Resumêra

1. Qual é o polinômio de Taylor de ordem 1 para \(f(x)=\ln x\) em torno de \(x_0=1\)?

1.50 ponto Média

Resposta correta: B) \(x-1\)

O termo constante é \(\ln 1 = 0\) e a derivada primeira em 1 é 1, logo \(P_1(x)=0+1\cdot(x-1)=x-1\).

2. No polinômio de Taylor de ordem 2 para \(\ln x\) em \(x_0=1\), qual é o coeficiente do termo \((x-1)^2\)?

2.50 pontos Difícil

Resposta correta: A) \(-\dfrac{1}{2}\)

Para \(\ln x\), \(f''(1)=-1\); o coeficiente é \(\dfrac{f''(1)}{2!}= \dfrac{-1}{2}= -\dfrac12\).

3. Qual das afirmações sobre o termo de resto \(R_n(x)\) no Teorema de Taylor é verdadeira?

2.50 pontos Difícil

A) É sempre zero para funções analíticas. B) Satisfaz \(|R_n(x)|\le \dfrac{M|x-x_0|^{\,n+1}}{(n+1)!}\) para algum \(M\) que limite a \((n+1)\)-ésima derivada. C) Cresce com o aumento de \(n\). D) Não depende de \((x-x_0)\). E) É exatamente o próximo termo da série.

Resposta correta: B)

O enunciado descreve a forma clássica da desigualdade de Lagrange para o resto.

4. Usando o polinômio de Taylor de ordem 3 para \(\ln x\) em \(x_0=1\), qual é a aproximação mais próxima de \(\ln(1.03)\)?

3.50 pontos Extrema

Resposta correta: B) 0.0296

Calculando \(P_3(1.03)=0.03-\frac12(0.03)^2+\frac13(0.03)^3\approx0.029559\), que arredonda para 0.0296.

Teorema e Polinômios de Taylor

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