Resumêra

1. (Média) Qual das alternativas abaixo descreve corretamente uma hipótese necessária para aplicar a Regra de L'Hospital na forma \(0/0\)?

1.50 ponto Média

A) \(f\) e \(g\) são contínuas em \(a\) mas não precisam ser deriváveis. B) Apenas \(\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\) deve existir. C) \(f\) e \(g\) são deriváveis em um intervalo aberto contendo \(a\) e \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\). D) \(g'(a)\neq0\) é suficiente para garantir a aplicação. E) Nenhuma das anteriores.

Resposta correta: C) \(f\) e \(g\) são deriváveis em um intervalo aberto contendo \(a\) e \(\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0\).

Essas são exatamente as hipóteses do teorema de L'Hospital para a indeterminação \(0/0\).

2. (Difícil) Calcule \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}\) usando L'Hospital quantas vezes for necessário.

2.50 pontos Difícil

A) \(\dfrac{1}{6}\) B) \(-\dfrac{1}{6}\) C) \(-\dfrac{1}{3}\) D) \(\dfrac{1}{3}\) E) O limite não existe.

Resposta correta: B) \(-\dfrac{1}{6}\).

Aplicando L'Hospital três vezes: \[ \lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^{3}} =\lim_{x\to0}\frac{\cos x -1}{3x^{2}} =\lim_{x\to0}\frac{-\sin x}{6x} =\lim_{x\to0}\frac{-\cos x}{6}= -\dfrac{1}{6}. \]

3. (Difícil) Considere \(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-1\). Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

2.50 pontos Difícil

A) O ponto \(x=\frac23\) é ponto de inflexão porque \(f''\!\left(\frac23\right)=0\) e \(f'''(x)=0\) para todo \(x\). B) Em \((-\infty,\frac13)\) a função é decrescente. C) Em \((\frac13,1)\) a função é decrescente e a concavidade é para baixo. D) Em \((1,\infty)\) a concavidade permanece para baixo. E) Não há ponto de inflexão porque \(f''\) nunca se anula.

Resposta correta: C) Em \((\frac13,1)\) a função é decrescente e a concavidade é para baixo.

Derivadas: \(f'(x)=3x^{2}-4x+1\) (zero em \(\frac13\) e 1). \(f''(x)=6x-4\) (negativo para \(x<\frac23\), positivo para \(x>\frac23\)). Assim, no intervalo \((\frac13,1)\) temos \(f'<0\) (decrescente) e \(f''<0\) (concavidade para baixo).

4. (Extrema) Seja \(f\) contínua em \([a,b]\) e derivável em \((a,b)\) com \(f'(x)\ge 0\) para todo \(x\in(a,b)\). Qual conclusão pode ser tirada usando o Teorema do Valor Médio?

3.50 pontos Extrema

A) \(f\) é estritamente crescente em \([a,b]\). B) \(f\) pode ser constante em algum subintervalo, mas nunca decrescente. C) Não há informação sobre o comportamento de \(f\) porque a desigualdade é fraca. D) \(f\) atinge seu máximo em \(a\) e seu mínimo em \(b\). E) \(f\) é constante em todo \([a,b]\).

Resposta correta: B) \(f\) pode ser constante em algum subintervalo, mas nunca decrescente.

Do TVM, para quaisquer \(x_{1}

L'Hospital, Valor Médio e Estudo do Comportamento de Funções

Questões sobre o assunto