Atividades sobre Limites

Texto original

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Texto extraído do video Cálculo I - Limites

Olá pessoal, tudo bem? Na aula de hoje, a gente vai ver mais um pouquinho sobre o detralhamento de limites.
Vamos ver algumas propriedades e usar essas propriedades para calcular limites de funções.
Vamos lá? Então, vamos começar a nossa aula de limites com algumas propriedades já envolvendo as operações entre limites.
Então, a gente tem cê, um número real, tendo uma constante, e assumindo que o limite da função f, quando o x tem já é igual a a, e o limite da função g, quando o x tem já é igual a b, a gente tem que o limite da f mais da g, nada mais é da que o limite da f, mais o limite da g.
Então, pode desmembrar esses limites calculais separadamente, depois somar os resultados.
O mesmo acontece com o produto para uma constante, o produto tem duas funções, e também o consciente.
No consciente, é importante a gente observar que ele salvá-lo desde que desse é diferente de zero, que lembra que a gente não pode fazer nenhuma divisão por zero, então b, não pode assumir o valor zero.
Um exemplo para usar essas propriedades é o cálculo do limite quando o x tem já 3, e o x² mais 1 sobre 5.
A gente pode reescrever essa função x² mais 1 sobre 5, como sendo um quinto, vezes x² mais 1.
Dá aí a gente pode usar aquela propriedade da constante vezes a função, e aí nós temos que o limite quando o x tem já 3, de x² mais 1 é igual a 10, e a gente multiplica esse resultado por um quinto que é constante, e obtém o resultado igual a 2.
Então, é um exemplo simples, só para a gente entender como que funciona separar em produto, em soma, como a gente pode calcular o limite usando essas propriedades.
Continuando aqui, a gente vai falar agora do teorema do confronto ou o teorema do sanduíche.
É um resultado muito importante do cálculo.
Eu vou anunciar o teorema explicar o que ele quer dizer, mas a gente vai estar mais preocupado com a consequência desse teorema, com um outro resultado que vai ver logo em seguida.
O teorema do sanduíche diz que se a gente tem três funções, f, g e h, de forma que f seja menor igual a g, e seja menor igual a g.
E que o limite da f e o limite da h quando o x tem já ambos vão para ele, então o limite da g também vai para ele.
E isso sempre considerando x tendendo para o mesmo valor.
Então, a gente tem uma função que é maior ou para que é menor, em algum ponto ali que o x está tendendo, elas têm o mesmo limite.
Então, se tem uma função que está entre elas nesse ponto, quando x tem dentro mesmo ponto, ela também vai ter esse limite.
Então, para ficar um pouco mais claro, tem um gráfico, nós temos a função f em azul e a função h em amarelo, que são a maior e menor função, e tem a função g que é uma função que está entre as duas.
E ainda é terminado o ponto aqui, quando x está tendendo a zero, a gente pode notar que tanto f quanto h, elas estão tendendo a 1.
Nesse ponto aqui, a x está tendendo a zero aqui, a função está tendendo a 1, tanto na função f quanto na função h.
Então, a função g que está entre as duas, quando x tem a zero, ela também vai ter 1.
Então, é isso que quer dizer de grosso modo, assim, o teorema do confronto do sandwich.
E aí, como eu disse, a gente está interessada numa consequência desse teorema, e fica essa consequência disso.
Que se temos duas funções fg com o mesmo domínio de forma que, quando x tem dp, a função f vai para zero, e g é uma função limitada.
Ou seja, o modo de g é ali está limitado por uma constante, a maior que zero.
Então, se o limite da f vai para zero e g é limitada, o produto da função f com a função g é o limite desse produto, quando x tem dp, também vai para zero.
Para ficar um pouquinho mais claro, vamos ver um exemplo.
Esse exemplo aqui, limite quando x tem a zero, do produto entre x e quassando de x.
O limite quando x tem a zero do próprio x, ele vai para zero.
A gente já está dizendo que ele tem de zero.
E o cosena é uma função que é limitada.
É uma função limitada, porque lembra que na aula de funções, a gente viu que a imagem do cosena está entre-me no zoom 1.
Então, ela é limitada.
Ela não passa ali desse teorema.
Sim, então, a função x, quando x tem de zero para zero, e a outra função limitada, quando a gente faz o produto entre as duas, esse resultado vai fazer.
Então, esse é a consequência do teorema do confronto ou teorema do sandwich, que nos interessa nesse momento.
O outro resultado bastante importante é o limite fundamental.
Então, a propriedade do limite fundamental, o teorema do limite fundamental, ela diz que o limite quando x tem de zero, do seno de x sobre x, ele é igual a 1.
Então, sempre, quando x tem de zero, tem que tem de zero a 0 não é a qualquer valor, de seno de x sobre x, ele é igual a 1.
E como que a gente pode aplicar esse limite? Então, eu tenho que, por exemplo, esse limite quando x tem de zero de 3x sobre x.
Posso já aplicar direto e falar que o limite sei lá.
Vale 1, e aí que eu faço com esse 3? Como que eu posso aplicar isso? E isso é de adúbida.
Vocês concordam comigo que, se eu multiplicar o x, ficar aqui embaixo.
Esse x por 3, eu vou ficar com seno de 3x sobre 3x, que é uma coisa que faz mais sentido.
Fica mais próximo aqui da nossa expressão do limite fundamental, porque eu estou aplicando o seno em um valor e dividindo por esse mesmo valor.
A expressão é a expressão.
Então, o que eu tenho que fazer é transformar esse x num 3x.
Mas como que eu posso fazer isso sem alterar o resto da função? A função em si e a propriedade da função? Eu posso multiplicar essa função por 1.
Vocês concordam comigo que, quando eu estém um produto por 1, uma coisa vezes 1 vai ser essa própria coisa.
O meu elemento do produto dá uma explicação.
Então, o que a gente vai fazer aqui é multiplicar o seno de 3x sobre x por 1.
Só que 1 vai escrever na forma de uma fração 3 sobre 3.
3 vezes 3 vezes 1.
Então, essa é uma forma de escrever 1.
Sendo assim, eu posso, então, reescrever como 3 seno de 3x sobre 3x.
Eu posso fazer esse produto aqui entre 3 e x.
E aí, se eu escrever o 3x como 1, por exemplo, eu posso ter aqui, como sendo 3 vezes o seno de 1 sobre 1, quando 1 tem de 0.
E aí, eu fico com essa cara do limite fundamental, que é o que a gente estava buscando.
Então, se a gente transformou isso na cara do limite fundamental, isso daqui vale 1.
E aí, constante 3 vezes 1, a constante vezes o valor do limite, a própria constante que é 3, aqui no caso.
Então, é uma forma de a gente estar aplicando o limite fundamental.
Esses resultados aqui é só para exemplificar que as propriedades do limite, que de 1, no primeiro lado, elas valem também quando x tem de infinito.
Então, só as mesmas propriedades de soma o produto por uma constante, produta entre funções e consente entre funções.
Só para vestir claro que vale quando o distengue é infinito, mais ou menos infinito.
Eu só coloquei mais mesmas, vale também os infinitos também.
E aí, como a gente pode usar essas propriedades, as cerca dos limites, para a gente calcular o limite quando o distengue é infinito, aqui é mais infinito, porque eu falto um maizinho.
Então, aqui a gente tem mais infinito de x⁴ mais x⁴ mais 1, sobre 3x⁴ mais x⁴ mais 1.
Como eu posso fazer isso? A primeira coisa que a gente tem que fazer aqui é colocar em evidência as potências de maior grau, tanto na parte de cima quanto na parte de baixo ali do cociente.
Então, colocando em evidência, aqui, o x⁴ que fez a quinta, né? Fim os dois casos é a maior potência.
Eu fico com x⁴ vezes 1 para dar o x⁴, x⁴ vezes 1 sobre x⁴, e x⁴ vezes x⁴ é 1.
Então, só coloquei o x⁴ em evidência.
A mesma coisa na parte de baixo.
Então, coloquei os dois em evidência, e aí o que aconteceu aqui? Eu pude dividir o x⁴ por x⁴, e resultou em 1 aqui.
E aí eu fico só com o restante da expressão.
E aí eu tenho uma soma e um cociente.
Então, o que a gente aplica aqui? Aquele resultado da aula passada, em que a gente dizia que quando o limite tem de infinito de funções com essa cara aqui, o resultado é todo zero.
Então, sempre que a gente tem um sobre x⁴, o limite quando o x⁴ é infinito, vai para zero.
E aí eu fico só com o que restou aqui, que é um terço.
Que aí eu meu resposta no limite.
A gente estende a mais infinito.
Ferto? E aí mais propriedades que a gente pode ter no infinito, é que quando a gente tem aquelas respostas de soma, e que é o professor, esse é a f e o limite da f e fora mais infinito, o limite da g é para mais infinito.
E aí eu estou fazendo uma soma mais infinito, mais infinito, dá o quê? Mais infinito, vezes mais infinito dá o quê? Então, é só vamos resultados nesse sentido para a gente saber como que resolve essas somas e esses produtos quando o resultado é envolvido.
Então, aqui são os resultados de soma, infinito mais infinito, infinito, menos infinito, mais menos infinito, menos infinito.
Quando a gente tem uma constante mais infinito da própria infinito, nos produtos, aqui também, tem os produtos entre infinitos e constantes de ver infinito.
E aqui a gente tem algumas coisas que estão em determinações.
Que a gente não pode considerar a válida, são endeterminadas.
Então, quando a gente tem, por exemplo, mais infinito, menos infinito.
Eu pego infinito e subtrar infinito.
Vai dar zero, não, eu estou falando com coisas infinitas.
Então, é uma indeterminação.
O zero vezes infinito, infinito sobre infinito, zero sobre zero, o elevado infinito, zero elevado zero, infinito elevado zero.
Todos esses resultados são indeterminações.
Tá? E aí, vamos usar essas propriedades para resolver mais alguns limites.
Então, tem aquele limite quando o x tem, de menos infinito, de 2x ao quadrado, menos 3, sobre x mais 1.
Na mesma forma, do exemplo anterior, coloca a potente de maior grau, aqui, em evitência, na parte de estímulo x quadrado, na parte de baixo x.
E aí, como o 3 sobre x quadrado, e 1 sobre x.
A gente tá com x em muito infinito, esses valores vão para zero, x quadrado, dividido por x, dá o próprio x, dois sobre 1 dá o próprio 2.
E aí, eu tenho, então, o x, que vai para menos infinito, vezes uma constante, e menos infinito, vezes uma constante positiva, continua para menos infinito.
Agora, a gente vai falar um pouquinho sobre limites laterais.
É uma que de ser um limite laterais.
Quando eu falo assim, qual é o limite, uma função, quando essa função, vai para zero.
Quando x desculpa, quando x tem de zero.
E aí, a gente tem, lá na nossa reta, a gente pode tender a zero tanto vindo o infinito positivo ali, até zero, do mais infinito, quando vindo do menos infinito.
Pega dos números positivos, então vai chegando mais próximo de zero.
2, 1, meio, cada vez mais próximos de zero.
A gente pode fazer o mesmo, vindo pelo outro lado.
E aí, esses são os limites laterais.
Eu quero saber o comportamento da função.
Quando x tem de zero à direita, ou pela esquerda.
E aí, nós temos dois casos.
O primeiro caso aqui, então, o que está em verde está tendendo, vindo da direita, tendendo a 2, e o que está em verde está tendendo da esquerda, também tendendo a 2.
E aí, tanto o limite da direita, o ponto da esquerda, eles estão tendendo para o mesmo valor.
Então, os limites laterais são iguais, nesse caso.
Já no caso, dois, mais uma vez a gente tem, o verde vindo pela direita, o vermelho vindo pela esquerda, os dois tendendo a 2, o x tendendo a 2, mas a função está tendendo para valores diferentes.
Então, quando vem pela direita, tendendo um valor, quando vem pela esquerda, que está tendendo a outra, quer dizer que os limites laterais são diferentes.
Então, só dois casos que a gente tem.
E aí, nós temos um teorema que diz o seguinte, que se o limite de f de x quando x tende a l existe, é igual a l, seis summit seus limites laterais eles mistirem e ambos forem iguais a l.
Então, se existir os dois limites laterais, eles forem iguais, então, o limite existe e vai ser igual.
É o limite, quando x tende a 0 pela direita, igual o limite quando x tende a direita, que vem com o limite quando x tende a 0 é igual, igual a esse limite, ele viste, né? E é igual a seus limites.
Daí, um exemplo, que é a função módulo de x sobre x, existe o limite quando x tende a 0, né? Vamos considerar dois casos.
O primeiro caso é quando x maior que 0, né? Se x formar que 0, eu estou tendendo pela direita, e aí o meu óbvio de x sobre x vai ser igual a 1, né? Porque ele já é positivo, então ele está sendo dividido por ele mesmo.
Quando x é menor que 0, o limite vai ser diferente, então, ele vai estar vindo pela esquerda, porque ele vai ser diferente, porque o módulo é o ser aloposto dele mesmo, então ele vai dar menos 1.
Então, os limites laterais de esta função são diferentes.
Esses limites laterais são diferentes, isso que diz é que o limite quando x tende a 0 não existe, que os limites laterais até existem, mas não são iguais.
Então, essa é consequência do uso utilizando limites laterais.
E a aula de hoje fica por aqui, né? A gente encerra aqui um pouquinho do nosso sudo de limites, e nos vemos na próxima aula.
Até lá, pessoal.