Qual das alternativas abaixo representa corretamente a integral \(\displaystyle \int 2x\cos(x^{2})dx\) após a substituição \(u=x^{2}\)?
Resposta correta: D) \(\displaystyle \int \cos(u)du = \sin(u)+C\)
Ao fazer \(u=x^{2}\) temos \(du=2x\,dx\). Substituindo, a integral torna‑se \(\int\cos(u)du\), cuja primitiva é \(\sin(u)+C\).
Calcule \(\displaystyle \int x\sqrt{2+x^{2}}dx\) usando a substituição adequada.
Resposta correta: B) \(\displaystyle \frac{1}{3}(2+x^{2})^{3/2}+C\)
Com \(u=2+x^{2}\) ⇒ \(du=2x\,dx\) ⇒ \(x\,dx=\frac12du\). A integral fica \(\frac12\int u^{1/2}du = \frac12\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac13(2+x^{2})^{3/2}+C\).
Qual é a primitiva correta de \(\displaystyle \int \frac{x}{1+x^{3}}dx\) ?
Resposta correta: A) \(\displaystyle \frac{1}{3}\ln|1+x^{3}|+C\)
Tomando \(u=1+x^{3}\) ⇒ \(du=3x^{2}dx\). Reescrevendo \(x\,dx = \frac{1}{3}\frac{du}{x}\) e observando que \(\frac{x}{1+x^{3}}dx = \frac{1}{3}\frac{du}{u}\), obtém‑se \(\frac13\int\frac{du}{u}= \frac13\ln|u|+C\).
Considere a integral \(\displaystyle I=\int \frac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{3}}}\,dx\). Qual das alternativas abaixo apresenta a primitiva correta?
Resposta correta: C) \(\displaystyle \frac{2}{3}(1+x^{3})^{3/2}+C\)
Defina \(u=1+x^{3}\) ⇒ \(du=3x^{2}dx\) ⇒ \(x^{2}dx=\frac{1}{3}du\). A integral torna‑se \(\displaystyle \int \frac{1}{3}\frac{du}{\sqrt{u}} = \frac13\int u^{-1/2}du = \frac13\cdot 2u^{1/2}+C = \frac{2}{3}\sqrt{u}+C\). Substituindo \(u\) volta‑se a \(\displaystyle \frac{2}{3}\sqrt{1+x^{3}}+C\).