Resumêra

1. Qual das alternativas abaixo representa corretamente a escolha de \(u\) e \(dv\) para a integral \(\displaystyle\int x e^{x}\,dx\) ?

1.50 pontos Média

A) \(u=e^{x},\; dv=x\,dx\) B) \(u=x,\; dv=e^{x}\,dx\) C) \(u=1,\; dv=x e^{x}\,dx\) D) \(u=e^{x},\; dv=e^{x}\,dx\) E) \(u=x^{2},\; dv=e^{x}\,dx\)

Resposta correta: B) \(u=x,\; dv=e^{x}\,dx\)

Derivando \(u\) obtem‑se \(du=dx\) e integrando \(dv\) resulta \(v=e^{x}\). Substituindo na fórmula obtém‑se \(\int x e^{x}dx = x e^{x}-\int e^{x}dx\).

2. Ao aplicar a integração por partes duas vezes na integral \(\displaystyle I=\int e^{x}\cos x\,dx\), chega‑se à equação \(2I=e^{x}(\sin x+\cos x)\). Qual passo foi essencial para obter essa equação?

2.50 pontos Difícil

A) Escolher \(u=e^{x}\) e \(dv=\cos x\,dx\) na primeira aplicação. B) Substituir \(\int e^{x}\sin x\,dx\) por \(-e^{x}\cos x+I\) após a segunda aplicação. C) Utilizar a identidade trigonométrica \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\). D) Aplicar a regra de L'Hôpital à integral. E) Trocar a ordem de integração e diferenciação.

Resposta correta: B) Substituir \(\int e^{x}\sin x\,dx\) por \(-e^{x}\cos x+I\) após a segunda aplicação.

Depois da segunda aplicação obtém‑se \(\int e^{x}\sin x\,dx = -e^{x}\cos x + I\). Substituindo na expressão original de \(I\) elimina‑se a integral desconhecida, resultando em \(2I = e^{x}(\sin x+\cos x)\).

3. Qual é a antiderivada correta de \(\displaystyle\int x\ln x\,dx\) ?

2.50 pontos Difícil

A) \(\displaystyle \frac{x^{2}}{4}\ln x - \frac{x^{2}}{4}+C\) B) \(\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{2}+C\) C) \(\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{2}+C\) D) \(\displaystyle x^{2}\ln x - x^{2}+C\) E) \(\displaystyle \frac{x^{2}}{4}\ln x - \frac{x^{2}}{8}+C\)

Resposta correta: A) \(\displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4}+C\)

Usando \(\int \ln x\,dx = x\ln x - x\) como \(v\) e \(u=x\), obtém‑se \(\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{4}\ln x - \frac{x^{2}}{4}+C\).

4. Calcule a integral definida \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos x\,dx\). Qual o valor correto?

3.50 pontos Extrema

A) \(\displaystyle \frac{e^{\pi/2}+1}{2}\) B) \(\displaystyle \frac{e^{\pi/2}-1}{2}\) C) \(\displaystyle e^{\pi/2}-1\) D) \(\displaystyle \frac{e^{\pi/2}}{2}\) E) \(\displaystyle \frac{1-e^{\pi/2}}{2}\)

Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{e^{\pi/2}-1}{2}\)

Usando a antiderivada \(\frac{e^{x}}{2}(\sin x+\cos x)\) e avaliando nos limites 0 e \(\pi/2\) obtém‑se \(\frac{e^{\pi/2}-1}{2}\).

Integração por Partes

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