Do que se trata o conteúdo? O conteúdo aborda a definição de derivadas de uma função, sua relação com a reta tangente e aplicações em cálculo de velocidade e aceleração.
Principais assuntos:
Ponto de maior atenção: A definição de derivada como limite da taxa de variação média quando Δx tende a zero.
Conclusão: A derivada é fundamental para entender mudanças instantâneas em funções, com aplicações em matemática e física.
A derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto, calculada como o limite da taxa de variação média quando o intervalo tende a zero.
A reta tangente é uma linha que toca a curva em um ponto e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. Sua equação é determinada pela derivada da função no ponto.
A taxa de variação média é calculada como (Δf)/(Δx), enquanto a taxa de variação instantânea é o limite dessa razão quando Δx → 0.
A derivada é usada para calcular velocidade (derivada da posição) e aceleração (derivada da velocidade) de partículas em movimento.
Dada a posição de uma partícula como função do tempo, a velocidade é obtida derivando a função posição em relação ao tempo.
A aceleração é a derivada da velocidade, que por sua vez é a derivada da posição.
Qual é a definição de derivada de uma função em um ponto?
Qual é a velocidade de uma partícula cuja posição é dada por X(t) = 5t - t² no instante t = 2?
Qual é a equação da reta tangente à curva f(x) = x² no ponto P(1,1)?
Se f(x) = 5x - x², qual é a aceleração da partícula no instante t = 3?
Onde é a gente? Onde é a gente? Onde é a gente? Onde é a gente? Onde é a gente? Onde é a gente? Olá pessoal, na aula
de hoje a gente vai dar a introdução ao estudo de derivadas de uma função.
Vamos lá? Então vamos iniciar a aula de estudos das derivadas de uma função partindo.
A gente vai começar com a noção de derivada através do estudo da reta tangente.
Então vamos suporte a gente ter essa curva em azul e tem esse ponto, que faz parte dessa curva, e tem uma reta
tangente passando por esse ponto na curva em azul.
Então vamos tentar definir como a gente calcula a inclinação dessa reta tangente ao ponto a curva no ponto P,
fazendo o seguinte, a gente constrói uma nova reta passando pelos pontos P e K, que são pontos da curva.
E a gente tenta fazer com que a distância entre a X, que é que a gente chama de delta X, essa distância tem da zero.
Fique isso que é dizer que a gente vai fazer com que X se aproxima cada vez mais de A.
Então, eu te constrói aqui uma reta e vai fazendo X aproximar cada vez de A.
E quanto mais ele se aproxima cada vez mais, quanto mais ele se aproxima de A, mais essa reta está tendo a mesma
inclinação, chegando mais próximo na inclinação da reta tangente a curva no ponto P.
E o que a gente está fazendo aqui? Nada mais era de calcular o M, que é o corpo eficiente angular da reta, sem
inclinação da reta, que ele vai ser dado pelo limite, quando o delta X tem de A zero, de delta F sobre delta X, e
que isso quer dizer, a gente está fazendo ali a taxa vivariação da função em relação a X e A, em relação ao delta X.
Então, isso é limite quando o X tem de A, de F de X menos F de A, X menos A.
E esse limite nada mais é do que a definição está derivada de F no ponto A.
Então, a relação entre a reta tangente e a derivada, é que a derivada de F no ponto A, nada mais é do que o
percentiangular da reta tangente, que é o nosso M.
Então, a partir disso, a gente pode escrever a definição de derivada a partir dos limites.
Então, a derivada de F no ponto P, ele pode ser escrito como limite, quando o X tem de A, de F de X menos F de P, X
menos P, ou ainda como limite, quando a g tem de A zero, de F de P mais A, menos F de P, sobre a g.
E aí, a partir disso, como ficaria a equação da reta tangente no ponto P, dado pelo por A e B.
E, pelo menos B, vai ser igual a F de A derivada da F em relação a A, X menos A.
E é como isso funciona na prática.
Vamos porque a gente quer encontrar a equação da reta tangente, ao gráfico de F de X, dado por X quadrado, no ponto
U, primeira coisa que a gente tem que fazer aqui, é calcular essa derivada, a derivada de F, no ponto A, vai ser a
inclinação da reta tangente, e a gente vai precisar de um ponto que passa pela curva de A, de A, B.
E a gente tem tudo isso, fazendo, então, calcular derivada a equação da reta tangente.
Então, vamos lá, a gente faz o calco da derivada da F no ponto U, que é correspondente ao coordenado a X aqui do
ponto.
Então, usando a definição de limite para a calcula derivada, a gente pode escrever como F de X, que é X quadrado,
aqui, menos F de U, eu pego o U e aplico na função, uma quadrada ao próprio U, dividido por X menos 1.
X quadrado menos 1, lembra que a gente pode escrever como X menos 1, X mais 1.
Fazendo isso, eu posso dividir aqui ao X menos 1 com X menos 1, vai dar 1.
Vai me restar o próprio X mais 1.
Então, esse limite é igual a 2.
Então, o coeficiente angular da reta ali, que vai determinar a inclinação, ele é igual a 2.
E aí, eu vou então colocar aqui, no forma que a gente precisa definir, que é a equação da reta tangente, F e B, o B,
o ponto U, é esse ponto aqui, coordenada a Y, então, Y menos 1, vai ser igual a M, a gente encontrou igual a 2, X
menos 1.
Aí, só reescrevendo a gente fica, então, com Y, igual a 2, X mais 1, e essa é a equação da reta tangente, ao gráfico
de X quadrado no ponto U.
Neste exemplo, essa expressão delta F sobre delta X, é o que a gente chama de taxa de variação média.
Lembra lá na primeira aula? Eu falei um pouquinho sobre a taxa de variação em relação à velocidade, a seleção, de o
acamento.
Então, isso era aquela taxa de variação média.
E quando a gente aplica o limite, com o delta X tendendo a 0, a gente tem que chamamos de taxa de variação
instantânea.
E aí, a partir disso, a gente pode calcular a velocidade através de taxa de variação.
Então, vamos por que a gente tem aqui uma partícula que está se deslocando através dessa curva, e a gente tem esse
blocamento dela de T até F mais delta T.
A gente já viu, de forma bem sucinta lá na primeira aula, a que a velocidade média a gente pode escrever como essa
variação do deslocamento pela variação do tempo.
Então, o deslocamento que ele fez, que a partícula fez, o quanto o caminho ali, pelo tempo que gastou para fazer
esse deslocamento.
Quando a gente aplica o limite, com o delta T tendendo a 0, a gente está fazendo esse tempo, que a cada vez mais
pequeno, o delta T fica cada vez mais pequeno, para que a gente possa calcular a velocidade instantânea, não média,
mas naquele instante.
Então, quando a gente tem o limite quando o delta T tende a 0, da velocidade média, isso daqui nada mais é do que
deixar sobre dT, que nada mais é do que a derivada de X em relação a T.
Então, a velocidade, no instante T, é igual a derivada do deslocamento.
Então, só tenho a função deslocamento e o derivo, e encontro quem é velocidade.
Com o mesmo pensamento, a gente encontra a aceleração, que vai ser a derivada da velocidade.
Então, eu faço aqui a aceleração média, através da velocidade, faço o delta T tende a 0, e aí obtém uma aceleração
instantânea, que vai ser derivada da velocidade.
Então, eu tenho o derivo, derivo, encontro, a velocidade, derivo, encontro, a aceleração.
E aí, um exemplo, a gente tem uma partícula que se move sobre o eixo X de modo que no instante T, a posição X da
partícula é dada por 5 t m², então, essa equação do deslocamento.
Encontra a velocidade, em metros por segundo, da partícula, no instante T igual a 2.
Então, o que eu falei, que a gente tem que derivar o deslocamento para encontrar a velocidade, que tem que se
aplicar o limite, encontra a derivada do deslocamento, que vai ser a velocidade, e aplica depois dessa função no T
igual a 2.
Então, tem aqui, aplicamos o limite de X, de delta T, de T mais delta T, menos X de T, dividido por delta T.
É uma das definições de derivada, como se a gente substitui o delta T por H.
Então, a gente tem uma expressão dessa, no começo, como eu comesta aula, como eu já falei, a definição de derivada
por fim.
Então, eu que só apliquei essas funções.
Então, peguei a função dos locamentos, voltando aqui, 5T menos T².
Então, se eu estou aplicando em T mais delta T, isso vai ser 5T mais delta T, menos T mais delta T².
Eu apliquei 5 vezes, o T, que é que no caso tem mais delta T, e depois eu levei tudo isso ao quadrado.
Menos aplicados no próprio T.
Peixe-me dar 5T menos P².
Aqui, é bom te colocar um parentes para não fazer o que eu fiz, que é que eu fico com o sinal de negativo, menos,
aqui ao menos com menos mais.
Então, ter mais ter o quadrado.
E daí, aqui tem algumas coisas que a gente pode já eliminar, porque eu tenho 5T menos 5T.
Vai dar zero.
Tem o menos T², mais T².
Também zero, T² menos T²0.
E aí, o que me resta são, três partes aqui, todas elas têm termo delta T multiplicando.
Então, o que eu posso fazer? Vou colocar o delta T em Evidência.
O que eu vou dar é que eu fico com menos 2T, e aqui menos delta T.
Isso é dividido por delta T.
E aí, delta T dividido por delta T, e aqui, é que eu fico com menos 2T, e aqui, menos delta T.
E aí, delta T dividido por delta T, é igual a 1.
E eu fico só com 5 menos 2T, menos delta T.
Mas, se o meu delta T está indo pra zero, aqui também vai pra zero.
E aí, o que me resta, é 5 menos 2T.
Então, a função da velocidade é 5 menos 2T.
E aí, quando eu aplico no T igual a 2, foi bastante que a gente está querendo, eu chego na velocidade 1 m².
Então, na aula de hoje, é isso, a gente viu a definição de derivada através da equação do reto tangente e de taxa de
variação.
Na próxima aula, a gente vai ver algumas formas mais simples, mais fáceis, a gente está calculando derivada, sem
envolver sempre o limite.
Então, nos vemos na próxima aula.
Até lá!