Resposta correta: B) \( \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C \)
Solução:
Fazendo a substituição \( u = x^2 + 1 \), temos:
\( du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du \)
Substituindo na integral:
\( \int x(x^2 + 1)^5 dx = \int u^5 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^5 du \)
\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^6}{6} + C = \frac{u^6}{12} + C \)
Retornando para a variável original:
\( = \frac{(x^2 + 1)^6}{12} + C \)
Resposta correta: A) \( \frac{1}{4} \)
Solução:
Fazendo a substituição \( u = \sin x \), temos:
\( du = \cos x dx \)
Quando \( x = 0 \), \( u = \sin(0) = 0 \)
Quando \( x = \frac{\pi}{2} \), \( u = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)
A integral se transforma em:
\( \int_0^1 u^3 du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \)
Resposta correta: C) \( x = 3\sin\theta \)
Explicação:
Para integrais da forma \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} \), a substituição apropriada é:
\( x = a\sin\theta \) onde \( a = 3 \) neste caso.
Com \( x = 3\sin\theta \), temos:
\( dx = 3\cos\theta d\theta \)
\( \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = \sqrt{9(1-\sin^2\theta)} = \sqrt{9\cos^2\theta} = 3|\cos\theta| = 3\cos\theta \)
(assumindo \( \cos\theta > 0 \) no intervalo apropriado)
Portanto, a integral se torna:
\( \int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C \)
Retornando para \( x \): \( \theta = \arcsin(\frac{x}{3}) \)
Resposta correta: A) \( \frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)
Solução Completa:
Fazendo a substituição \( x = \sin\theta \), temos:
\( dx = \cos\theta d\theta \)
\( \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta \)
A integral se torna:
\( \int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \cdot \cos\theta d\theta = \int \sin^2\theta d\theta \)
Usando a identidade \( \sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2} \):
\( \int \frac{1-\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2}\int d\theta - \frac{1}{2}\int \cos(2\theta) d\theta \)
\( = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} + C \)
Como \( \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta = 2x\sqrt{1-x^2} \):
\( = \frac{\theta}{2} - \frac{2x\sqrt{1-x^2}}{4} + C = \frac{\theta}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)
Retornando \( \theta = \arcsin(x) \):
\( = \frac{\arcsin(x)}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C \)