Ax + B = 0, onde A ≠ 0. Ex.: 2x – 5 = 0.A é o coeficiente de x e B é o termo independente. Ex.: Em 3x + 7 = 0, A = 3 e B = 7.4 + 2x = 10 → 2x = 6 → x = 3.0x = 0 → infinitas soluções; 0x = 5 → nenhuma solução.Ax + B = 0 permite resolver rapidamente equações lineares, interpretar resultados e aplicar em problemas reais.O vídeo ensina como lidar com equações lineares, mostrando que qualquer equação do primeiro grau pode ser escrita na forma Ax + B = 0, onde A não pode ser zero. Ele destaca a importância de identificar corretamente o coeficiente de x e o termo independente, além de explicar que, ao mover termos de um lado para o outro, os sinais mudam. O professor exemplifica com equações simples e mostra que, dependendo dos valores, a solução pode ser única, infinita ou inexistente. Também são abordados problemas práticos, como calcular a capacidade de um tanque de combustível ou a idade de pessoas, usando equações lineares.
Equações do primeiro grau são expressões algébricas que podem ser reduzidas à forma Ax + B = 0, onde A (coeficiente de x) é diferente de zero e B é o termo independente. Para resolver, basta isolar x dividindo ambos os lados por A. A solução pode ser única, infinita (quando 0x = 0) ou inexistente (quando 0x = C ≠ 0). A manipulação correta dos sinais ao mover termos entre os lados é crucial. Além disso, o conteúdo cobre a resolução de equações de segundo grau, onde se aplica a fórmula de Bhaskara ou fatoração, e a aplicação de equações lineares em contextos reais, como problemas de combustível, idades e situações de vestibulares. A prática de montar equações a partir de enunciados contextuais é enfatizada como habilidade essencial para exames como o NEM e vestibulares.
1. (Média – 1,50 pontos) Qual é a solução da equação 3x - 12 = 0?
2. (Difícil – 2,50 pontos) Resolva a equação (2x + 3)/(x - 1) = 5.
3. (Difícil – 2,50 pontos) Qual é a solução da equação quadrática x² – 5x + 6 = 0?
4. (Extremamente Difícil – 3,50 pontos) Se a soma das idades de dois irmãos é 30 e a diferença de idade é 6, qual é a idade do irmão mais velho?
E aí, pessoal, tudo bem com vocês? Vamos a mais uma aula que de matemática básica, está em nessa aula aqui, nós vamos dar total atenção à equação do primeiro grau.
Olha só, seja você estudante aí da escola, seja você que irá prestar em nem ou vestibular tradicionais, quando o assunto de equação do primeiro grau ele é cobrado, muitas vezes, ele é o assunto contextualizado na qual você tem que fazer uma interpretação correta da questão e o principal.
Fazer um equacionamento utilizando todos os dados que o examinador forneceu, e fazer esse equacionamento aí de forma correta.
Essa aí é a principal dificuldade, já que você resolver, ou seja, encontrar o X, por exemplo, em uma equação no primeiro grau, isso aí não tem muito problema, né? A gente tem uma ideia aqui, trazer a parte de conteúdo e nós resolveremos aí algumas questões contextualizadas para você ver como é que esse assunto pode aparecer pensando aí na prova do inenios vestibulares e também nos assuntos da escola.
Beleza gente? Boa aula para vocês anotem tudo e como sempre, vem comigo aqui.
Então nós temos aqui a equação do primeiro grau.
A definição, pessoal, é interessante que a gente vai passar, olha só.
Equação do primeiro grau, na variável real X, é toda equação que pode ser expressa na forma a X mais B igual a zero, no qual a e B, eles são números reais.
E o A aqui, pessoal, ele é diferente de zero.
Aqui tem algumas coisas que merecem ser comentadas, tá? A equação do primeiro grau é uma equação que possui aquele formato ali, ou também é uma equação que pode ser reduzida a esse formato a X mais B igual a zero.
Porque nós temos uma equação do primeiro grau, porque a nossa encoga, então seja variável ali, no caso, é o X, tá? Se a nossa variável está levada a equação do primeiro grau, nós veremos aí em outra aula que quando a nossa variável, vai do expoente 2, o maior expoente da variável em si é o 2, nós teremos uma equação do segundo grau.
E por aí vai, tá? E aqui também é interessante falar a respeito do valor do A e do B.
O A e o B, são os coeficientes da equação do primeiro grau, tá? No caso A, o valor está multiplicando a variável X, ou seja, ele é o coeficiente do X.
O B é o valor que não tenha variável X ali, ou seja, ele é o termo independente da equação do primeiro grau.
Ele independe aquele termo ali da variável X.
Melhinhas, interessante notar o seguinte.
O A e o B, eles são números reais, só que o A ele não pode ser zero, porque se nós tivéssemos o A valendo zero, que aconteceria? Nós teremos zero vezes o X, iria sumir ali no caso a nossa variável.
Aquele termo ali concordo comigo, então o A ele não pode ser igual a zero.
Tudo bem? Vem comigo aqui.
Então, pessoal, esses dois valores aqui são os valores que definem os coeficientes dessa equação.
Lembrando que o A aqui, ele deve ser um valor, então, que é diferente de zero.
Tudo bem? Agora, repare a seguinte, nesses exemplos aqui embaixo, primeiramente nós temos o I tem A, que é 2x menos 5, o A zero.
Claro, nós temos aqui facilmente identificado uma equação do primeiro grau.
Nesse caso, o A é o valor que está multiplicando o X, ou coeficendo o X.
Ele vale 2, enquanto o B é o termo inempidente, nesse caso, ele vale menos o 5.
Então, nesse caso, nós temos aí os coeficientes para esta equação, mas olha só, a pessoa na matemática, mais especificamente em qualquer equação, você pode multiplicar L, ou seja, equação por um número, desde que você multiplique dos dois lados da igualdade.
Tudo bem? Nessa equação aí, se eu multiplicar ela por menos 1, o que acontece quando nós multiplicamos uma equação inteira por menos 1? Os sinais ficarão todos eles trocados, ou seja, nós teremos aí outros valores para os coeficientes A e B.
Quer em V? Vem comigo aqui.
Então, se multiplicar esta equação aqui por menos 1, o que nós teremos? Nós vamos terem, então, menos 2x, mais o 5, igual a Z, concordo comigo.
Então, para esta nova equação aqui, nós vamos ter os seguintes valores de IB, o A para este caso, ele vale menos o 2.
E o B para este caso, aquele vale o 5 positivo.
Tudo bem? Nesse caso, pessoal, muito embora a gente tem encontrada ali valores diferentes para A e para B, essas duas equações, elas nos levam o mesmo resultado, ou seja, o mesmo conjunto solução que a gente vai ver na sequência da aula.
Então, em nada muda o resultado dessa equação quando nós multiplicamos por menos 1 equação surgindo uma nova equação, novos coeficientes, mas a solução permaneceu a mesma.
Tudo bem? Vem comigo aqui.
A gente já vai comentar sobre a solução de uma equação do primeiro grau, tá? Agora, aqui no I tem B, nós temos esta equação, que é uma equação do primeiro grau, mas vamos transformá-la no formato Ax mais B e identificar os seus coeficientes.
Tudo bem? Para isso, pessoal, eu vou enviar aqui para o lado esquerdo, esses dois termos eles trocam o sinal, tá? Então, nós vamos ter o seguinte, nós vamos ter o 3x, irá receber aqui o menos 2x, nós temos o menos 4, irá receber aqui o menos 1, e ficaremos igual a 0.
Tudo bem? Aqui nós vamos ter, então, 3x menos 2x dá x, e menos 4, com menos 1 teremos o menos 5.
Isso aqui é igual a 0.
Então, para esse caso aqui, o coeficientes do x é 1, ou seja, o A, ele é 1, e o termo independente aqui, ou seja, o B, ele vale menos 5.
Agora, aqui no I tem C, nós temos também esta equação do primeiro grau, e para transformá-la no formato Ax mais B, eu vou fazer o seguinte, eu vou passar esse 2x para o lado esquerdo, e fica negativo, e nós teremos, então, o seguinte, 12 menos o 3x dividido pelo 4 menos 2x igual a 0.
Tudo bem? Agora, olha só, nós temos aqui, como não aparecer, nós temos denominadores iguais a 1 e os outros dois termos, com o quano comigo.
O que nós vamos fazer agora é tirar o mínimo múltiplo comum, que, no caso, é o 4.
4 dividido por 1 dá 4, 4 vezes 12 teremos, em 48, 4 dividido por 4 dá 1, que multiplica menos 3x, teremos o menos 3x, e 4 dividido por 1 dá 4 vezes o menos 2x, menos o 8x.
Isso aqui é igual a 0.
Beleza? Agora, olha só, esse 4 pode passar multiplicando lá para o outro lado da igualdade, 4 vezes 0, ficaremos com 0, ou seja, simplesmente 48, menos 3x, menos 8x, teremos menos 11 vezes o x, isso aqui é igual a 0.
Para esse caso, nós temos o a, ou seja, o coeficiente do x, valendo menos 11, enquanto que o b aqui é o termo independente, ele vale 48.
Beleza? Você também pode ter encontrado, o a valendo 11 e o b igual a menos 48.
Sem problema algum.
Vamos ver agora, pessoal, o que significa a raiz de uma equação do primeiro grau? Beleza? Vem comigo aqui.
Então, vamos lá, raiz de uma equação do primeiro grau.
De seguinte, raiz de uma equação do primeiro grau é um número que transforma a equação, olha só, é um número, que transforma a equação em uma sentença verdadeira, ferrito como assim, como assim.
Olha só, exemplo, nós temos aqui essa equação e vamos tentar encontrar aqui a raiz dessa equação.
Para isso, pessoal, nós simplesmente iríamos resolver a equação, primeiramente, enviando esse menos 12 por lá direito e passa positivo.
Ou seja, nós teremos, então, 3x igual a 12, e o 3 está multiplicando e dessa dividida.
Então, x é igual a 12 dividido por 3, o x, ele é igual a 4.
Então, 4 é a raiz para essa equação, porque se nós pegarmos o valor 4, substituirmos no lugar da variável x, nós teremos 12 menos 12 igual a 0, ou seja, nós teremos ali uma sentença verdadeira.
Agora, vamos ver as possíveis soluções para uma equação do primeiro grau.
Vem comigo aqui.
Então, vamos lá, soluções de uma equação do primeiro grau, ferrito, mas equação do primeiro grau não tem apenas uma única solução.
Olha só, vamos ver o que está escrito aqui.
Uma equação do primeiro grau pode ter uma única solução, que é o caso mais comum, pode ter infinitas soluções, tudo bem, ou também, pessoal, equação do primeiro grau, ela pode não apresentar solução, ou seja, ter nenhuma solução no conjunto dos números reais.
Como assim, ferrito? Olha só, aqui não tem há.
Nós temos, por exemplo, essa equação aqui.
Vamos tentar encontrar aqui a solução dela, ou seja, a sua raiz.
Enviando lá para outro lado, esse 3x fica negativo, ou seja, 5x menos o 3x é igual.
Ao 6, vou enviar esse menos 8 para o lado e lá fica mais 8, nós vamos ter o seguinte.
5x menos 3x, 2x, 6 mais 8, 14, o 2 está multiplicando a variável x, deras dividindo.
Então, dessa forma aqui, nós vamos ter que o x é igual a 14 dividido por 2, o x é igual a 7, ou seja, pessoal, conjunto solução para essa equação, pode ser representada, então, dessa forma aqui é um conjunto unitário, porque possui um único elemento, nós temos aqui a solução valendo 7.
Nós ainda falaremos em outras alas a respeito de conjuntos e conjuntos numericos.
Tudo bem? Nós temos aqui a solução para essa equação, reparem que nós temos aqui uma solução única, a solução é a raiz x igual a 7.
Agora em relação, a equação B aqui, nós vamos ter o seguinte.
Vamos simplesmente copiar 4 mais 2x igual a 10.
Agora, nós vamos fazer o seguinte.
Esse menos 2 está multiplicando parênteses, então fará aqui a propriedade distributiva, que é o famoso choverinho.
Minas 2 vezes 3 ficaremos com menos 6 e menos 2 vezes o menos x mais o 2x.
Nós vamos ter o seguinte.
Olha só, nós vamos ter 4 mais 2x é igual de as menos 6 da 4 mais 2x.
Aí, reparem o seguinte, ao tanto do lado esquerdo como do lado direito, nós temos aqui a mesma coisa com o argue comigo.
Se você for tentar isolar o x, olha só o que acontece.
Vou enviar esse 2x por lado esquerda e fica negativo, ou seja, nós vamos ficar com o 2x, receberá aqui o menos 2x, enquanto que o 4 irá receber esse menos 4.
Beleza? Ou seja, nós vamos ter, então, 2x menos 2x isso dá 0x.
E, doutor, da igualdade, 4 menos o 4, isso aqui dá 0.
Então, nesse caso, surgiu a equação 0x igual 0.
O pessoal em matemática, quando nós tivermos o número 0, multiplicando qualquer número, o resultado sempre é 0.
Ou seja, naquele x ali, eu posso colocar qualquer valor para ele, com o coro comigo, que o resultado será exatamente igual a 0.
Então, nesse caso, para essa equação, nós temos essa equação com uma infinidade de soluções.
Quando nós temos infinitas soluções, a resposta pode ser então qualquer número.
Em matemática, a gente coloca qualquer número pensando no conjunto dos números reais, a solução sendo o conjunto dos reais.
Vem comigo aqui.
Então, como o x aqui pode assumir qualquer valor, a solução para essa equação acaba sendo apenas r, ou seja, o conjunto dos números reais.
Beleza? Agora, aqui, na letra c.
Olha só, nós temos 4x menos o 5, igual a 4x mais 1.
Vou enviar esse 4x, para o lado desse que ele passa com o sinal negativo, ou seja, 4x menos o 4x, igual a 1, irá receber aqui 1 mais 5.
4x menos 4x, isso dá 0, pessoal, ou seja, 0 vezes o x.
Isso aqui é igual a 1 mais 5, ou seja, 6.
Agora, nesse caso, nós temos 0x igual a 6.
Como eu acabei de comentar, na matemática, 0 vezes qualquer número, ele será sem pésero, nesse caso, está sendo igual a 6.
Ou seja, não existe valor de x de tal forma que 0 vezes esse valor x o resultado é 6.
Ou seja, essa equação, aí, pessoal, é uma equação impossível na matemática, ou seja, o conjunto de solução é o conjunto vazio.
Tudo bem? Vem comigo aqui.
Então, pessoal, 0 vezes qualquer número deve ser 0, então não há valor de x aqui, que satisfassa essa equação.
Então, o conjunto aqui, solução, é o conjunto vazio, não a solução, pode ser expresso assim, ou também pode ser expresso chaves com nada dentro.
Beleza? Agora, nesse exemplo 1, vamos resolver essa equação que está aqui.
Você batendo, aqui, você já vai ver aqui, um termo x², e você pode pensar, bom ferrito.
Essa equação aqui é uma equação no segundo grau.
Olha só o que irá acontecer aqui.
Nós vamos ter, então, um seguinte.
Primeiramente, vamos eliminar que os parênteses resolvendo essa equação.
Então, nós vamos ter o x que multiplica a abri com os chetes, 2x.
Olha só negativa aqui na frente do parênteses, irá trocar o sinal de todos os termos que estão no interior do parênteses.
Ou seja, nesse caso, nós teremos o menos 3 e menos com menos teremos o mais x.
Vamos fechar aqui os coxetes.
Agora, olha só.
Esse menos 3 irá multiplicar aqui o x², e também irá multiplicar o menos 1 fazendo a propriedade distributiva.
Então, menos 3 vezes o x², menos o 3x², menos 3 que multiplica menos 1, mais o 3.
Isso aqui é igual a 0.
Agora, nós vamos fazer o seguinte.
Nós vamos ter, então, o x.
Vamos arrumar um pouquinho aqui no interior do coxete.
2x com mais x, ficaríamos com 3 vezes o x, menos o 3.
E menos o 3x², mais o 3 igual a 0.
Agora, olha só.
Esse x aqui fará a propriedade distributiva, e nós vamos ter o seguinte.
x vezes 3x, 3x², x vezes o menos 3, menos 3x.
Agora, menos o 3x², nós temos aqui o mais 3, igual a 0.
Tudo bem? Pessoal, repare o seguinte, nós temos aqui a 3x², e aqui menos 3x².
O que nós teremos aqui, então, é o cancelamento do termo que tem o x², e nós ficaríamos, então, que menos o 3x com mais o 3, isso aqui é igual a 0.
Vamos enviar lá para o lado direito.
Esse menos 3x passa com o sinal positivo, ou, se nós vamos terem, então, 3 vezes o x é igual a 3.
O 3 está multiplicando esta dividida, então, nós vamos ter o x, exatamente igual a 1, ou seja, pessoal.
O conjunto de solução para esta equação, ou seja, raiz da equação, é o x valendo 1.
Beleza? Agora, na exemplo 2, nós temos o seguinte, resolva em reais a equação e nós temos aqui a equação.
Repare nós temos aqui uma subtração de duas frações com denominadores distintos, ou seja, diferentes.
Então, nós vamos tirar aqui o mínimo múltiplo comum.
Então, nesse caso, entre 2 e 3, que são dois números primos, o MMC é simplesmente a multiplicação deles.
2 vezes o 3 é 6.
Tudo bem, agora como a gente faz? 6 dividido por 2 a 3, e o 3 irá multiplicar o numerador, ou seja, irá triplicar o 3x menos 2.
Nós ficaremos com 9x menos 6.
E o 6 dividido por 3 a 2.
Nós temos aqui o menos 2, que multiplica o x.
Teremos o 2x.
Aqui, pessoal, o denominador não está aparecendo.
O denominador é 1.
6 dividido por 1 é 6 vezes o 3.
Teremos o 18, cancelamos, então, os denominadores.
Beleza? Vamos ter o seguinte.
9x menos 2x.
7x menos o 6 igual a 18, ou seja, 7x igual.
Esse 18 vai receber mais 6, teremos o 24, ou seja, o x é igual a 24 dividido por 7.
Então, o conjunto de solução aqui é dado pela fração 24.
7.
Beleza? Então, pessoal, como eu comentei lá no início da aula, as questões do NEM, que envolvem a equação do primeiro grau, são questões contextualizadas, ou seja, que envolvem um contexto do dia a dia de uma indústria da economia, alguma coisa contextualizada.
O importante é você ler a questão interpretar os dados e montar a equação de forma correta.
É isso nós vamos fazer agora nas duas próximas questões para finalizarmos a aula.
Tudo bem? Vem comigo aqui.
Então, pessoal, problemas que envolvem a equação do segundo grau.
Nesse primeiro exemplo aqui, nós temos o seguinte.
O motorista, após ter enchido o tanque de seu veículo, gastou um quinto da capacidade do tanque para chegar a cidade A.
Gastou mais 28 litros para ir da cidade A até esta GB.
E sobrou no tanque, pessoal, uma quantidade combustível que corresponde a um terço de sua capacidade.
A pergunta, qual é a capacidade do tanque desse veículo? Vamos imaginar o tanque do veículo.
Uma questão de certa forma não é difícil.
Agora tem questões lá nas listas que estou colocando para vocês.
Tem questões mais complexas.
Então, o que acontece? O motorista completou esse tanque aqui.
Vamos supor que esse tanque possua X litros.
Para ir até a cidade A, o que acontece? O gastou um pouco do combustível.
Ficamos apenas com essa parte de baixo.
Esse gasto de combustível corresponde a.
.
.
Ele falou aqui, um quinto da capacidade do tanque.
Ou seja, um quinto de X que é a capacidade, é a mesma coisa que X sobre 5.
Então, ele gastou um quinto da capacidade e gastou X sobre 5.
Agora, para ir até a cidade B, a gasolina desse ou mais ainda, ou seja, esse gasto aqui nessa faixa, corresponde a e falou aqui, a cidade A pra cidade B, 20 e 8 litros.
E diz que sobrou no tanque, ou seja, aqui embaixo, sobrou um terço da capacidade do tanque.
Ou seja, o que sobrou aqui foi X sobre 3.
Tudo bem? Então, olha só, o que sobrou mais o que ele gastou para ir da cidade A até a cidade B.
E mais o que ele gastou para ir a cidade A, tudo isso daqui corresponde ao volume do tanque.
Ou seja, vamos somar aqui esses três termos e igualar a X.
Tudo bem? Então, nós podemos dizer o seguinte, aqui o X, ou seja, a capacidade do tanque, é igual a X sobre 5.
Mais 28 litros e mais o X sobre 3.
Tudo bem? Poderíamos agora, então, tirar aqui o mínimo múltiplo comum.
Tudo bem? Entre os 5 e o 3, o mínimo múltiplo comum é 15, já que os 5 e o 3, olha só, eles são números primos, né? E o MMC, entendam números primos, é simplesmente a multiplicação entre eles.
Como nós temos aqui, denominadores iguais a 1, nós podemos fazer o seguinte.
15 dividido por 1 dá 15, vezes o X, 15x.
15 dividido por 5 dá 3, vezes o X, 3x.
15 dividido por 1 dá 15.
E o 15 vezes o 28, vamos fazer aqui, olha.
28 vezes o 15, nós vamos ter o seguinte.
5 vezes oito da quarenta foi 4, 5 vezes 2 dá 10 com 4, 14.
E 1 vezes o 28 teremos aqui o 28.
Somando, nós vamos ter o 0, 12 foi 1, e aqui nós teremos o 4, seja 420, tá? Então, mais 420.
E o 15 dividido por 3 dá 5 vezes o X.
5x, beleza? Então, vamos cá cancelar os denominadores, e nós teremos, então, o seguinte.
Olha só, 15x.
É igual, 3x mais 5x, ficaremos com 8x, mais 420.
Passando para o lado esquerdo, esse 8x, ele passa com o sinal negativo, e nós vamos ter, então, 15x menos 8x, 7x igual a 420.
O 7 está multiplicando 10 dividindo, nós vamos ter, então, que o X é igual a 420 dividido por 7, 60.
Lembra que o X é a capacidade do tanque, ou seja, 60 litros.
Ok? Agora, a pessoa sai deira nesse exemplo 2.
Olha só.
A idade de uma pessoa é o dobro da de outro.
Vamos pensar assim.
Nós temos duas pessoas, pessoa A e pessoa B.
Por exemplo, a mande B3.
Então, nós temos o seguinte.
A manda, aqui no caso, vamos supor que ela tenha o dobro da idade da B3.
2x e x.
Uma tem o dobro da idade da outra.
Aí, continua assim.
Há 5 anos, esse A com a garra representa passada.
Há 5 anos atrás, a soma das idades das duas pessoas é igual a idade atual da mais velha.
Quais são as idades atuais das duas pessoas? Então, há 5 anos atrás, a manda tinha quanto pessoal o que ela tem hoje, que é 2x, menos 5 anos.
Com o quarno comigo.
O mesmo a seocínio para a pessoa B, que nós estamos chamando de B3.
Ora só.
Hoje, a B3 tem x, então, 5 anos atrás, ela tinha x menos 5.
Aí, foi dito o seguinte, que a soma das idades das duas pessoas era igual a idade atual da mais velha.
Nós somá-semos as duas idades 5 anos atrás.
É exatamente igual a idade da pessoa mais velha, e a atual da pessoa mais velha é que, nesse caso, é o 2x.
Tudo bem? Então, resolvem a equação.
Montamos a equação.
É o mais complicado aqui, que não é tão difícil, mas é o mais complexo.
Agora, resolvem é bem simples.
2x mais o x, ficaremos com 3x, menos 5 menos 5, teremos o menos 10.
Isso aqui é igual a 2x.
Brem? Então, nós vamos ter aqui o 3x, receberá aqui o menos o 2x.
Esse menos 10 vai para o lado de edade fica a 10 positivo, ou seja, 3x menos 2x.
Nós vamos ter, então, que o x é igual a 10.
Ou seja, pessoal, o que nós temos aqui é o seguinte.
A pergunta, quais são as idades atuais das duas pessoas? Atualmente, porque nós temos, é o seguinte, x, ou seja, a idade da pessoa b, hoje, é, no caso, 10 anos.
Enquanto que a pessoa é 2x, 2 vezes o 10, pessoal, então, 20 anos.
Ok? Certo, então, pessoal, chegamos aqui ao final de mais uma aula.
Está a sala importante aqui sobre a assunto e equação do primeiro grau.
Espero muito que tenha sido proveitosa para você.
E a gente se vê nos próximos vídeos.
A pessoa é uma abração, bons estudos e até mais.
Tchau, tchau.