Resumêra

1. Qual das alternativas abaixo representa corretamente a substituição \(u = x^{3}+x^{2}+1\) para a integral \(\int (3x^{2}+2x)e^{x^{3}+x^{2}+1}dx\)?

1.50 pontos Média

A) \(du = (3x^{2}+2x)dx\) e a integral torna‑se \(\int e^{u}du\). B) \(du = (3x^{2}+2x)dx\) e a integral torna‑se \(\int u\,du\). C) \(du = (3x^{2}+2x)dx\) e a integral torna‑se \(\int e^{u}du\) + C. D) \(du = (3x^{2}+2x)dx\) e a integral torna‑se \(\int u\,e^{u}du\). E) Nenhuma das anteriores.

Resposta correta: C) \(du = (3x^{2}+2x)dx\) e a integral torna‑se \(\int e^{u}du\) + C.

Ao substituir, a integral simplifica para \(\int e^{u}du = e^{u}+C\), que ao voltar a \(x\) dá \(e^{x^{3}+x^{2}+1}+C\).

2. Ao aplicar integração por partes em \(\int x e^{2x}dx\), qual é o termo que aparece subtraído da expressão final?

2.50 pontos Difícil

A) \(\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{2}dx\) B) \(\displaystyle \frac{e^{2x}}{2}\) C) \(\displaystyle \frac{x e^{2x}}{2}\) D) \(\displaystyle \frac{e^{2x}}{4}\) E) Nenhum dos termos acima.

Resposta correta: A) \(\displaystyle \int \frac{e^{2x}}{2}dx\)

Depois de escolher \(u=x\) e \(dv=e^{2x}dx\), a fórmula dá \(\frac{x e^{2x}}{2} - \int \frac{e^{2x}}{2}dx\).

3. Qual é a área exata limitada por \(y = -x^{2}+x\) e o eixo \(x\) entre suas interseções?

2.50 pontos Difícil

A) \(\displaystyle \frac{1}{3}\) B) \(\displaystyle \frac{1}{4}\) C) \(\displaystyle \frac{1}{6}\) D) \(\displaystyle \frac{1}{2}\) E) \(\displaystyle 0\)

Resposta correta: C) \(\displaystyle \frac{1}{6}\)

Integrando \(\int_{0}^{1}(-x^{2}+x)dx\) obtém‑se \(\frac{1}{6}\) unidades de área.

4. Na integral \(\displaystyle\int \sqrt{3x+5}\,dx\), após a substituição \(u=3x+5\), qual é o fator que multiplica a integral em \(u\) antes de integrar?

3.50 pontos Extrema

A) \(\displaystyle \frac{1}{2}\) B) \(\displaystyle \frac{1}{3}\) C) \(\displaystyle 3\) D) \(\displaystyle \frac{2}{3}\) E) Nenhum dos anteriores.

Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

De \(du = 3dx\) segue‑se \(dx = \frac{1}{3}du\); portanto a integral fica \(\frac{1}{3}\int u^{1/2}du\).

Integrais: Substituição, Integração por Partes e Cálculo de Área

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