemplo, que João é professor e joga futebol às duas, sem ter essas simples instabilecidas estão em conjunto sendo tratadas aqui.
A primeira, João é professor, a segunda, João, joga futebol.
Se João é professor e ele te fato joga futebol, a proposição composta é verdadeira.
Se João é professor, mas não joga futebol, o que foi proposto é falso.
Se ele não é professor, mas joga futebol ainda sim é falso, porque estabeleceu-se os dois casos ocorrendo em conjunto.
E se os dois casos não acontecem, ambos são falsos, com mais certeza ainda, independente, vai ser falso, porque ambos não ocorrem.
Nós podemos então estabelecer essa ideia, representar ela, com usando as variáveis relacionadas a cada sentença e juntando elas através, juntando através de conectivos, onde o alho vê aqui são chamados de elementos ou fatores dessa proposição composta.
E também podemos representar esse raciocínio até vez de estabelecer.
Então, a partir do número de sentenso e simples, nós podemos estabelecer a quantidade de entradas que compõem essa tabela, a quantidade de linhas, para obter os resultados das composições.
Então, numa proposição com n sentença simples, nós vamos ter 2 elevado a n possibilidades, 2 elevadas n vinhas possíveis de entrada nessa tabela verdade.
Bom, no caso aqui, com 2 sentenses, é bastante simples, dividimos a primeira, entre metade verdade, a primeira coluna, metade verdadeira, segunda metade falsa, depois vamos alternando aqui e temos todas as composições sem repetição.
Para cada uma dessas composições, nessas entradas, nós estabelecemos a valoridade e conforme foi visto, uma conjunção sobre a sever da deira, se as 2 sentenses simples forem verdadeiras, nos demais casos se torna falsa.
No caso da de junção, nós temos que João é professor ou João joga futebol.
Nesse caso, nós temos 2 opções que podem ocorrer um, onde pode ocorrer uma ou a outra.
Nesse caso, a tabela verdade vai ter, vai servir da deira, nós vamos ter a proposição composta como verdadeira, se João for professor e jogar futebol.
Mas também, se João for apenas professor ou apenas jogar futebol.
Para ser falsa, as 2 situações não se verificam, ou seja, João não é professor e João não joga futebol.
Na negação, nós temos uma sentença que o valoridade é trocado.
Então, por exemplo, João é professor, para ser João não é professor.
E utilizamos nesse conectivo para representar.
Vocês podem encontrar outros tipos de conectivos, como tracinho, por exemplo, em outros livros.
Mas uma vez representada na negação, nós pegamos o valor verdade da sentença original e emvertenmos na sentença negada.
Então, se for falso, se torna verdadeira.
A implicação estabelece uma relação de antecedente disparando um consequente.
Por exemplo, se Maria acorda cedo, então ela chegará por hora ou trabalho.
Nós estamos amarrando, a chegada ao hora ou o fato dela acordar cedo.
Então, temos Maria acorda cedo, como primeira sentença, segunda sentença, como primeira proposição, podemos ver da deira ou falsa, ou e a segunda proposição, Maria chegará no horário.
Nesse caso, vamos verificar que se Maria acorda cedo e de fato chega ao trabalho, no horário, o que foi dito na proposição é verdade.
Se Maria acorda cedo, mas não chega no horário ou trabalho, o que foi dito na proposição é falsa a implicação não se verifica.
Por outro lado, se Maria não acorda cedo, não a como verificar a consequência disso, que é chegar no horário ao trabalho.
Então, a sentença, a proposição, a amar de antecedente consequente, disparando antecedente, disparando consequente, continua à válida.
Nesse caso, nós vamos ter a proposição mantida como verdadeira, já que o antecedente não foi verificado, uma vez sendo verificado e o consequente ocorrendo a sentença verdadeira.
Ela só vai ser falsa, se disparar o antecedente o consequente não se verifica.
Na bicondição, esse raciocínio está entendido.
Nós temos, Maria acorda cedo, sei somente ser, chega no horário ao trabalho, ou seja, continua usando a sentença Maria acorda cedo e Maria chega no horário, só que agora, uma implica na outra, a implica em B, e bem implica em A.
Então, a bicondição é formada pelo conectivo E, juntando a implica em B e bem implica em A.
Essa conjunção.
Então, nesse caso, nós vamos ter a implica na E B, como já foi apresentado, e vamos analisar a mesma coisa agora de B e implica em A.
Então, nós temos B, ocorrendo e ao ocorrendo verdadeiro, B não ocorrendo, mantém-se verdadeiro, B, ocorrendo e A se verificando o falso.
Perfeito, agora, usamos o conectivo E para estabelecer a bicondição, verdadeiro e verdadeiro, verdadeiro.
Só vai ser falso quando for falso, uma das implicações, mas há análise que nós podemos fazer para não precisar ficar montando essa tabela do lado da hora, é a seguinte, repare que quando os valores verdades de A e B são idênticos, a B condição é verdadeira, quando os valores verdades de A e B são diferentes, a B condição é falso.
Bom, agora vamos criar uma proposição bem mais complexa, essa aqui em particular é chamada de lei de Morgan, da lógica das operações lógicas, e nós temos aqui uma oxixama de taltologia, porque vamos verificar? Se eu pego em nego A, nego B, eu começo a montar essa expressão mais complexa, numa tabela verdade, pela essa intensa é simples, depois eu vou companto A, O, B, nego A, O, B, junto a negado e negado, que essa segunda expressão, e agora eu vou usar o B condicional para estabelecer o valor verdade da sentença como todo, da proposição como todo.
Então, observe que para fazer isso, eu verifico, que tanto que a negação de A, O, B, como a negado e o B negado, temos o mesmo valor verdade, ou correndo para esse termo da B condição e para esse termo da B condição.
Quando ocorre o mesmo valor verdade, a B condição é verdadeira, e quando todas as linhas de uma tabela verdade é verdadeira, isso significa que essa relação aqui estabelecida é uma taltologia.
O que significa isso? Que vamos pensar bem a grosso modo? Vamos dizer que é como se isso, que fosse igual a isso aqui do ponto de vista lógico.
Quer dizer, é equivalente.
Tem essa equivalência.
É uma taltologia sempre que essa situação ocorre.
Eu posso escrever desse jeito, desse jeito aqui, substituir uma pela outra.
Bom, então, temos aqui o conceito da taltologia.
Quando a relação se mostra verdadeira, sempre para diferentes entradas e da sua tabela verdade.
Nesse caso, a contradição é o oposto.
Então, por exemplo, quando eu quero, vou até pensar do ponto de vista bem lógico aqui.
Eu quero a ou não a.
Então, eu quero uma coisa ou não quero essa coisa.
O que significa isso? Significa que eu sempre quero.
Eu estou juntando um pedaço do meu espaço com o outro pedaço fora nesse espaço.
Eu tenho tudo.
Tudo isso é verdadeiro.
Observe verdadeiro ou falso.
Vai ser verdadeiro.
Verdadeiro ou falso.
Vai ser verdadeiro.
Falso ou verdadeiro? Verdadeiro falso ou verdadeiro? Verdadeiro.
Que é a negação de há.
Aqui, se eu trabalho com.
.
.
Agora, que eu contrário, eu quero e não quero.
Eu tenho uma contradição.
Aqui, observe, eu tenho uma autologia.
Vai ser sempre verdadeiro.
Porque eu quero ou não quero.
Agora, aqui eu quero e não quero.
B eu corre e b não ocorre.
Nesse caso, o que vai acontecer? Falso, verdadeiro.
E falso, falso.
Eu vou ter sempre falso acontecendo.
Dessa forma, eu tenho aqui uma contradição.
E se eu falo que isso, que é sempre verdadeiro, implica nisso, eu também tenho uma outra contradição.
Porque sempre que ser dentro é disparado, eu estou amarrando.
Que isso é que deve ocorrer.
Mas sempre que esse elemento é disparado, e ele sempre é disparado, esse evento não ocorre.
Logo, eu tenho uma implicação falsa.
Eu tenho aqui, nessa coluna, essa relação é uma contradição.
Nessa coluna, essa relação, essa relação aqui, é também uma contradição.
E nessa coluna, essa relação é uma autologia.
Certo? Bom, agora, imagine que a gente vai ver, e essa lógica do ponto de vista de um código, ou seja, de um conjunto de instruções que a gente está passando pro computador executar.
Não percebe o seguinte, se eu escrevo um programinha no crescimento de código, dizer, se a pressão inicial for maior que a pressão final, e pressão inicial, maior que pressão final, e temperatura maior que vinte, não ocorre.
Faça comando um.
Se não, faça comando dois.
Ou seja, eu quero isso, e a negação disso aqui.
Como é que fica essa sentença do ponto de vista lógico? Se há a pressão inicial, maior que pressão final, que pode ser verdadeiro ou falso.
E b, foi o temperatura maior que vinte, eu posso representar desse jeito, essa expressão.
Eu tenho, se isso aqui é o meu a, e a, e, não negação, dia a, e, b, feito essa proposição, vamos verificar se a gente consegue simplificar ela.
E aqui vai uma coisa que vocês vão, eu quero que vocês complementem em casa.
Que é o seguinte, bom, eu posso utilizar a tautologia, a relação lei de Morgan, que a gente viu, que é uma tautologia, que significa que eu posso pegar esse termo e trocar por esse aqui.
Isso aqui é uma tautologia, é uma, verdade, uma outra aplicação da lei de Morgan, vocês podem verificar.
Em seguida, eu posso usar uma distribuição, eu posso fazer esse cara com esse, ou esse cara, o a, não belo.
Isso aqui é uma propriedade distributiva, verifica que isso é uma tautologia, tá? Feito isso, eu sei que a e não a é algo falso, ou, e eu tenho essa relação aqui, certo? Agora repare que, falso ou qualquer outra, outra valoridade aqui, que essa relação estabeleça, o resultado vai ser essa relação.
Então, eu obxeguei, usando equivalências, eu chego que essa expressão inicial do meu código, estava meio que uma ouformulada, redundante, eu posso escrever ela, de forma equivalente, desse jeito aqui.
E como que seria esse trecho de código? Se a pressão maior inicial, maior que pressão final, e não ocorrer temperatura maior que 20, eu faço comando 1, senão eu faço comando 2.
Com isso, eu consegui simplificar a minha expressão lógica.
Claro que, naturalmente, vocês já vão conseguir criar um código desse jeito, porque vocês vão estar praticando a lógica, mas muitas vezes vocês vão ter que um trecho de código que vocês codificam assim pode ter uma lógica mais elaborada, e vocês vão conseguir refazer uma lógica mais simples, certo? Bom, com isso nós terminamos essa parte de operadores lógicos e tabela verdade, considerando proposições, a lógica proposicional, e na próxima aula nós vamos tocar a lógica baleana considerando circuitos, tá bem?