Do que se trata o conteúdo? O conteúdo aborda os conceitos de derivadas de funções, regras de derivação, exemplos práticos e a relação entre continuidade e diferenciabilidade.
Principais assuntos:
Ponto de maior atenção: A regra da potência (derivada de xⁿ = nxⁿ⁻¹) e a relação entre continuidade e diferenciabilidade.
Conclusão: O conteúdo fornece ferramentas para calcular derivadas sem limites e explica a necessidade de continuidade para diferenciabilidade.
Aborda como calcular derivadas de funções básicas, como constantes, potências, exponenciais e logarítmicas. Exemplos: derivada de f(x) = 5 é 0; derivada de f(x) = x³ é 3x².
A derivada de uma constante é zero. Exemplo: f(x) = 7 → f’(x) = 0.
Aplica a regra da potência: f(x) = xⁿ → f’(x) = nxⁿ⁻¹. Exemplo: f(x) = x⁵ → f’(x) = 5x⁴.
Derivada de eˣ é eˣ. Exemplo: f(x) = eˣ → f’(x) = eˣ.
Derivada de ln x é 1/x. Exemplo: f(x) = ln x → f’(x) = 1/x.
Derivada de sen x é cos x; derivada de cos x é -sen x. Exemplo: f(x) = sen x → f’(x) = cos x.
Explica que derivabilidade implica continuidade, mas a continuidade não implica derivabilidade. Exemplo: f(x) = |x| é contínua, mas não é derivável em x = 0.
Qual é a derivada de f(x) = 5x³?
Qual é a derivada de f(x) = ln(3x)?
Qual é a derivada de f(x) = sen(2x)?
Qual é a derivada de f(x) = e^(x²)?
Olá pessoal, tudo bem? Na aula de hoje, vai dar que continuidade ao assunto de derivadas de uma função.
Vamos lá? Então, na aula de hoje, vamos falar um pouquinho de estudo das derivadas de uma função parte 2.
Na aula passada, nós vimos já um pouquinho de derivada, mas todos os cálculos que nós, por exemplo, envolvendo derivada, eles envolviam o cálculo de um limite, isso porque a derivada nada mais é do que um limite.
Então, aqui na tela, nós temos duas maneiras das escalculadas derivadas através de limites.
O que a gente vai ver na aula de hoje são algumas regras que a gente vai usar para calcular derivadas sem ter que calcular de limite.
Então, nós vamos ver as regras de algumas funções que a gente consegue calcular a derivada tem que passar pelo cálculo do limite.
Então, vamos lá.
Nós vamos começar pelas derivadas de função do tipo de potência x elevada a n.
Nossa primeira função é fxx igual uma constante.
Se x é igual uma constante real, um valor real, a derivada de x vai ser igual a zero.
E aqui a gente tem a g de x, terá dada por c vezes x, então, se for uma constante de vezes x, a derivada dessa g vai ser a própria constante.
Então, aqui para exemplificar, se fx é igual a 5, f n x vai ser igual a zero.
A derivada da fx vai ser igual a zero.
Então, se a funçola é qualquer constante, se a função for igual a 100, fx igual a 100, a derivada é zero.
fx igual a meio adrivada da fx, fx igual a 5 mil aderivada a zero.
E aqui, um exemplo para g de x é igual a menos 10 vezes x.
Aderivada dessa função g é menos 10.
Se eu tivesse gx igual a 50x, derivada 50, gx igual a 500x, aderivada é 500.
Está? Sempre seguindo essa lógica.
E, de uma maneira geral, se eu tenho fx igual a x elevado a n, qual é adrivada da fx? Como que a gente calcula adrivada da fx? A potência n é la k, e aí a nossa potência fica n menos 1.
Então, kuln fica x elevada a n menos 1.
Então, aqui, o exemplo, fx igual a x é espadrado.
Aderivada é igual a 2x, porque a potência é o 2.
Ele caiu, veio para k.
E eu fiquei com x elevada a 2 e menos 1, que é 1, para o próprio x.
Um outro exemplo, x elevada a 4.
O 4k, então, o 4k da potência veio para k.
E a minha potência final ficou 4, menos 1, é 3.
Então, sempre seguindo essa regrinha.
A potência cai, e no lugar dela, fica ela menos 1.
E se eu tiver a minha função como uma constante vezes uma potência, o que eu faço? O mesmo esquema, a sua potência vai cair, o cair, ela vai fazer o produto constante que já está em baixo.
Então, por exemplo, aqui tem 5x ao kulb, o kulb vai cair, e aí eu vou ficar com 3 vezes 5.
E é 15, e a minha potência 3 menos 1 é 2.
O outro exemplo, menos 3x elevada a 10.
Então, a minha potência 10 caiu, multipliquei ela por menos 3, então, eu vou ficar com menos 30.
E a potência fica 10 menos 1, que é 9.
Então, se eu tiver já um valor real ali, multiplicando a potência, ele vai ser multiplicado pela espouente que vai cair.
Vai fazer esse produto, e sempre colocar lá o espouente que estava menos 1.
E aí, aqui eu tenho um outro exemplo, que é 1 sobre x².
Como que eu calculo a derivada de 1 sobre x²? 1 sobre x², nada mais é do que x² elevada a menos 2.
Então, sempre que nós temos uma expressão dessa forma, ela pode ser escrita, como x² n, então, sobre x² n pode ser escrita como x² n.
E aí é uma potência, da mesma maneira, do que os exemplos anteriores, essa potência vai cair, e a gente vai colocar no lugar dela ele do espouente, ela é menos 1.
Então, a derivada de x² menos 2, o menos 2, ele vai cair, o jeito que está aqui, e a potência vai ficar menos 2, menos 1, que é menos 3.
Então, aqui eu fico com menos 2x² menos 3, certo? E da mesma forma que eu passei essa potência, esse x² para a x² menos 2, eu posso fazer o posto.
Eu passo x² menos 3 para x³, nesse consciente.
Então, minha resposta aqui, final, da derivada, menos 2 sobre x³.
Um outro exemplo é a raiz de x.
Como que eu calculo a derivada raiz de x? Mas, o que raiz de x tem a ver com as potências que a gente está resolvendo? A raiz de x também é uma potência.
Raiz de x pode ser escrita como x² n, então, quando a gente tem, uma raiz dessa forma, a gente pode reescrever como uma potência, aqui como a raiz é quadrada, a gente não consuma colocar o 2, por isso que vai o 2 ali, fica meio.
E é como que a gente vai proceder a derivada.
O meio vai cair, e vamos colocar no lugar meio menos 1.
Então, meio cair aqui, e eu fico com meio menos 1, meio menos 1, menos 1, e eu estou com uma potência negativa.
Vou jogar aqui para baixo positiva.
E a gente já sabe que x² é meio, é igual a raiz de x.
E é finalista com 1 sobre 2³.
E aí, a gente tem algumas derivadas de algumas outras funções, e a gente vai começar pela derivada da exponencial de x e do lnx.
A derivada da exponencial de x é mais f de todo.
Que é ela mesmo.
Então, a derivada exponencial de x é ele, e a derivada x é o próprio ele, a derivada x.
A gente tem lnx, que é o logaritmo da base e a derivada dela é 1 sobre x, x².
E a gente tem as derivadas de algumas funções trigonométricas.
Então, a derivada do seno que é coseno e a derivada do coseno que é menos seno.
Não sempre lembro, coseno mantém o sinal, que é o derivado do seno e coseno.
Já a derivada do coseno é o mudo sinal, então a derivada do coseno é menos seno.
A derivada da tangente secante ao quadrado de x, a derivada da secante secante de x vezes tangente de x, a derivada da cotangente de x é igual a menos cos² de x e a derivada da cotangente de x é menos coscante de x vezes cotangente de x.
Então, essas regrimas, tanto de potência trigonométrica quanto logaritmo exponencial, a gente tem que estar sempre com elas em mente, porque nas próximas aulas, a gente começa a calcular derivadas de algumas funções um pouquinho, mas elaboradas, a gente vai precisar saber essas derivadas mais elementares.
Aqui tem um exemplo, que eu tenho fdx igual a sendx, quem é a derivada da f no ponto zero? Aqui é simples, a gente sabe quem é a derivada do seno, que é coseno.
E aí eu vou aplicar o ponto zero na derivada, então, derivada de zero é coseno de zero, que é igual a, então, a derivada de f em zero é igual.
É que é tão bem importante que a gente lembre sempre dessas derivadas.
Agora, a gente vai tentar fazer uma relação entre c derivável e c contínuo.
A gente falou um pouquinho de continuidade de função quando a gente estava vendo o sudo de limites, e hoje a gente vai fazer um pouquinho, estender um pouquinho desse estudo na relação entre derivada e ser contínuo.
Então, para começar assim, vamos lembrar da função fdx igual a módulo de x.
Ela é uma função contínuo, para quem não lembra a função módulo de x, ela faz mais ou menos assim, que ela leva todo o número no seu positivo, então, é 1 menos 1 para 1 também.
Ela é contínuo, certo? Só que essa função não é derivável no ponto p igual a zero, porque ela não é derivável.
Vamos calcular a derivada dessa função da função módulo de x através de calco de limites.
Então, ela é fdx menos fd0, x menos zero, quando x está venindo a zero, é esse limite.
Lembra que a função de derivada por limite? Fazendo isso, a gente tem fdx, que é módulo de x, menos fd0 que é zero, então, recorçar com módulo de x, dividido por x menos zero, que é o próprio x.
Essa expressão aqui, ela vai ser 1 quando x for positivo, e ela vai ser menos 1 quando x for negativo.
Então, ela não adimite derivada, então ela é contínua, mas não é derivável.
Então, a gente já sabe a partir disso que uma função ser contínua não incliga, e ela vai ser derivável, certo? Mas, um oposto, track vale, track se ela for derivável, possa firmar que ela é contínua.
Sim, isso a gente pode afirmar.
Então, se f for uma função derivável no ponto p, ela vai ser contínua também no ponto p.
E aí, desse resultado, ser derivável, implicar ser contínua, isso é equivalente a dizer que, se ela não for contínua, ela também não vai ser derivável.
Então, esses dois resultados, a gente pode retirar da serema.
Se for derivável, vai ser contínua, ou ser, não for contínua, não vai ser derivável.
Então, para exemplificar, tem essa função, dada por x quadrados, se x for diferente de 1, e 3, se x for igual 1.
A pergunta é, essa função é derivável no ponto p igual 1, né? E x igual 1.
E a resposta é não.
Porque essa função não é contínua em p igual 1, quando a gente calcula o limite da função, quando x tem de 1, ele não dá f de 1.
Lembra que a gente fez essa, a gente definiu continuidade através do limite dessa forma? Então, ela não é contínua.
E aí, a gente viu aqui que não ser contínua, implicam não ser derivável.
Então, essa relação lembre, sempre, para não ficar confundi, lembra sempre do modo de x, que é contínua, mas não é derivável.
Então, não é contínua que implica ser derivável, é derivável, que implica ser contínua.
Então, chegamos ao termo da aula de hoje, a aula de estudos aderivadas de uma função.
Nós vemos na próxima aula com mais estudos de derivada, bons estudos e até lá.