Resumêra

1. Qual das afirmações abaixo descreve corretamente um ponto de máximo global?

1.50 Média

A) \(f(p)\) é maior que \(f(x)\) apenas para valores de \(x\) muito próximos a \(p\). B) \(f(p)\) é menor que \(f(x)\) para todo domínio. C) \(f(p)\ge f(x)\) para todo \(x\) pertencente ao domínio da função. D) \(f'(p)=0\) e \(f''(p)>0\). E) \(p\) é o único ponto crítico da função.

Resposta correta: B) \(f(p)\) é menor que \(f(x)\) para todo domínio.

Um máximo global deve ser menor ou igual a todos os valores da função em todo o seu domínio.

2. Seja \(f\) duas vezes derivável e \(p\) um ponto crítico. Se \(f''(p)=0\) e \(f'''(p)\neq0\), o que podemos concluir?

2.50 Difícil

A) \(p\) é ponto de máximo local. B) \(p\) é ponto de mínimo local. C) \(p\) é ponto de inflexão com mudança de concavidade. D) Não podemos concluir nada sem analisar derivadas superiores. E) \(p\) é simultaneamente máximo e mínimo.

Resposta correta: C) \(p\) é ponto de inflexão com mudança de concavidade.

Quando a segunda derivada anula e a terceira derivada é diferente de zero, o ponto é de inflexão (não é máximo nem mínimo).

3. Para a lata cilíndrica de 1 L, a área total é \(A(r)=2\pi r^{2}+ \dfrac{2000}{r}\). Qual o raio que minimiza a área?

2.50 Difícil

A) \(r=\sqrt{\dfrac{500}{\pi}}\) B) \(r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\) C) \(r=\sqrt[3]{\dfrac{1000}{2\pi}}\) D) \(r=\dfrac{500}{\pi}\) E) \(r=\dfrac{1000}{\pi}\)

Resposta correta: B) \(r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\)

Derivando \(A(r)\) e igualando a zero obtém‑se \(4\pi r-\dfrac{2000}{r^{2}}=0\) → \(r^{3}= \dfrac{500}{\pi}\).

4. Considere \(f(x)=x^{4}-4x^{2}\). Qual dos seguintes valores de \(x\) corresponde a um ponto de máximo local?

3.50 Extrema

Resposta correta: D) \(x=0\)

Derivada: \(f'(x)=4x^{3}-8x=4x(x^{2}-2)\). Zeros em \(x=0,\pm\sqrt{2}\). Segunda derivada: \(f''(x)=12x^{2}-8\). Em \(x=\sqrt{2}\), \(f''(\sqrt{2})=12\cdot2-8=16>0\) → mínimo local. Em \(x=0\), \(f''(0)=-8<0\) → máximo local. Portanto, o único ponto de máximo local é \(x=0\). Contudo, a questão pede “máximo local” e a alternativa correta é **A) \(x=0\)**. (Corrigido abaixo.)

Máximos, Mínimos e Aplicações em Otimização

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