Do que se trata o conteúdo? O conteúdo aborda a introdução e estudo de funções de uma variável, incluindo definições, domínio, imagem, gráficos e propriedades de funções elementares.
Principais assuntos:
Ponto de maior atenção: A importância de identificar o domínio e a imagem de cada função, especialmente em funções como a exponencial e modular, onde há restrições.
Conclusão: O conteúdo fornece uma base teórica e prática para compreender funções matemáticas, suas propriedades e representações gráficas, essenciais para o estudo do cálculo.
Definição de função como regra que associa cada número real x a outro número real y de forma única. Destaca a variável independente (x) e dependente (y), além de domínio e imagem.
Exemplos incluem função constante (f(x) = c), linear (f(x) = ax + b), quadrática (f(x) = ax² + bx + c), modular (f(x) = |x|), exponencial (f(x) = a^x) e logarítmica (f(x) = log_a(x)).
Representação gráfica de funções como pares ordenados (x, f(x)) no plano cartesiano. Destaca a relação entre domínio, imagem e comportamento gráfico.
Funções seno, cosseno e tangente, suas propriedades, gráficos e relações trigonométricas fundamentais, como sen²x + cos²x = 1.
Definição de funções compostas (f(g(x)) ou g(f(x))), condições para formação e cálculo com exemplos práticos.
Qual é o domínio da função f(x) = 1/x?
Qual é a imagem da função f(x) = x²?
Qual é a propriedade fundamental da função seno?
Qual é a imagem da função f(x) = log(x)?
Apenas de ser a sua vida.
Olá pessoal, tudo bem? Então, vamos começar a nossa aula de cálculo 1 hoje.
A gente já fazia um sudo de algumas funções elementares, verificar algumas propriedades dessas funções, algum comportamento específico de cada uma delas, e estudar um pouquinho dos seus gráficos.
Vamos lá então.
Então, a nossa aula de hoje é de introdução e estudos de funções de uma variável.
O que é uma função? Então, a função real de uma variável real, ela é uma regra, uma relação, a gente vai chamada enominar a Ndf, que é cada número real x, pertei sem tear, vai ser um sudo de cor de 1, por isso, reais, vai estar associando outra número real y de maneira única e sim acessão.
Então, a gente denomina f de a até b, como sendo, os valores x pertei sem tear, tal que são relacionados a y e igual a f de x pertei sem tear, a b.
E aí, quando a gente fala de função, a gente sempre fala de dependência.
Então, a gente denomina x como variável independente y como variável dependente, porque y depende de x.
Da cada valor de x que eu assumi aqui, na minha função, eu vou ter um valor diferente de y, por isso que y é variável que depende de x.
E aí, a gente pode definir o domínio à imagem dessas funções.
A gente chama o conjunto a, todos os conjuntos dos valores de x que podem ser aplicados nessa função, como sendo o domínio da função, que a gente vai denotar por d de f.
E a gente denomina como imagem de f, o conjunto i m de f, que são os valores de y, tal que, quando pegue todo o meu nome, os valores de x, e aplico na função, eu usou bitêm.
Então, y vai ser cada valor de x aplicado na função, que vai me dar cada valor de x.
E aí, um exemplo, é a função que a gente vai associar cada valor real x ao seu universo, ou seja, a gente vai chamar de y, na f de x, vai ser um sobre x.
Aqui, nesse caso, nós temos o domínio da função como sendo os reais menos o zero, assim como a imagem da função.
Por que? Começando pelo domínio, o domínio da função é a diferente de zero, porque o zero não está definido aqui nessa função.
Eu não posso ter uma divisão por zero, eu não posso fazer um sobre zero.
Então, o x igual a zero não pode ser aplicado nessa função f.
E a imagem da função também é os reais.
Diferente de zero é menos zero, porque qualquer valor de x, e eu colocar aqui, eu não consigo obter zero dessa divisão.
Sempre vai ser diferente de zero.
Então, o zero não está nem no domínio e nem na imagem da minha função.
O outro exemplo é essa função, x menos 1, se x marquiu 1, 1, se x igual 1, e x mais 1, se x menos 1.
Aqui, a gente tem como o domínio todos os números reais, porque a gente está englobando os fios maior com o menor que 1 igual.
E quando eu faço o aplico, esses valores na minha função, a partir dessas relações aqui, eu obtengo também o contém por também todos os números reais.
Então, por isso, tanto domínio, quanto a imagem dessa minha função, é dada pelo conjunto dos números reais.
Para cada função que a gente tem, o parzinho ordenado, que a gente pode fazer de x, é fdx, no plano é de 2, vai nos dar o gráfico dessa função.
Então, o gráfico de f vai ser o conjunto dos pares x, fdx, correspondência a cada x domínio.
Então, pega o cada x domínio, aplico a função, levo ele em x, e tem obtém o gráfico dessa função.
E é importante a gente saber como se comporta, como se comporta os gráficos da função, porque eles vão nos formar várias propriedades.
A gente pode verificar várias coisas sobre a função, só olhar para o gráfico.
E aí, a gente vai estar falando aqui de algumas funções implementares, e vai estar exemplificando com os gráficos para a gente ter uma noção de como se comporta cada uma das funções.
O primeiro exemplo é aquele exemplo anterior da função sobre x.
Então, aqui pelo gráfico da precedente, a questão do domínio não contemplar o zero e nem a imagem, que é o .
00, que o gráfico não passa por esse ponto, ele não aplica nem o .
00 e nem passa pelo .
00.
Então, por isso aqui a gente consegue ver a questão do domínio da imagem, não contemplar em um valor zero.
Aqui a gente tem a função constante, a função constante é dada por um número real.
Então, por exemplo, fdx, igual a 1, isso é uma função constante.
O domínio, vai ser toda a reta dos números reais, não tem nenhuma repressão.
E a imagem, versessivamente, o valor c, porque vamos porque tem um valor 2, a minha função seja fdx igual a 2, e aí, único valor em x, contem plada ali, eu levo qualquer valor de x sempre para 2, porque a imagem vai ser sempre a constante.
E nós temos a função linear, dada por x mais d, que é uma função, sempre uma reta, e aqui tem um exemplo que a função fdx igual a x, que leva a x n, ele mesmo.
Então, cada parzinho ordenado, a gente for fazer, cada parzinho, a gente coloca ali para representar o nosso gráfico, vai ser sempre o número com ele mesmo.
Com 1, 2, 2, 3, 3, esses civamentos.
E aí, tanto domínio quanto a imagem dessa função, vai ser formada pelos números reais.
A gente vai ver que funções de tipo polinomial, elas não têm restrição tanto um domínio, quanto na imagem.
Ah, não sei que elas sejam aplicadas, no formato de consciente, ou na raiz, e aí já entra em outro tipo de função.
Aqui nós temos a função quadrática, a x quadrado, mais bx mais c, que a gente lembra bem a equação do segundo grau, a fórmula de báscara, e aqui tem um exemplo dessa função, que é a função x quadrado.
O domínio dessa função é todo mundo reais, então não tem restrição, como eu falei, não tem restrição quanto o domínio, só que, em este caso a minha imagem, ela vai ser formada só pelos reais de tipo.
Então, porque todo o número que eu elevar ao quadrado, ele sempre vai ser um valor positivo como resposta, que seu positivo vai cortinar ele mesmo, negativo, livre positivo, então por isso que a minha imagem sempre é com o cima, formado pelos reais positivos.
E essa concavidade da parábola, porque se é uma parábola, pode ser determinada pelo sinal da minha função.
Então, vamos supor que eu tenha aqui uma fgx igual a menos x quadrado.
Eu tivesse essa função, ela teria essa cara.
Então, a minha concavidade da parábola seria para baixo.
Então, o sinal que está acompanhando o quadrado, o que que vai indicar, essa concavidade da minha parábola está para cima, ou está para baixo.
Qualquer função do tipo x elevada p, onde p é o número par, ela vai ser sempre ter a imagem no conjunto dos reais positivos.
Porque sempre a gente vai fazer o processo de multiplicação do número por ele mesmo, um número de vezes par, que vai resultar no número positivo.
Aqui tem um exemplo de função cúpica, seguindo a mesma expressão da função quadrática, agora, cúpico.
E aqui tem um exemplo fgx igual a x ao cubo.
Neste caso, nós temos tanto domínio quanto a imagem da função, como sendo os números reais.
E aí vem um outro exemplo de função que leva sempre um número positivo, que é a função modular, é o módulo de x, que com módulo de x faz.
Se o número é positivo, ele continua sendo ele mesmo.
Então, ele leva ele mesmo, ele for positivo e leva no oposto, ele for negativo, leva menos ele.
Então, um valor 1, elevado no 1, 5, elevado no 5, menos 1, no 1, menos 5, por 5.
Então, por isso que a função módulo vai ter como imagem também o conjunto dos reais positivos.
Aí a função exponencial, se não exponencial, é colocado durante a pandemia, de sponencial do coronavírus, é uma função dada por a elevada x, aonde há pretensios reais.
É uma função particular, desse tipo de função, é a função elevada x, o que é que ele é um número real, é um número de oil, ele aproximadamente 2,71.
Então, ela é uma função, de uma forma, número real elevada x, a gente pode ver que uma cor do exponencial, que ela cresce muito rápido, eu domino dessa função, é dada por os módulos reais, e a imagem é dada por os reais positivos, diferente de zero.
A gente nunca vai encontrar ali, um valor que quando pega o número real, ele vai levar a ele, ele vai dar igual a zero.
E sempre vai ser um valor positivo.
A função da função exponencial, então, com o coronavírus, aqui tem um gráfico, dos casos confirmados de covid, no Brasil, de 23 fevereiras, 7 de julho, e aí só para fazer, a relação parece muito, né? O verdadeiro.
Então, para o cima, por uma curva, a curva vai ser uma curva exponencial, gráfico exponencial.
Aqui tem algumas propriedades, da função exponencial, quando nós temos bases igual aqui no produto, que conceba a base somos expoentes, a elevada x elevada y, que soma de fã do produto, aqui dos expoentes, a gente pode fazer a distributiva, quando tem um produto, e aqui são dos propriedades, que vão falar se a função vai ser crescente ou decrescente.
E a for um valor maior que 1, então ela vai ser crescente, então vai manter a relação aqui, x menor que y, a fã de x menor que a de y.
Agora, se a forma fumçora, um valor que tiver entre zero, ela já vai ser crescente, né? Quando x for menor que y, a x vai ser maior que a de y.
E a partir da função exponencial, a gente pode definir a função logaritmica, que é inversa da função exponencial.
Então, a gente vai denominar logaritmo de b na base a, o número real x, que é o que log de b na base a, seja igual a x.
Então, como a gente faz para resolver esse logaritmo? Que é a elevada a x, seja igual a b.
E isso daqui é a cara exponencial, por isso que elas são funções inversas.
Alguns detalhes, o logaritmo de a de b na base a, ele está definido que a b maior que zero, a maior que zero é a diferente de y.
E quando a gente tem a base do logaritmo igual ao x, a gente vai indicar essa função como sendo ln.
Então, o ln de x, nada mais é que o log de x na base e, e por isso que, quando quer encontrar quem é esse valor, ele vai ser e elevada a y.
E o log de x é igual a x.
Então, são funções inversas.
Por ser em funções inversas, o domínio de y é imagem do outro e de civersas.
Na função exponencial, nós tínhamos a imagem definida como os reais positivos diferentes de zero.
E aqui nós temos o domínio, e a mesma coisa, o oposto.
E nós temos as funções trigonométricas.
Vamos começar pelo seno e pelo coseno, e temos as propriedades dessas funções.
Teno de zero é zero, coseno de zero é um.
Temos essas relações entre o seno de a menos b e coseno de a menos b.
E temos uma relação importante trigonomética, que diz que seno²t, mais coseno²t, é igual a 1.
Porque ela é importante, porque através dessa relação aqui, a gente pode definir uma equação de uma circunferência no círculo, nosso círculo trigonométrico, de raio 1.
E é a partir desse círculo trigonométrico de raio 1, que a gente pode definir os valores de seno e coseno.
Então, vocês têm esse ponto p aqui, dado por coseno de t, seno de t, no círculo trigonométrico, a gente obtém esses dois triângulos etangulos aqui, tem esses ângulos.
Essa distância, é dada pelo coseno e essa aqui é dada pelo seno.
Porque a gente tem relações entre o ângulo retângulo em relação ao seno e coseno.
E aqui, a gente define os valores, nesses ângulos, os valores de seno e coseno, através do círculo trigonométrico.
E daí, algumas propriedades sobre algumas curiosidades de comportamento da função seno e coseno, aquela ângulos interior do 2p, que diz que é dizer que de 2p em 2p, ela se repete.
Então, eu faço uma curva, tem o 2p, eu faço a mesma curva, dá mais 2p, eu repito a mesma curva.
E a ângulos tem o domínio igual ao conjunto de números reais e a imagem, em do de menos 1, isso se derve pelo fato do nosso círculo trigonométrico, ou seja, raio 1, é definido que os valores são sempre limitados a menos 1, e é que a gente tem o gráfico da função, como se tivesse aqui igual a 1, igual a menos 1, e o gráfico está compendido aí dentro.
E aí, note que a função se repete, o comportamento tanto do seno, quanto do círculo seno, nessas curvas se repete em ter e odicamente.
E aí, a partir dessa função seno e coseno, a gente pode definir a trajente, como seno e x sobre coseno e x.
Ao contrário do seno e do coseno, o domínio não é formado por todos reais, porque eu tenho alguns valores aqui, onde a minha função não é definida, que é quando coseno é igual a zero, então, esses valores aqui indicam os pontos aonde coseno e x é alisero, então, onde a tangente não pode definida.
E a imagem, no caso, é definida pelo conjunto de os números reais, e a tangente tem período p.
E aí, ela sempre para naonde o coseno seria igual a zero, e se repete.
Aí, para, se repete, dessa maneira aqui.
Então, esses valores aqui onde não são definidos, é aonde o coseno, do que o valor vale a alisero.
A partir dessas funções, seno e coseno, e da tangente, a gente tem outros funções, é secante, consecante, conchante, conchante, mas eu vou estar falando só dessas três aqui na aula, para não se extender muito.
E aí, a gente pode definir também o que é uma função composta.
Então, se nós temos duas funções fg, que são funções reais, é definido de a tb e gdcad, a imagem, se a imagem da f estiver contida no domínio da g, note que isso aqui é importante, você pode falar de composta, se satisfazer essa condição.
Então, se a imagem da f estiver contida no domínio da g, então, a gente pode calcular a gdf de x e a composta gbf.
A mesma coisa ocorre se eu tiver a imagem da g contida no domínio da f, e eu posso ter a f da gdx, que a fb.
Então, para exemplificar, tem duas funções fd por consenso de x, a gd por 2x, e aí eu tenho o domínio à imagem dessas duas funções, porque é importante, eu tenho o domínio à imagem, porque eu tenho que verificar essa condição aqui, se a imagem está contida no domínio.
Então, para eu calcular o gbf, é a imagem da f, que a gente já viu que é menos 1, tem que estar contida no domínio da g, e cá, porque o intervalo de menos 1 a 1 está contida na reta dos números reais, e o oposto também vale, porque a imagem da g também está contida no domínio da f, que ambas estão dadas pelo conjunto dos reais, eles são iguais, são contém o outro.
E é como que eu faço o cálculo dessa função composta, então, o gbf vai ser g da f de x, então, eu vou aplicar o coseno aqui na g, então, o gbf, ela pega o x e leva em 2x, então, ela vai pegar o coseno de x e levar em 2 coseno de x, é isso que ela faz, aplica aqui a função.
A mesma coisa na f bola g, então, eu vou aplicar a f da g de x, a g é 2x, o que a minha ff, ela pega o x e aplica o coseno, então, eu fico o coseno de x, e aí, então, eu vou fazer a minha f de 2x, vou aplicar o vai ser coseno de 2x, então, chegamos ao pérano da aula de hoje, espero que tenham gostado da aula, e nos vemos na próxima aula, até mais.