Resumêra

1. Seja \(f(x)=(x+4)\cos(3x)\). Qual é a derivada correta?

1.50 pontos Média

A)\(-\sin(3x)+3(x+4)\cos(3x)\) B)\(\cos(3x)-3(x+4)\sin(3x)\) C)\(\cos(3x)+3(x+4)\sin(3x)\) D)\(-\cos(3x)-3(x+4)\sin(3x)\) E)\(3\cos(3x)- (x+4)\sin(3x)\)

Resposta correta: B) \(\cos(3x)-3(x+4)\sin(3x)\)

Aplicando a regra do produto: \((x+4)'\cos(3x)+(x+4)(\cos(3x))' = 1\cdot\cos(3x)+(x+4)(-3\sin(3x))\).

2. Qual é a derivada de \(g(x)=\dfrac{3x^{2}+1}{x}\) simplificada?

2.50 pontos Difícil

A)\(3-\dfrac{1}{x^{2}}\) B)\(3+\dfrac{1}{x^{2}}\) C)\(\dfrac{6x^{2}-3x^{2}-1}{x^{2}}\) D)\(\dfrac{6x-3x-1}{x^{2}}\) E)\(\dfrac{3x^{2}+1}{x^{2}}\)

Resposta correta: A) \(3-\dfrac{1}{x^{2}}\)

Usando a regra do quociente obtém‑se \(\frac{6x^{2}-3x^{2}-1}{x^{2}} = \frac{3x^{2}-1}{x^{2}} = 3-\frac{1}{x^{2}}\).

3. Para a função \(h(x)=x\,e^{x^{2}}\), qual a expressão correta para \(h'(x)\)?

2.50 pontos Difícil

A)\(e^{x^{2}}+2x^{2}e^{x^{3}}\) B)\(e^{x^{2}}-2x^{2}e^{x^{2}}\) C)\(e^{x^{2}}(1+2x^{2})\) D)\(2xe^{x^{2}}+x^{2}e^{x^{2}}\) E)\(x\,e^{x^{2}}+2x\,e^{x^{2}}\)

Resposta correta: C) \(e^{x^{2}}(1+2x^{2})\)

Aplicando a regra do produto: \(1\cdot e^{x^{2}} + x\cdot (2x e^{x^{2}})=e^{x^{2}}+2x^{2}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}(1+2x^{2})\).

4. Considere \(f(x)=8x^{3}+12x^{2}-1\). Qual das afirmações abaixo está correta?

3.50 pontos Extrema

A)Existe um máximo local em \(x=0\) e um mínimo local em \(x=-1\). B)Existe um mínimo local em \(x=0\) e um máximo local em \(x=-1\). C)Não há pontos críticos. D)Existe um ponto de inflexão em \(x=0\). E)O gráfico é sempre crescente.

Resposta correta: B) Existe um mínimo local em \(x=0\) e um máximo local em \(x=-1\).

Primeira derivada \(f'(x)=24x(x+1)\) → zeros em \(-1\) e \(0\). Segunda derivada \(f''(x)=48x+24\): \(f''(0)=24>0\) (mínimo), \(f''(-1)=-24<0\) (máximo).

Derivadas: Regras, Exercícios e Aplicações

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