Calcule o limite: limx→∞ (3x⁴ + x³ + 1)/(x³ + 5x² + x)
Resposta correta: C) +∞
Para resolver este limite, dividimos numerador e denominador pelo maior grau (x⁴):
limx→∞ (3 + 1/x + 1/x⁴)/(1/x + 5/x² + 1/x³) = 3/0 = +∞
Calcule o limite: limx→0 x⁴·sen(3x+1)
Resposta correta: A) 0
Usamos o teorema do sanduíche (consequência):
limx→0 x⁴ = 0 e sen(3x+1) é função limitada (entre -1 e 1)
Portanto, o produto de uma função que tende a 0 por uma função limitada tende a 0.
Para que a função f(x) = (x⁴-16)/(x²-4) se x≠2 e f(x) = L se x=2 seja contínua em x=2, qual deve ser o valor de L?
Resposta correta: C) 8
Para continuidade, L deve ser igual ao limite quando x→2:
limx→2 (x⁴-16)/(x²-4) = limx→2 [(x²-4)(x²+4)]/(x²-4) = limx→2 (x²+4) = 4+4 = 8
Calcule o limite: limx→0 sen(6x)/(2x)
Resposta correta: D) 3
Usamos o limite fundamental limu→0 sen(u)/u = 1:
limx→0 sen(6x)/(2x) = limx→0 [3·sen(6x)/(6x)] = 3·limu→0 sen(u)/u = 3·1 = 3
Onde fizemos a substituição u = 6x.
Fala pessoal, tudo bem? A nossa aula de hoje vai ser uma aula de resolução de exercícios de limite.
Vamos lá? Então, a gente vai começar com essa exercício de limite e o que a gente vai usar aqui, como resultado para ajudar a resolver esse problema, esse limite, é aquele resultado de que quando a gente tem um limite com x tendendo a infinito, aqui eu não coloquei-se não, porque pode ser tanto mais infinito quanto menos infinito, de 1 sobre uma potência em x, esse limite vai para 0.
Então, a gente vai usar esse resultado.
Então, a gente tem aqui o limite, quando o x tende a menos infinito, de 3x⁴ mais x⁻ mais 1, dividido por x⁻ mais 5x² mais x.
O que a gente tem que fazer quando a gente vai resolver esse limite? A primeira coisa é colocar em evidência os graus maiores, as potências de maior grau, tanto em cima quanto em baixo, que aqui no caso da de cima é o x⁴ e embaixo é o x³.
Então, aqui o nosso limite vai ficar, limite, quando o x tende a menos infinito, vou colocar o x⁴ em evidência aqui em cima, e agora vou multiplicar por termos aqui que vão resultar exatamente nessa expressão que está aqui em cima.
Então, por exemplo, para eu obter o 3x⁴, eu multiplico aqui por 3, 3 vezes x⁴, 3x⁴.
Para eu obter aqui o x³, eu vou primeiro notar o que está multiplicando o x³, quando não tem nada é 1, então vai ser uma fração em que aqui em cima eu vou ter 1, e aqui embaixo eu vou ter uma potência de x, tal que o grau dessa potência vai ser 4 menos o 3, que é o próprio x, porque quando a gente dividir os x⁴, por x a gente vai obter o x³ que a gente quer.
E, por fim, aqui o 1, vai ser mais uma fração aqui, 1, como não tem nada que acompanhando, como se fosse uma potência de 0, daí 4 menos 0 é 4, então vou ter x⁴, e fecha aqui a minha parte superior da fração.
Vou fazer aqui no consiente a parte de baixo, então, o maior grau é o³, então vou colocar x³, para eu obter o próprio x³ aqui, eu só multiplicar por 1.
Aí vou obter o 5x², então vou pegar aqui o 5, vai ser uma fração 5, e o 3 menos o 2 é o próprio x, então vai ser 5 sobre x, e, por fim, o x não tem nada multiplicando aqui é 1, e 3 menos 1, porque, como se eu tivesse 1, eu fico aqui com x², certo? Então, esse é o primeiro passo que a gente tinha que fazer.
Agora, a nota tem uma coisa aqui comigo.
Eu vou fazer primeiro essa divisão de x⁴ por x³, então vou que copiar de novo meu limite, quando x tende a menos infinito, x⁴ dividido por x³, a gente tem a mesma base, e quando é uma divisão, a gente subtraiu os exponentes, então, esse é a mesma coisa que x⁴ menos 3x, ele vai dar 4 menos 3, no caso, que vai dar o próprio x, que a x³ é levada 1, então, aqui vou colocar o x, e aqui notem, quando x vai para infinito, eu vou usar a propriedade da soma, e vou fazer calcular o limite indo para menos infinito de cada um desses termos, quando ele vai para menos infinito, no 3, ele vai para o próprio 3, no 1, ele vai para o próprio 1, e aí, eu vou ter 3 dividido por 1 aqui, e aqui, pela por essa propriedade que a gente tem, esse termo vai para 0, esse vai para 0, esse vai para 0, e esse vai para 0.
Ah, professora, mas aqui é o 5 dividido por x, não tem importância, aqui vale para outras constantes, porque a parte de cima está constante, a parte de baixo está crescendo, então está fixo, em cima em baixo está crescendo, também vai para 0, tudo isso vai para 0, eu fico com 3 aqui e com 1 aqui, 3 dividido por 1 dá 3, e daí, quando x vai para menos infinito, o 3 vai para o próprio 3, e o x vai para menos infinito, ele já está falando da própria definição, do limite aqui, de x tendendo menos infinito, daí eu fico com menos infinito, vezes uma constante, isso daqui é igual a menos infinito, certo? Então, esse é o primeiro exemplo que a gente fez usando essa propriedade que já foi vista em sala.
Vamos agora para o próximo exemplo.
O próximo exemplo vai usar uma outra propriedade, na verdade, a consequência de um teorema que a gente também viu em sala, que é o teorema do sandwich, então nós vimos na aula o teorema do sandwich, mas o que a gente vai usar para calcular esse limite é a consequência do teorema do sandwich, que eu já vou explicar para vocês, então a gente tem aqui para resolver limite, quando x tende a 0, de x a 4 menos 5x, é um produto com seno de 3x mais 1, então eu tenho que resolver esse limite aqui, que é um produto.
O que a consequência do teorema do sandwich diz? Diz que, quando eu tenho uma função, que quando o limite dela tendendo a p, vai para 0, essa função f, e a função g limitada, então quando eu tenho o produto dessa função com o limite de x tendendo a p, isso é igual a 0.
Essa aqui vai ser bem simples porque o limite de x tende a 0, essa aqui vai ser a nossa função f, e essa aqui vai ser a nossa função g, então quando x tende a 0, f vai para 0, porque eu tenho x a 4 menos 5x, posso aplicar que é o próprio 0 e vai para 0, e aqui eu tenho uma função seno, uma função limitada, lembra que a gente viu que é imagem da função seno? Ela fica entre menos 1 e 1, então ela é limitada, então eu tenho uma função que vai para 0, e tenho o g que é uma função limitada.
Então o produto desse limite, o produto dessas funções, quando o limite vai para 0, também é igual a 0.
Bem simples, né? Então as nossas propriedades aqui a gente tem para ajudar nos cálculos do limite.
Nosso próximo exemplo é para encontrar um valor de l nesta função, aqui, tal que esta função seja continua no ponto x igual a 2.
Então, que tem aqui na parte de cima, a função x a 4 menos 16 dividido por x² menos 4, quando x for diferente de 2, porque o 2 não está definido aqui, lembra que você colocar o 2 aqui no x, eu vou ficar com 2² que é 4, 4 menos 4 vai dar 0, e a gente não pode ter divisão por 0.
E tem o l aqui que é o limite que eu quero encontrar, que é na verdade o valor que eu quero encontrar, para que a função seja continua é quando x vale 2, então quem é o valor de l, qual é o valor de l? E a gente vai usar um resultado aqui, que f de x vai ser contínua num ponto p, 6 somente c, o limite da f de x quando x tem de a p é f de p.
Então para a gente encontrar esse l, eu vou calcular o limite aqui desta função quando x tem de a 2, e esse resultado vai ser o nosso l.
Então, vamos fazer aqui o limite quando x tem de a 2 de x a 4 menos 16, x² menos 4.
Vocês concordam que x a 4 menos 16, ele tem uma subtração aqui de potências ao quadrado, isso é a mesma coisa que x² ao quadrado menos 4², certo? E aí eu também já falei em aula, quando a gente tem aqui essa diferença de quadrados, tem um jeito que a gente pode escrever, então quando a gente tem ao quadrado menos b ao quadrado, tem uma coisa aqui, a mais b, a menos b, certo? Então, eu vou usar isso aqui para reescrever o x a 4 menos 16.
Então, eu vou reescrever, eu vou continuar aqui com o nosso limite, e aí ele vai ser x² menos 4 vezes x² mais 4, certo? Porque quando eu fiz esse produto aqui, eu vou ter x², aqui eu vou ter mais 4x² menos 4x², então, eu vou cancelar os quadrados, e 4 vezes 4 menos 16, né? menos 4 vezes 4.
E aqui eu continuo com x² menos 4.
Aqui, ver que eu tenho dois termos iguais que eu posto cortando, o que seria esse cortando? Eu estou fazendo uma divisão, eu estou dividindo esse termo com esse termo, que são iguais, e essa divisão vai dar 1, tá? Então, não é sempre que a gente tem um termo na parte.
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num consciente que a gente pode cancelando.
Aqui a gente pode fazer isso porque tem um produto aqui, então eu posso fazer essa divisão, tá? Então, eu faço essa divisão, isso aqui vai dar 1.
Dando 1, eu fico somente com o limite quando x tende a 2 de x² mais 4.
E aí, agora eu posso substituir o 2 aqui sem restrições, então, eu fico com 2² mais 4, que é 2² é 4, 4 mais 4, 8.
Então, o meu valor aqui de L para que a função, ou seja, contino, tem que ser igual a 8.
Por fim, a gente vai usar mais uma propriedade para resolver mais um limite.
Agora é a propriedade do limite fundamental.
O que o limite fundamental nos diz? Que o limite quando x tende a 0 de sen x sobre x é igual a 1.
Ah, mas professora.
Então, eu não tenho o que fazer com essa propriedade, com esse resultado, porque ele me diz que para essa função ele vale.
Não, a gente pode usar ele em outros resultados fazendo algumas manipulações, tá? Uma coisa importante anotar é que vale só quando x tende a 0.
Isso não tem como de fazer manipulação.
E aí, a gente vai usar esse resultado para calcular esse limite aqui.
Límite quando x tende a 0 de sen x sobre 2x.
Então, note que a gente precisa fazer.
Tentar deixar essa função aqui de forma, que o sen seja de alguma coisa que esteja dividindo essa mesma coisa.
Vai ficar mais claro, conforme eu for explicando.
Espero.
E aí, o que a gente pode fazer? Então, para aqui, aqui no sen x e aqui embaixo, eu tenha os mesmos valores, digamos assim, o que eu posso fazer? Note que aqui eu tenho 6x e eu tenho 2x.
Não posso tirar esse 6 daqui e colocar aqui para fora, nem dividir esse 6 por 2.
Porque é sen x.
É sen de alguma coisa e essa coisa aqui está na função.
Não está multiplicando.
Não é sen de nada vezes 6x, tá? Uma coisa que a gente pode fazer aqui, concorda comigo, que se eu multiplicar o 2 por 3, eu vou obter 6.
E aí, eu fico com 6x aqui e eu fico com 6x aqui em cima, 6x aqui embaixo.
E aí, o meu problema está resolvido.
Então, como a gente pode fazer isso de forma que não altere o valor final, que não altere a cara dessa função? A gente vai fazer isso multiplicando essa função por 1.
Quando a gente faz um produto de alguma coisa por 1, dá a própria coisa, essa coisa vezes 1 dá a própria coisa.
Então, o que eu vou fazer? Já que eu preciso desse 3 aqui para multiplicar o 2, eu vou multiplicar essa função por 3 dividido por 3.
Fazendo isso, eu não estou alterando nada porque estou multiplicando alguma coisa por 1, então está a mesma coisa.
Aqui, então, como que vai ficar.
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Como a gente vai proceder agora, que eu limite quando x tem de a zero, o 3 vai continuar aqui sendo de 6x, porque eu não posso jogar essa 3 aqui para dentro, como eu disse, que faz parte da função, não é um produto.
E aqui, eu posso fazer essa multiplicação de 3 por 2.
Então, vou ficar com 6x, certo? Aqui, então, eu fico com 3, só para enxergar de forma mais clara.
Fazendo isso, note em que.
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Eu tenho 6x, eu tenho 6x.
Se eu chamar, por exemplo, meu 6x de u, eu fico com seno de u sobre u.
E continua tendendo a zero, porque se o x vai para zero, 6x vai para zero, o também vai para zero.
Então, eu fico com uma coisa parecida com isso.
E aí, eu posso usar, então, o meu limite e afirmar que isso daqui vai para 1.
Isso vai para 1, eu tenho 3 aqui multiplicando.
Então, 3x1, está o próprio 3.
Eu espero que tenha gostado da aula de hoje.
Tenho sanado algum vanzudo de vocês sobre resolução de algum limites, e nos vemos na próxima aula.
Até lá!