Atividades sobre Limites

Texto original

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Texto extraído do video Cálculo I - Limites de uma Função: Introdução

A gente vai dar início na nossa aula hoje, e nós vamos falar um pouquinho sobre o limite.
Então, a gente já vai dar início à noção intuitiva de limite.
Vamos chegar e o limite e vamos fazer alguns cálculos, calcular os limites de algumas funções.
Vamos lá.
Vamos começar a aula de hoje, que vai ser de limite de uma função introdução.
A gente vai introduzir o assunto sobre limites.
Então, o que seria, formalmente, a definição de limite? Então, a gente tem uma função, que está de intervalo para o conjunto dos números reais, e ser um número real dentro desse intervalo AB.
A gente disse que o limite de F, quando X tem de AC, é L, se quando X aproximar de C, os valores de F de X aproximarem do valor L.
Então, se a gente tem uma função, TX, essa questão do X tende a ser, é o X aqui.
A C aproximando de um valor C, o que acontece com a F? Quando X está aproximando de C, e a gente disse que é L, se é a F, não é o que está acontecendo com a F.
Essa é para se aproximando de L.
Quando X está tendendo a C, F de X está chegando em L.
Intuitivamente, para ficar um pouquinho mais claro, a gente tem que o exemplo de uma função X mais um, e o cálculo do limite dessa função quando X tende a um.
Então, aqui, dá para ver pelo trasejado em azul, que a nossa, o nosso X está aproximando de um, aqui, do valor 1.
E quando isso acontece, a F de X está aproximando do valor 2.
Então, o limite quando X tende a um, mais um é igual a 2.
Mas, olha, essa é a mesma valor da F de um.
Então, quer dizer que é só eu ir lá substituir um na minha função, calcular quem F de um e eu vou ter o limite nesse ponto, não necessariamente.
Então, porque a gente tem aqui um exemplo, que é uma função que é X mais um, quando X é diferente de um, e no X igual a 1 é igual a 3.
Então, se a gente fosse pensar pela mesma lógica do slide anterior, nós teríamos que o limite da F de X, quando X tende a um, seria 3.
Mas será que é isso? Não é.
Ela continua a minha função se aproximando do 2, quando X aproxima do, mesmo o ponto 1, a F de um, a F de um, a F, não definida, que é o C, igual a 3.
Então, quando a gente fala de limite, a gente está falando de tendência, está tendendo, ele está se aproximando, não é o valor necessariamente no ponto.
Mas é quanto ele vai, quando a gente está chegando próximo, quando a gente está se aproximando desse valor, fica acontecendo com aquela função, como ela passa comportando.
E aí, o outro exemplo onde cai por terra, a gente vai se pensar, é só substituir o valor naquele ponto, e está tudo certo.
Essa função é F de X, dá da por X² menos 1, sobre X menos 1.
Aqui, a gente tem um problema, se a gente fosse calcular, o limite quando X tende a um, se fosse por aquela substituição, porque a minha função é F de X, ela não está definida em X igual, porque essa substituir essa função aqui por 1, embaixo eu vou ter uma divisão por 0, e a gente já viu que isso não vale, é uma temática que a gente não pode dividir por 0.
Então, como que eu faço para calcular o limite dessa função nesse caso? Bom, vamos fazer a seguinte, já que a gente está falando que limite, é quando está se aproximando, quanto mais profilo aquele valor que está chegando, então, vamos calcular a função nos pontos, muito próximo de 1, cada vez mais próximo de 1.
Então, quando calcular a minha função no ponto 0.
8, eu obtém 1.
8, não 0.
9, não 0.
99, 1.
99, 0.
99, 0.
99, 1.
99, 9.
9.
Bom, olhando aqui para essa tabela, é o que eu começo a notar? E quando o meu X aqui está se aproximando do valor 1, a minha F de X está se aproximando do valor 2.
Então, posso afirmar que o limite, quando o X tem de a onda, essa função é igual a 2.
Tá, mas aí eu vou ter que fazer isso, eu vou ter que fazer uma cabelinha, fazer os calcos, para ver o que vai acontecendo com a função.
Neste caso, é um específico não, porque? Como que a gente vai mostrar que realmente esse limite, dessa função, quando o X tem de a 1, ele é igual a 2.
Quando eu faço aqui, tenho a minha função, a minha equação x² menos 1, eu posso escrever isso aqui, como sendo x menos 1 vezes x mais 1.
Sempre que eu tenho, há o² menos b², eu posso escrever isso como há mais b vezes a menos b.
É uma das propriedades, ai, colinobos, né? E aí, fazendo essa mudança, então, aqui, onde é x² menos 1, eu vou escrever como sendo x mais 1 vezes 1 vezes 1.
Fazendo isso, eu posso dividir o x menos 1 por x menos 1, isso dá 1, o x menos 1 é um som, em mágicamente, a divisão dá 1.
Um vezes x mais 1, sobra só o x mais 1.
E aí, quando o x tem já 1, a gente já viu que esse valor, essa função vai para 2.
Então, essa é uma maneira de a gente calcular limite, quando a gente tem algum consciente, a função não é definida, em algum momento.
E aí, a gente tem um outro exemplo, que vai ser bem estimular a esse, que é o limite quando o x tem de a 2, de x² menos 8, dividido por x menos 2.
E aí, como é que eu faço? De cara assim, como eu posso reescrever esse x² menos 8? Como que a gente pode trabalhar de forma que vai eliminar essa consciente? Aí, a gente pode trabalhar com divisão de polinomos.
Essa parte de divisão de polinomos tem material lá que vocês podem estar acessando, eu não vou entrar a mão de detalhes, mas fazendo uma divisão de polinomos, eu posso reescrever o meu x³ menos 8, como sendo x menos 2, 3x² mais 2x mais 4.
Quando a faça divisão entre o x³ menos 8 pelo x menos 2, eu tenho esse polinomos como resultado.
Então, eu posso fazer essa manipulação.
Daí, então, vou reescrever essa consciente.
Então, o x³ menos 8 vai ser x menos 2, por x² mais 2x mais 4.
Mais uma vez, eu posso fazer a divisão, que vai dar 1, e esse consciente posso reescrever essa maneira.
Vamos x² mais 2x mais 4.
E aí, substituindo aqui no nosso limite, eu não tenho nenhuma restrição, posso substituir direto pelo limite tendo a 2.
E fica com 4 mais 4 mais 4, e a 12.
Além de terem a noção intuitiva de limite, de saber que não é necessariamente direto, já substituir o valor lá no ponto, calcular f do ponto, vai ser o meu limite.
Você já está aprendendo também macetes ali para a gente fazer essa manipulação em polinomes para tentar eliminar esses conscientes que a gente tem alguma indepeninação ou onde a função não é definida.
E daí através do limite, a gente pode definir também uma função continua, o que é a continuidade? É de dizer que uma função f é continuo no ponto p, se p, porque tem seu domínio na f, então tem que pertencer o domínio, e se o limite da f, quando x tem de a p, é f de p.
Então, f é continuo em p, sei somente ser o limite da f, quando x tem de a p, é f de p.
Então lembra aquele primeiro exemplo que entitinha do x mais 1, e exatamente, a gente teve que o limite quando x tem de a 1, da f de x era f de 1, que é igual a 2.
E aí a função é continuo.
E no segundo caso, que não deu o limite da f no ponto, quando x tem de a 1, não era igual a f de 1.
Então, te falo que essa função é descontino, mas graficamente, sim, para a gente olhar a diferença de uma função continua descontino, nesse caso, ela é contina.
A gente disse que, se eu for fazer o gráfico dessa função, e conseguir desenhar ele todo, sem tirar, por exemplo, a caneta do visual, ela é uma função continua, ela está continuando.
Agora, se eu tenho que fazer o gráfico igual a nesse caso, aí eu vou parar, eu for um pontinho que infima, e para continuar a função que não dá, aí ela já não é contínua, naquele determinado ponto.
Função polinomial, trigonométrica, exponencial e logaritmo.
E todos elas são funções contínuas, e todas as maneiras são funções contínuas.
Então, só para a gente saber que essas funções delementárias ainda continuam da parte.
E aí a partidista a gente pode entrar numa questão.
Se a gente tem uma função, a função é definida.
É esse consciente, se x for diferente de 2, então x² menos 4 por x menos 2, e ela se x for igual a 2, porque aqui em cima a gente não tem ela definida no x igual a 2, não pode definir ela na primeira parte.
Então, como que eu que tenho aqui em valor de L para que essa função seja contínua? Então, para eu fazer isso, só falo com o lignite quando x tem de a 2, o valor que dá esse lignite, vai ser uma valor de L.
Para você contínua o lignite quando x tem de aquele ponto, tem que ser igual a f naquele ponto.
Então, aqui fazendo só aquela manipulação, a primeira que a gente fez, do alco-adrado, menos b², aqui eu obtém um, fico com x mais 2, que é 4, e aí eu obtém esse valor de L, e sei qual o que é o valor para que essa função seja contínua.
E a gente pode falar aqui, bem um pouquinho sobre o lignite no infinito, que são os lignites quando x tem de infinito, não tem de só um ponto específico ao número real, e está acontecendo com a minha função quando x tem de preenfinito.
Na primeira aula eu falei alguma coisa bem breve sobre isso, então, por exemplo, a função 3x, quando o meu x está aqui em do preenfinito, e que está acontecendo com a função, está entendo com infinito.
A função menos 15x ao cubo, ela está ainda para menos infinito, o meu x está caminhando aqui para infinito, e o meu y está indo para menos infinito, para baixo, infinitamente, mas no negativo.
E a função aqui, a escúbica de x², por exemplo, quando x está caminhando com infinito, está bem tendo com infinito.
Então, a gente pode calcular o limite tanto, tendendo para um ponto específico, ou ponto para infinito.
E aí, a gente tem algumas propriedades, alguns resultados sobre o limite, no infinito, e o limite infinito, dois casos.
A gente tem a sensibilidade que, o limite de uma função, quando x tem de acelho, vai para infinito, então, o limite de um sobre fdx, dessa função, vai para zero.
Então, por exemplo, a gente viu aqui, essas funções, que são polilomiais, quando x tem de infinito, elas vão para infinito também.
E aí, quando a gente tem um sobre essas funções, elas vão para zero, quando x tem de infinito.
Por quê? Porque eu tenho aqui uma coisa que está crescendo muito, eu sei que ela está explodindo ainda para infinito.
E aí, quando a faça essa divisão de um por uma coisa que está cada vez, é maior, ela está ficando cada vez menor.
Ela vai indo cada vez mais para zero.
Então, quando o limite, quando x tem de infinito de um sobre x, ela vai para zero.
A mesma coisa com qualquer expressão dessa forma, um sobre x elevado a n, porque a gente viu ali na questão da função polilomial.
Então, quando o que está aqui em baixo, é uma coisa muito grande, e aqui em cima está uma coisa bem menor.
Então, tem um, então, o valor fixo, e o que está aqui embaixo, está indo cada vez mais para infinito.
Então, essa divisão, ela vai para zero.
Serto? É, só mais alguns exemplos.
Então, eu tenho aqui um outro limite também, do para infinito, e aí eu tenho um sobre uma função polilomial.
Então, mais uma vez, o que eu tenho aqui embaixo, eu disse, padrado menos 5x, ele, quando x é para infinito, ele também vai para infinito, ele cresce muito.
Então, sobre essa expressão, que está indo para infinito, ela vai para zero, mesmo caso aqui, um sobre x ao cubo, mais 3x mais 1, também é um polinômio.
Então, ele está indo quando x é infinito, essa expressão também vai para infinito, e um sobre essa expressão, então, é igual a zero.
É, na aula de hoje, então, em TV, já essa introdução, um pouquinho sobre limite, da de maneira intuitiva, e alguns resultados, um pouquinho sobre infinito.
Eu espero que tenham gostado, bons estudos, e nos vemos na próxima aula.
Até mais!