Resumêra

1. Qual o valor do limite \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) usando o Teorema do Confronto?

1.50 pontos Média

Resposta correta: C) 1

Usando \(\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\) e \(\lim_{x\to0}\cos x = 1\), o limite é 1.

2. Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}\) usando L'Hôpital.

2.50 pontos Difícil

Resposta correta: A) 1

Derivando numerador e denominador: \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}}{1}=e^{0}=1\).

3. Considere \(f(x)=x^{3}-3x+2\). Determine os pontos críticos e classifique-os usando o teste da segunda derivada.

2.50 pontos Difícil

A) \(x=1\) (máx), \(x=-2\) (mín) B) \(x=1\) (mín), \(x=-2\) (máx) C) \(x=1\) (mín), \(x=-1\) (máx) D) \(x=0\) (máx), \(x=2\) (mín) E) Não há pontos críticos

Resposta correta: C) \(x=1\) (máx), \(x=-1\) (mín)

Derivada primeira: \(f'(x)=3x^{2}-3\). Zeros: \(x=\pm1\). Segunda derivada: \(f''(x)=6x\). Em \(x=1\), \(f''(1)=6>0\) → mínimo? Na verdade \(>0\) indica concavidade para cima → mínimo. Em \(x=-1\), \(f''(-1)=-6<0\) → máximo. Portanto a classificação correta é \(x=1\) mínimo e \(x=-1\) máximo, que corresponde à alternativa C.

4. Avalie a integral imprópria \(\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx\).

3.50 pontos Extrema

A) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\) B) \(\displaystyle\pi\) C) 1 D) O integral diverge E) 0

Resposta correta: A) \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

Este é o famoso integral de Dirichlet. Pode‑se demonstrar usando a transformada de Fourier ou o limite de \(\int_{0}^{A}\frac{\sin x}{x}dx\) quando \(A\to\infty\), obtendo \(\pi/2\).

Revisão de Cálculo I

Questões sobre o assunto