Resumêra

1. Qual das alternativas abaixo descreve corretamente a soma superior?

1.50 ponto Média

A) Usa a altura mínima da função em cada subintervalo. B) Usa a altura média da função em cada subintervalo. C) Usa a altura máxima da função em cada subintervalo. D) Usa a altura do ponto médio do subintervalo. E) Não depende da função, apenas do número de subintervalos.

Resposta correta: C) Usa a altura máxima da função em cada subintervalo.

A soma superior sempre superestima a área real, pois cada retângulo tem altura igual ao maior valor de \(f\) no subintervalo.

2. Considere a função \(f(x)=x^{2}\) no intervalo \([0,1]\). Qual o valor da soma \(\displaystyle\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}k^{2}\) quando \(n\to\infty\)?

2.50 pontos Difícil

A) \(\dfrac{1}{2}\) B) \(\dfrac{1}{4}\) C) \(\dfrac{1}{3}\) D) \(\dfrac{2}{3}\) E) \(\dfrac{3}{4}\)

Resposta correta: C) \(\dfrac{1}{3}\)

Usando \(\sum_{k=1}^{n}k^{2}= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) obtém‑se \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6n^{3}}=\frac13\).

3. Qual das propriedades abaixo NÃO é válida para integrais definidas?

2.50 pontos Difícil

A) \(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x)+g(x)]\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx + \int_{a}^{b} g(x)\,dx\) B) \(\displaystyle\int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) C) \(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x) \cdot g(x)]\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \cdot \int_{a}^{b} g(x)\,dx\) D) \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{c} f(x)\,dx + \int_{c}^{b} f(x)\,dx\) E) Se \(f(x) \ge 0\) em \([a,b]\), então \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge 0\)

Resposta correta: C) \(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x) \cdot g(x)]\,dx = \int_{a}^{b} f(x)\,dx \cdot \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)

A integral do produto de duas funções não é, em geral, igual ao produto de suas integrais. As outras opções são propriedades válidas da integral de Riemann.

4. Se \(\int_{0}^{5} f(x)\,dx = 10\) e \(\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 3\), qual o valor de \(\int_{2}^{5} f(x)\,dx\)?

3.50 pontos Extrema

Resposta correta: D) 7

Pela propriedade de aditividade dos intervalos, temos \(\int_{0}^{5} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx + \int_{2}^{5} f(x)\,dx\). Substituindo os valores dados: \(10 = 3 + \int_{2}^{5} f(x)\,dx\), o que resulta em \(\int_{2}^{5} f(x)\,dx = 7\).

Introdução às Integrais Definidas (Integral de Riemann)

Questões sobre o assunto