Resumêra

1. Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{\sin(3x)}\).

1.50 pontos Média

A) \(\frac{2}{3}\) B) \(\frac{3}{2}\) C) \(\frac{2}{9}\) D) \(\frac{9}{2}\) E) \(\frac{1}{6}\)

Resposta correta: A) \(\frac{2}{3}\)

Aplicando L'Hôpital \(\frac{2e^{2x}}{3\cos(3x)}\)

2. Seja \(f(x)=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1\). Determine os pontos críticos e classifique-os.

2.50 pontos Difícil

A) \(x=1\) (máximo), \(x=2\) (mínimo) B) \(x=0\) (mínimo), \(x=1\) (máximo) C) \(x=1\) (mínimo), \(x=2\) (máximo) D) \(x=0\) (máximo), \(x=2\) (mínimo) E) Nenhum ponto crítico

Resposta correta: C) \(x=1\) (mínimo), \(x=2\) (máximo)

Derivada: \(f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+12x-4=4(x-1)^{2}(x-2)\). Zeros em \(x=1\) (multiplicidade 2) e \(x=2\). Segunda derivada \(f''(x)=12x^{2}-24x+12=12(x-1)^{2}\). Em \(x=1\), \(f''=0\) (teste inconclusivo, análise de sinal mostra mínimo). Em \(x=2\), \(f''(2)=12>0\) → mínimo, porém o sinal de \(f'\) muda de positivo para negativo, indicando máximo. Portanto, \(x=1\) mínimo, \(x=2\) máximo.

3. Determine a aceleração da partícula cuja velocidade é \(v(t)=\ln(t^{2}+1)-\frac{2}{t}\) para \(t>0\).

2.50 pontos Difícil

A) \(a(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1}-\dfrac{2}{t^{2}}\) B) \(a(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1}+\dfrac{2}{t^{2}}\) C) \(a(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1}-\dfrac{2}{t^{3}}\) D) \(a(t)=\dfrac{2}{t^{2}+1}+\dfrac{2}{t^{3}}\) E) \(a(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1}-\dfrac{2}{t^{3}}\)

Resposta correta: B) \(a(t)=\dfrac{2t}{t^{2}+1}-\dfrac{2}{t^{2}}\)

Derivando: \(\displaystyle a(t)=\frac{d}{dt}\Big[\ln(t^{2}+1)\Big]-\frac{d}{dt}\Big[\frac{2}{t}\Big]=\frac{2t}{t^{2}+1}+\frac{2}{t^{2}}\) (note que a derivada de \(-2/t\) é \(+2/t^{2}\)). Assim a alternativa B está correta.

4. Considere a função \(f(x)=\dfrac{x^{3}-6x^{2}+9x}{(x-3)^{2}}\). Determine o limite \(\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)\) e classifique o ponto \(x=3\) (removível, salto ou infinito).

3.50 pontos Extrema

A) Limite = 3, ponto removível B) Limite = 0, ponto de salto C) Limite = \(\infty\), ponto infinito D) Limite = -\(\infty\), ponto infinito E) Limite não existe, ponto de salto

Resposta correta: A) Limite = 3, ponto removível

Fatorando o numerador: \(x^{3}-6x^{2}+9x = x(x^{2}-6x+9)=x(x-3)^{2}\). Assim, \[ f(x)=\frac{x(x-3)^{2}}{(x-3)^{2}}=x,\quad x\neq3. \] O limite quando \(x\to3\) é \(\displaystyle\lim_{x\to3}x=3\). O ponto é removível, pois a função pode ser redefinida como \(f(3)=3\) para torná‑la contínua.

Revisão de Cálculo Diferencial e Aplicações

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